En álgebra abstracta , un grupo finito es un grupo cuyo conjunto subyacente es finito . Los grupos finitos a menudo surgen cuando se considera la simetría de objetos matemáticos o físicos, cuando esos objetos admiten sólo un número finito de transformaciones que preservan la estructura. Ejemplos importantes de grupos finitos incluyen grupos cíclicos y grupos de permutación .
El estudio de grupos finitos ha sido una parte integral de la teoría de grupos desde que surgió en el siglo XIX. Un área importante de estudio ha sido la clasificación: la clasificación de grupos finitos simples (aquellos sin un subgrupo normal no trivial ) se completó en 2004.
Durante el siglo XX, los matemáticos investigaron con gran profundidad algunos aspectos de la teoría de grupos finitos, especialmente la teoría local de grupos finitos y la teoría de grupos solubles y nilpotentes . [1] [2] Como consecuencia, se logró la clasificación completa de grupos finitos simples , lo que significa que ahora se conocen todos aquellos grupos simples a partir de los cuales se pueden construir todos los grupos finitos.
Durante la segunda mitad del siglo XX, matemáticos como Chevalley y Steinberg también aumentaron nuestra comprensión de los análogos finitos de los grupos clásicos y otros grupos relacionados. Una de esas familias de grupos es la familia de grupos lineales generales sobre campos finitos .
Los grupos finitos suelen aparecer cuando se considera la simetría de objetos matemáticos o físicos, cuando esos objetos admiten sólo un número finito de transformaciones que preservan la estructura. La teoría de los grupos de Lie , que puede considerarse como una " simetría continua ", está fuertemente influenciada por los grupos de Weyl asociados . Se trata de grupos finitos generados por reflexiones que actúan sobre un espacio euclidiano de dimensión finita . Por tanto, las propiedades de los grupos finitos pueden desempeñar un papel en materias como la física teórica y la química . [3]
El grupo simétrico S n en un conjunto finito de n símbolos es el grupo cuyos elementos son todas las permutaciones de los n símbolos, y cuya operación de grupo es la composición de tales permutaciones, que se tratan como funciones biyectivas del conjunto de símbolos a sí mismo. . [4] Dado que hay n ! ( n factorial ) posibles permutaciones de un conjunto de n símbolos, se deduce que el orden (el número de elementos) del grupo simétrico S n es n !.
Un grupo cíclico Z n es un grupo cuyos elementos son potencias de un elemento particular a donde a n = a 0 = e , la identidad. Una realización típica de este grupo es como el complejo n- ésimo raíces de la unidad . Enviar a a una raíz primitiva de unidad da un isomorfismo entre los dos. Esto se puede hacer con cualquier grupo cíclico finito.
Un grupo abeliano , también llamado grupo conmutativo , es un grupo en el que el resultado de aplicar la operación de grupo a dos elementos del grupo no depende de su orden (el axioma de la conmutatividad ). Llevan el nombre de Niels Henrik Abel . [5]
Un grupo abeliano finito arbitrario es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos finitos de orden de potencia prima, y estos órdenes están determinados de forma única, formando un sistema completo de invariantes. El grupo de automorfismos de un grupo abeliano finito se puede describir directamente en términos de estos invariantes. La teoría se desarrolló por primera vez en el artículo de 1879 de Georg Frobenius y Ludwig Stickelberger y luego se simplificó y generalizó a módulos generados de forma finita sobre un dominio ideal principal, formando un capítulo importante del álgebra lineal .
Un grupo de tipo Lie es un grupo estrechamente relacionado con el grupo G ( k ) de puntos racionales de un grupo algebraico lineal reductivo G con valores en el campo k . Los grupos finitos de tipo Lie dan la mayor parte de los grupos simples finitos nobelianos . Los casos especiales incluyen los grupos clásicos , los grupos Chevalley , los grupos Steinberg y los grupos Suzuki-Ree.
Los grupos finitos de tipo Lie estuvieron entre los primeros grupos considerados en matemáticas, después de los grupos cíclicos , simétricos y alternos , con los grupos lineales especiales proyectivos sobre campos finitos primos, PSL(2, p ) construidos por Évariste Galois en la década de 1830. La exploración sistemática de grupos finitos de tipo Lie comenzó con el teorema de Camille Jordan de que el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, q ) es simple para q ≠ 2, 3. Este teorema se generaliza a grupos proyectivos de dimensiones superiores y proporciona una importante familia infinita PSL ( n , q ) de grupos simples finitos . Leonard Dickson estudió otros grupos clásicos a principios del siglo XX. En la década de 1950 , Claude Chevalley se dio cuenta de que después de una reformulación adecuada, muchos teoremas sobre grupos de Lie semisimples admiten análogos para grupos algebraicos en un campo arbitrario k , lo que llevó a la construcción de lo que ahora se llama grupos de Chevalley . Además, como en el caso de los grupos de Lie simples y compactos, los grupos correspondientes resultaron ser casi tan simples como grupos abstractos ( teorema de simplicidad de Tit ). Aunque desde el siglo XIX se sabía que existen otros grupos finitos simples (por ejemplo, los grupos de Mathieu ), gradualmente se formó la creencia de que casi todos los grupos finitos simples pueden explicarse mediante extensiones apropiadas de la construcción de Chevalley, junto con grupos cíclicos y alternos. Además, las excepciones, los grupos esporádicos , comparten muchas propiedades con los grupos finitos de tipo Lie y, en particular, pueden construirse y caracterizarse en función de su geometría en el sentido de Tetas.
