Criterio de Peres-Horodecki

Criterio en la teoría de la información cuántica

El criterio de Peres-Horodecki es una condición necesaria para que la matriz de densidad conjunta de dos sistemas mecánicos cuánticos y , sea separable . También se denomina criterio PPT , para transposición parcial positiva . En los casos de dimensión 2×2 y 2×3 la condición también es suficiente. Se utiliza para decidir la separabilidad de estados mixtos , donde no se aplica la descomposición de Schmidt . El teorema fue descubierto en 1996 por Asher Peres ^[1] y la familia Horodecki ( Michał , Paweł y Ryszard ) ^[2] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

En dimensiones superiores, la prueba no es concluyente y conviene complementarla con pruebas más avanzadas, como las basadas en testigos de entrelazamiento .

Definición

Si tenemos un estado general que actúa sobre el espacio de Hilbert de ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

Su transposición parcial (con respecto a la parte B) se define como

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}:=(I\otimes T)(\rho )=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes (|k\rangle \langle l|)^{T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |l\rangle \langle k|=\sum _{ijkl}p_{lk}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

Obsérvese que la palabra parcial en el nombre implica que solo se transpone una parte del estado. Más precisamente, ¿se aplica el mapa de identidad al partido A y el mapa de transposición al partido B? ${\displaystyle (I\otimes T)(\rho )}$

Esta definición se puede ver más claramente si escribimos el estado como una matriz de bloques:

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}&&&A_{nn}\end{pmatrix}}}$

Donde , y cada bloque es una matriz cuadrada de dimensión . Entonces la transpuesta parcial es ${\displaystyle n=\dim {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle m=\dim {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\begin{pmatrix}A_{11}^{T}&A_{12}^{T}&\dots &A_{1n}^{T}\\A_{21}^{T}&A_{22}^{T}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}^{T}&&&A_{nn}^{T}\end{pmatrix}}}$

El criterio establece que si es separable, entonces todos los valores propios de son no negativos. En otras palabras, si tiene un valor propio negativo, se garantiza que está entrelazado . La inversa de estas afirmaciones es verdadera si y solo si la dimensión del espacio del producto es o . ${\displaystyle \rho \;\!}$ ${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$ ${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$ ${\displaystyle \rho \;\!}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 2\times 3}$

El resultado es independiente del partido que fue transpuesto, porque . ${\displaystyle \rho ^{T_{A}}=(\rho ^{T_{B}})^{T}}$

Ejemplo

Consideremos esta familia de 2 qubits de estados de Werner :

${\displaystyle \rho =p|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+(1-p){\frac {I}{4}}}$

Puede considerarse como la combinación convexa de , un estado máximamente enredado , y el elemento identidad, un estado máximamente mixto. ${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle }$

Su matriz de densidad es

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\\0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

y la transposición parcial

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&-2p\\0&p+1&0&0\\0&0&p+1&0\\-2p&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

Su valor propio mínimo es . Por lo tanto, el estado está entrelazado para . ${\displaystyle (1-3p)/4}$ ${\displaystyle 1\geq p>1/3}$

Demostración

Si ρ es separable, se puede escribir como

${\displaystyle \rho =\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B}}$

En este caso, el efecto de la transposición parcial es trivial:

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}=(I\otimes T)(\rho )=\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes (\rho _{i}^{B})^{T}}$

Como la función de transposición conserva los valores propios, el espectro de es el mismo que el espectro de y, en particular, debe seguir siendo semidefinido positivo. Por lo tanto, también debe ser semidefinido positivo. Esto demuestra la necesidad del criterio PPT. ${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$ ${\displaystyle \rho _{i}^{B}\;\!}$ ${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$ ${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$

Demostrar que ser PPT también es suficiente para los casos 2 X 2 y 3 X 2 (equivalentemente 2 X 3) es más complejo. Los Horodeckis demostraron que para cada estado entrelazado existe un testigo de entrelazamiento . Esto es un resultado de naturaleza geométrica e invoca el teorema de Hahn-Banach (ver referencia a continuación).

