Serie Mercator

Serie de Taylor para el logaritmo natural

Aproximación polinomial al logaritmo con n=1, 2, 3 y 10 en el intervalo (0,2).

En matemáticas , la serie de Mercator o serie de Newton-Mercator es la serie de Taylor para el logaritmo natural :

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

En notación de suma ,

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.}$

La serie converge al logaritmo natural (desplazado en 1) siempre que . ${\displaystyle -1<x\leq 1}$

Historia

La serie fue descubierta independientemente por Johannes Hudde (1656) ^[1] e Isaac Newton (1665), pero ninguno publicó el resultado. Nicholas Mercator también la descubrió de forma independiente e incluyó valores de la serie para valores pequeños en su tratado de 1668 Logarithmotechnia ; la serie general se incluyó en la reseña del libro de John Wallis de 1668 en Philosophical Transactions . ^[2]

Derivación

La serie se puede obtener a partir del teorema de Taylor , calculando inductivamente la derivada n- ^ésima de en , comenzando con ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.}$

Alternativamente, se puede empezar con la serie geométrica finita ( ) ${\displaystyle t\neq -1}$

${\displaystyle 1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}}$

Lo cual da

${\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.}$

Resulta que

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\ dt}$

y por integración término por término,

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\ dt.}$

Si , el término restante tiende a 0 como . ${\displaystyle -1<x\leq 1}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

Esta expresión se puede integrar iterativamente k veces más para obtener

${\displaystyle -xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},}$

dónde

${\displaystyle A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}}$

y

${\displaystyle B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}}$

son polinomios en x . ^[3]

Casos especiales

El ajuste en la serie de Mercator produce la serie armónica alternada ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln(2).}$

Serie compleja

La serie de potencias complejas

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots }$

es la serie de Taylor para , donde log denota la rama principal del logaritmo complejo . Esta serie converge con precisión para todo número complejo . De hecho, como se ve por la prueba de la razón , tiene un radio de convergencia igual a 1, por lo tanto converge absolutamente en cada disco B (0,  r ) con radio r  < 1. Además, converge uniformemente en cada disco nibbled , con δ  > 0. Esto se deduce inmediatamente de la identidad algebraica: ${\displaystyle -\log(1-z)}$ ${\displaystyle |z|\leq 1,z\neq 1}$ ${\textstyle {\overline {B(0,1)}}\setminus B(1,\delta )}$

${\displaystyle (1-z)\sum _{n=1}^{m}{\frac {z^{n}}{n}}=z-\sum _{n=2}^{m}{\frac {z^{n}}{n(n-1)}}-{\frac {z^{m+1}}{m}},}$

observando que el lado derecho es uniformemente convergente en todo el disco unitario cerrado.

Véase también

• Juan Craig
• Logaritmo natural más 1

Referencias

1. Vermij, Rienk (3 de febrero de 2012). "Bijdrage tot de bio-bibliografía de Johannes Hudde". Gewina / TGGNWT (en holandés). 18 (1): 25–35. hdl : 1874/251283. ISSN  0928-303X.
2. Roy, Ranjan (2021) [1.ª ed. 2011]. Series y productos en el desarrollo de las matemáticas . Vol. 1 (2.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 107, 167.
3. Medina, Luis A.; Moll, Victor H. ; Rowland, Eric S. (2011). "Primitivas iteradas de potencias logarítmicas". Revista Internacional de Teoría de Números . 7 (3): 623–634. arXiv : 0911.1325 . doi :10.1142/S179304211100423X. S2CID  115164019.

• Weisstein, Eric W. "Serie Mercator". MathWorld .
• Anton von Braunmühl (1903) Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie, página 134, a través de Internet Archive
• Eriksson, Larsson y Wahde. Matematisk analys med illämpningar , parte 3. Gotemburgo 2002. p. 10.
• Algunos contemporáneos de Descartes, Fermat, Pascal y Huygens de Breve relato de la historia de las matemáticas (4.ª edición, 1908) de WW Rouse Ball