En matemáticas , un endomorfismo es un morfismo de un objeto matemático hacia sí mismo. Un endomorfismo que es también un isomorfismo es un automorfismo . Por ejemplo, un endomorfismo de un espacio vectorial V es una función lineal f : V → V , y un endomorfismo de un grupo G es un homomorfismo de grupo f : G → G . En general, podemos hablar de endomorfismos en cualquier categoría . En la categoría de conjuntos , los endomorfismos son funciones de un conjunto S hacia sí mismo.
En cualquier categoría, la composición de dos endomorfismos cualesquiera de X es nuevamente un endomorfismo de X. De ello se deduce que el conjunto de todos los endomorfismos de X forma un monoide , el monoide de transformación completo , y se denota End( X ) (o End C ( X ) para enfatizar la categoría C ).
Un endomorfismo invertible de X se denomina automorfismo . El conjunto de todos los automorfismos es un subconjunto de End( X ) con una estructura de grupo , denominada grupo de automorfismos de X y denotada como Aut( X ) . En el siguiente diagrama, las flechas indican implicación:
Dos endomorfismos cualesquiera de un grupo abeliano , A , pueden sumarse mediante la regla ( f + g )( a ) = f ( a ) + g ( a ) . Con esta suma, y definiendo la multiplicación como composición de funciones, los endomorfismos de un grupo abeliano forman un anillo (el anillo de endomorfismos ). Por ejemplo, el conjunto de endomorfismos de es el anillo de todas las matrices n × n con entradas enteras . Los endomorfismos de un espacio vectorial o módulo también forman un anillo, al igual que los endomorfismos de cualquier objeto en una categoría preaditiva . Los endomorfismos de un grupo no abeliano generan una estructura algebraica conocida como casi-anillo . Todo anillo con uno es el anillo de endomorfismos de su módulo regular , y por lo tanto es un subanillo de un anillo de endomorfismos de un grupo abeliano; [1] sin embargo, hay anillos que no son el anillo de endomorfismos de ningún grupo abeliano.
En cualquier categoría concreta , especialmente para espacios vectoriales , los endomorfismos son mapas de un conjunto en sí mismo, y pueden interpretarse como operadores unarios sobre ese conjunto, que actúan sobre los elementos y permiten definir la noción de órbitas de los elementos, etc.
Dependiendo de la estructura adicional definida para la categoría en cuestión ( topología , métrica , etc.), dichos operadores pueden tener propiedades como continuidad , acotación , etc. Se pueden encontrar más detalles en el artículo sobre teoría de operadores .
Una endofunción es una función cuyo dominio es igual a su codominio . Una endofunción homomórfica es un endomorfismo.
Sea S un conjunto arbitrario. Entre las endofunciones sobre S se encuentran permutaciones de S y funciones constantes que asocian a cada x de S el mismo elemento c de S. Toda permutación de S tiene el codominio igual a su dominio y es biyectiva e invertible. Si S tiene más de un elemento, una función constante sobre S tiene una imagen que es un subconjunto propio de su codominio, y por tanto no es biyectiva (y por tanto no es invertible). La función que asocia a cada número natural n el suelo de n /2 tiene su imagen igual a su codominio y no es invertible.
Las endofunciones finitas son equivalentes a pseudobosques dirigidos . Para conjuntos de tamaño n hay n n endofunciones en el conjunto.
Ejemplos particulares de endofunciones biyectivas son las involuciones , es decir, las funciones que coinciden con sus inversas.