A partir de la existencia de testigos de entrelazamiento, se puede demostrar que ser positivo para todos los mapas positivos Λ es una condición necesaria y suficiente para la separabilidad de ρ, donde Λ se asigna a ${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$ ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$ ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$

Además, cada mapa positivo de a puede descomponerse en una suma de mapas completamente positivos y completamente copositivos, cuando y . En otras palabras, cada mapa de este tipo Λ puede escribirse como ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$ ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$ ${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{B})=2}$ ${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A})=2\;{\textrm {or}}\;3}$

${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\circ T,}$

donde y son completamente positivos y T es la función de transposición. Esto se desprende del teorema de Størmer-Woronowicz. ${\displaystyle \Lambda _{1}}$ ${\displaystyle \Lambda _{2}}$

En términos generales, la función de transposición es, por lo tanto, la única que puede generar valores propios negativos en estas dimensiones. Por lo tanto, si es positivo, es positivo para cualquier Λ. Por lo tanto, concluimos que el criterio de Peres-Horodecki también es suficiente para la separabilidad cuando . ${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$ ${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$ ${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B})\leq 6}$

Sin embargo, en dimensiones superiores existen mapas que no se pueden descomponer de esta manera y el criterio ya no es suficiente. En consecuencia, hay estados entrelazados que tienen una transposición parcial positiva. Dichos estados tienen la interesante propiedad de que están enlazados , es decir, no se pueden destilar para fines de comunicación cuántica .

Sistemas variables continuos

El criterio de Peres-Horodecki se ha extendido a sistemas de variables continuas. Rajiah Simon ^[3] formuló una versión particular del criterio PPT en términos de los momentos de segundo orden de los operadores canónicos y demostró que es necesario y suficiente para los estados gaussianos de modo - (véase la referencia ^[4] para un enfoque aparentemente diferente pero esencialmente equivalente). Más tarde se descubrió ^[5] que la condición de Simon también es necesaria y suficiente para los estados gaussianos de modo -, pero ya no es suficiente para los estados gaussianos de modo -. La condición de Simon se puede generalizar teniendo en cuenta los momentos de orden superior de los operadores canónicos ^{[6] [7]} o utilizando medidas entrópicas. ^{[8] [9]} ${\displaystyle 1\oplus 1}$ ${\displaystyle 1\oplus n}$ ${\displaystyle 2\oplus 2}$

Sistemas simétricos

Para los estados simétricos de los sistemas bipartitos, la positividad de la transpuesta parcial de la matriz de densidad está relacionada con el signo de ciertas correlaciones entre dos cuerpos. Aquí, simetría significa que

${\displaystyle \rho F_{AB}=F_{AB}\rho =\rho ,}$

se cumple, donde es el operador de cambio o intercambio que intercambia las dos partes y . Una base completa del subespacio simétrico tiene la forma con y Aquí para y debe cumplir, donde es la dimensión de las dos partes. ${\displaystyle F_{AB}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (\vert n\rangle _{A}\vert m\rangle _{B}+\vert m\rangle _{A}\vert n\rangle _{B})/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle m\neq n}$ ${\displaystyle \vert n\rangle _{A}\vert n\rangle _{B}.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle 0\leq n,m\leq d-1}$ ${\displaystyle d}$

Se puede demostrar que para tales estados, tiene una transposición parcial positiva si y sólo si ^[10] ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }\geq 0}$

se cumple para todos los operadores. Por lo tanto, si se cumple para algunos , entonces el estado posee un entrelazamiento no PPT . ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }<0}$ ${\displaystyle M}$

Además, la PPT simétrica bipartita se puede escribir como

${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}M_{k}\otimes M_{k},}$

donde son probabilidades y cumplen y Sin embargo, para un subsistema mayor que un qubit, no son necesariamente matrices de densidad físicas puras ya que pueden tener valores propios negativos. En este caso, incluso los estados entrelazados pueden escribirse como una mezcla de productos tensoriales de estados afísicos de una sola parte, muy similar a la forma de estados separables . En el caso del qubit, son matrices de densidad físicas, lo que es consistente con el hecho de que para dos qubits todos los estados PPT son separables. ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle {\rm {Tr}}(M_{k})=1}$ ${\displaystyle {\rm {Tr}}(M_{k}^{2})=1.}$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle M_{k}}$

El concepto de tales pseudomezclas se ha extendido a los estados no simétricos y al caso multipartito, mediante la definición de estados pseudoseparables ^[11].