La creencia se ha convertido ahora en un teorema: la clasificación de grupos finitos simples . La inspección de la lista de grupos simples finitos muestra que los grupos de tipo Lie sobre un campo finito incluyen todos los grupos simples finitos distintos de los grupos cíclicos, los grupos alternos, el grupo de Tetas y los 26 grupos simples esporádicos .
Para cualquier grupo finito G , el orden ( número de elementos) de cada subgrupo H de G divide el orden de G. El teorema lleva el nombre de Joseph-Louis Lagrange .
Esto proporciona una inversa parcial del teorema de Lagrange que proporciona información sobre cuántos subgrupos de un orden determinado están contenidos en G.
El teorema de Cayley , llamado así en honor a Arthur Cayley , establece que todo grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico que actúa sobre G. [6] Esto puede entenderse como un ejemplo de la acción grupal de G sobre los elementos de G. [7]
El teorema de Burnside en teoría de grupos establece que si G es un grupo finito de orden p a q b , donde p y q son números primos , y a y b son enteros no negativos , entonces G tiene solución . Por tanto, cada grupo finito simple no abeliano tiene un orden divisible por al menos tres números primos distintos.
El teorema de Feit-Thompson , o teorema de orden impar , establece que todo grupo finito de orden impar tiene solución . Fue demostrado por Walter Feit y John Griggs Thompson (1962, 1963).
La clasificación de grupos finitos simples es un teorema que establece que todo grupo finito simple pertenece a una de las siguientes familias:
Los grupos finitos simples pueden verse como los componentes básicos de todos los grupos finitos, de una manera que recuerda a la forma en que los números primos son los componentes básicos de los números naturales . El teorema de Jordan-Hölder es una forma más precisa de expresar este hecho sobre grupos finitos. Sin embargo, una diferencia significativa con respecto al caso de la factorización de números enteros es que tales "bloques de construcción" no necesariamente determinan de manera única un grupo, ya que puede haber muchos grupos no isomorfos con la misma serie de composición o, dicho de otra manera, los El problema de la extensión no tiene una solución única.
La demostración del teorema consta de decenas de miles de páginas en varios cientos de artículos de revistas escritos por unos 100 autores, publicados en su mayoría entre 1955 y 2004. Gorenstein (muerto en 1992), Lyons y Solomon están publicando gradualmente una versión simplificada y revisada del la prueba.
Dado un número entero positivo n , no es en absoluto una cuestión de rutina determinar cuántos tipos de isomorfismos de grupos de orden n hay. Todo grupo de orden primo es cíclico , porque el teorema de Lagrange implica que el subgrupo cíclico generado por cualquiera de sus elementos no identitarios es el grupo completo. Si n es el cuadrado de un número primo, entonces hay exactamente dos posibles tipos de isomorfismo de grupo de orden n , los cuales son abelianos. Si n es una potencia superior de un primo, entonces los resultados de Graham Higman y Charles Sims dan estimaciones asintóticamente correctas para el número de tipos de isomorfismo de grupos de orden n , y el número crece muy rápidamente a medida que aumenta la potencia.
Dependiendo de la factorización prima de n , se pueden imponer algunas restricciones a la estructura de grupos de orden n , como consecuencia, por ejemplo, de resultados como los teoremas de Sylow . Por ejemplo, todo grupo de orden pq es cíclico cuando q < p son primos con p − 1 no divisible por q . Para conocer una condición necesaria y suficiente, consulte número cíclico .
Si n es libre de cuadrados , entonces cualquier grupo de orden n tiene solución. El teorema de Burnside , demostrado utilizando caracteres de grupo , establece que todo grupo de orden n se puede resolver cuando n es divisible por menos de tres números primos distintos, es decir, si n = p a q b , donde p y q son números primos, y a y b son números enteros no negativos. Según el teorema de Feit-Thompson , que tiene una demostración larga y complicada, todo grupo de orden n tiene solución cuando n es impar.
Para cada número entero positivo n , la mayoría de los grupos de orden n tienen solución . Ver esto para cualquier orden en particular no suele ser difícil (por ejemplo, hay, hasta el isomorfismo, un grupo no soluble y 12 grupos solubles de orden 60), pero la prueba de esto para todos los órdenes utiliza la clasificación de grupos finitos simples. . Para cualquier entero positivo n hay como máximo dos grupos simples de orden n , y hay infinitos enteros positivos n para los cuales hay dos grupos simples no isomórficos de orden n .