${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}M_{k}^{(1)}\otimes M_{k}^{(2)}\otimes ...\otimes M_{k}^{(N)},}$

donde es el número de subsistemas y cumple y Los estados afísicos de un solo subsistema son simplemente estados que viven en el equivalente dimensional superior de la esfera de Bloch incluso para sistemas que son más grandes que un qubit. Los estados separables son el subconjunto del conjunto de estados speudoseparables, mientras que para los qubits los dos conjuntos coinciden entre sí. Para sistemas más grandes que los qubits, dichos estados cuánticos pueden estar entrelazados y, en este caso, pueden tener biparticiones PPT o no PPT. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M_{k}^{(n)}}$ ${\displaystyle {\rm {Tr}}(M_{k}^{(n)})=1}$ ${\displaystyle {\rm {Tr}}[(M_{k}^{(n)})^{2}]=1.}$ ${\displaystyle M_{k}^{(n)}}$

Referencias

1. Peres, Asher (19 de agosto de 1996). "Criterio de separabilidad para matrices de densidad". Physical Review Letters . 77 (8): 1413–1415. arXiv : quant-ph/9604005 . doi :10.1103/PhysRevLett.77.1413. PMID  10063072. S2CID  5246518.
2. Horodecki, Michał; Horodecki, Paweł; Horodecki, Ryszard (1996). "Separabilidad de estados mixtos: condiciones necesarias y suficientes". Physics Letters A . 223 (1–2): 1–8. arXiv : quant-ph/9605038 . doi :10.1016/S0375-9601(96)00706-2. S2CID  10580997.
3. Simon, R. (2000). "Criterio de separabilidad de Peres-Horodecki para sistemas de variables continuas". Physical Review Letters . 84 (12): 2726–2729. arXiv : quant-ph/9909044 . Código Bibliográfico :2000PhRvL..84.2726S. doi :10.1103/PhysRevLett.84.2726. PMID  11017310. S2CID  11664720.
4. Duan, Lu-Ming; Giedke, G.; Cirac, JI; Zoller, P. (2000). "Criterio de inseparabilidad para sistemas de variables continuas". Physical Review Letters . 84 (12): 2722–2725. arXiv : quant-ph/9908056 . Código Bibliográfico :2000PhRvL..84.2722D. doi :10.1103/PhysRevLett.84.2722. PMID  11017309. S2CID  9948874.
5. Werner, RF; Wolf, MM (2001). "Estados gaussianos entrelazados ligados". Physical Review Letters . 86 (16): 3658–3661. arXiv : quant-ph/0009118 . Código Bibliográfico :2001PhRvL..86.3658W. doi :10.1103/PhysRevLett.86.3658. PMID  11328047. S2CID  20897950.
6. Shchukin, E.; Vogel, W. (2005). "Criterios de inseparabilidad para estados cuánticos bipartitos continuos". Physical Review Letters . 95 (23): 230502. arXiv : quant-ph/0508132 . Código Bibliográfico :2005PhRvL..95w0502S. doi :10.1103/PhysRevLett.95.230502. PMID  16384285. S2CID  28595936.
7. Hillery, Mark; Zubairy, M. Suhail (2006). "Condiciones de entrelazamiento para estados de dos modos". Physical Review Letters . 96 (5): 050503. arXiv : quant-ph/0507168 . Código Bibliográfico :2006PhRvL..96e0503H. doi :10.1103/PhysRevLett.96.050503. PMID  16486912. S2CID  43756465.
8. Walborn, S.; Taketani, B.; Salles, A.; Toscano, F.; de Matos Filho, R. (2009). "Criterios de entrelazamiento entrópico para variables continuas". Physical Review Letters . 103 (16): 160505. arXiv : 0909.0147 . Código Bibliográfico :2009PhRvL.103p0505W. doi :10.1103/PhysRevLett.103.160505. PMID  19905682. S2CID  10523704.
9. Yichen Huang (octubre de 2013). "Detección de entrelazamiento: complejidad y criterios entrópicos de Shannon". IEEE Transactions on Information Theory . 59 (10): 6774–6778. doi :10.1109/TIT.2013.2257936. S2CID  7149863.
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• Karol Życzkowski e Ingemar Bengtsson, Geometría de los estados cuánticos, Cambridge University Press, 2006
• Woronowicz, SL (1976). "Mapas positivos de álgebras matriciales de baja dimensión". Reports on Mathematical Physics . 10 (2): 165–183. Bibcode :1976RpMP...10..165W. doi :10.1016/0034-4877(76)90038-0.