Conjunto denso en ninguna parte

Conjunto matemático cuyo cierre tiene el interior vacío

En matemáticas , un subconjunto de un espacio topológico se denomina denso en ninguna parte ^{[1] [2]} o raro ^[3] si su clausura tiene el interior vacío . En un sentido muy amplio, es un conjunto cuyos elementos no están agrupados estrechamente (como lo define la topología en el espacio) en ningún lugar. Por ejemplo, los números enteros no son densos en ninguna parte entre los números reales , mientras que el intervalo (0, 1) no es denso en ninguna parte.

Una unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte se denomina conjunto magro . Los conjuntos magros desempeñan un papel importante en la formulación del teorema de categorías de Baire , que se utiliza en la demostración de varios resultados fundamentales del análisis funcional .

Definición

La densidad no se puede caracterizar de formas diferentes (pero equivalentes). La definición más sencilla es la de densidad:

Se dice que un subconjunto de un espacio topológico es denso en otro conjunto si la intersección es un subconjunto denso de no es denso ni raro en ninguna parte si no es denso en ningún subconjunto abierto no vacío de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S\cap U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Desarrollando la negación de la densidad, es equivalente a que cada conjunto abierto no vacío contenga un subconjunto abierto no vacío disjunto de ^[4]. Es suficiente comprobar cualquiera de las condiciones en una base para la topología en En particular, la densidad en ninguna parte en se describe a menudo como densa en ningún intervalo abierto . ^{[5] [6]} ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Definición por cierre

La segunda definición anterior es equivalente a exigir que el cierre no pueda contener ningún conjunto abierto no vacío. ^[7] Esto es lo mismo que decir que el interior del cierre de está vacío; es decir, ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S,}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\varnothing .}$^{[8] [9]}

Alternativamente, el complemento del cierre debe ser un subconjunto denso de ^{[4] [8]} en otras palabras, el exterior de es denso en ${\displaystyle X\setminus \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

Propiedades

La noción de conjunto denso en ninguna parte es siempre relativa a un espacio circundante dado. Supongamos que donde tiene la topología de subespacio inducida a partir de El conjunto puede ser denso en ninguna parte en pero no en ninguna parte en Cabe destacar que un conjunto siempre es denso en su propia topología de subespacio. Por lo tanto, si no está vacío, no será denso en ninguna parte como subconjunto de sí mismo. Sin embargo, se cumplen los siguientes resultados: ^{[10] [11]} ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle A}$

• Si no hay denso en ninguna parte , entonces no hay denso en ninguna parte. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Si está abierto en , entonces no hay denso en ninguna parte si y solo si no hay denso en ninguna parte ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es denso en , entonces en ninguna parte es denso en si y solo si en ninguna parte es denso en ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Un conjunto no es denso en ningún sentido si y sólo si su clausura lo es. ^[1]

Cada subconjunto de un conjunto denso en ninguna parte es denso en ninguna parte, y una unión finita de conjuntos densos en ninguna parte es densa en ninguna parte. ^{[12] [13]} Por lo tanto, los conjuntos densos en ninguna parte forman un ideal de conjuntos , una noción adecuada de conjunto despreciable . En general, no forman un 𝜎-ideal , ya que los conjuntos magros , que son las uniones contables de conjuntos densos en ninguna parte, no necesitan ser densos en ninguna parte. Por ejemplo, el conjunto no es denso en ninguna parte en ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

El límite de todo conjunto abierto y de todo conjunto cerrado es cerrado y no es denso en ninguna parte. ^{[14] [2]} Un conjunto cerrado no es denso en ninguna parte si y solo si es igual a su límite, ^[14] si y solo si es igual al límite de algún conjunto abierto ^[2] (por ejemplo, el conjunto abierto puede tomarse como el complemento del conjunto). Un conjunto arbitrario no es denso en ninguna parte si y solo si es un subconjunto del límite de algún conjunto abierto (por ejemplo, el conjunto abierto puede tomarse como el exterior de ). ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos

• El conjunto y su cierre no son en ningún caso densos ya que el cierre tiene el interior vacío. ${\displaystyle S=\{1/n:n=1,2,...\}}$ ${\displaystyle S\cup \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
• El conjunto de Cantor es un conjunto incontable, denso en ninguna parte. ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$Visto como el eje horizontal en el plano euclidiano no es denso en ninguna parte. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$no es denso en ninguna parte, pero los racionales no lo son (son densos en todas partes). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} \cup [(a,b)\cap \mathbb {Q} ]}$no es denso en ninguna parte : es denso en el intervalo abierto y en particular en el interior de su cierre. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b),}$ ${\displaystyle (a,b).}$
• El conjunto vacío no es denso en ninguna parte. En un espacio discreto , el conjunto vacío es el único conjunto denso en ninguna parte. ^[15]
• En un espacio T 1 , cualquier conjunto singleton que no sea un punto aislado no es denso en ninguna parte.
• Un subespacio vectorial de un espacio vectorial topológico es denso o no es denso en ninguna parte. ^[16]

En ninguna parte hay conjuntos densos con medida positiva

Un conjunto denso en ninguna parte no es necesariamente despreciable en todos los sentidos. Por ejemplo, si es el intervalo unitario no sólo es posible tener un conjunto denso de medida de Lebesgue cero (como el conjunto de los racionales), sino que también es posible tener un conjunto denso en ninguna parte con medida positiva. Un ejemplo de ello es el conjunto de Smith-Volterra-Cantor . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1],}$

Para otro ejemplo (una variante del conjunto de Cantor ), elimine de todas las fracciones diádicas , es decir, fracciones de la forma en términos más bajos para números enteros positivos y los intervalos alrededor de ellas: Dado que para cada esto elimina intervalos que suman como máximo el conjunto denso en ninguna parte que queda después de que se han eliminado todos esos intervalos tiene una medida de al menos (de hecho, un poco más de debido a las superposiciones ^[17] ) y, por lo tanto, en cierto sentido representa la mayoría del espacio ambiental. Este conjunto no es denso en ninguna parte, ya que es cerrado y tiene un interior vacío: ningún intervalo está contenido en el conjunto ya que las fracciones diádicas en han sido eliminadas. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle a/2^{n}}$ ${\displaystyle a,n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \left(a/2^{n}-1/2^{2n+1},a/2^{n}+1/2^{2n+1}\right).}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/2^{n+1},}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 0.535\ldots }$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a,b)}$

Generalizando este método, se pueden construir en el intervalo unitario conjuntos densos en ninguna parte de cualquier medida menor que aunque la medida no puede ser exactamente 1 (porque de lo contrario el complemento de su clausura sería un conjunto abierto no vacío con medida cero, lo cual es imposible). ^[18] ${\displaystyle 1,}$

Para dar otro ejemplo más simple, si es cualquier subconjunto denso abierto de que tiene una medida de Lebesgue finita , entonces es necesariamente un subconjunto cerrado de que tiene una medida de Lebesgue infinita que tampoco es denso en ninguna parte (porque su interior topológico está vacío). Un subconjunto denso abierto de este tipo con una medida de Lebesgue finita se construye comúnmente cuando se prueba que la medida de Lebesgue de los números racionales es Esto se puede hacer eligiendo cualquier biyección (en realidad basta con que sea simplemente una sobreyección ) y para cada habilitación (aquí, se utilizó la notación de suma de Minkowski para simplificar la descripción de los intervalos). El subconjunto abierto es denso en porque esto es cierto para su subconjunto y su medida de Lebesgue no es mayor que Tomando la unión de intervalos cerrados, en lugar de abiertos, se produce el F 𝜎 -subconjunto que satisface Como es un subconjunto del conjunto denso en ninguna parte , también es denso en ninguna parte en Como es un espacio de Baire , el conjunto es un subconjunto denso de (lo que significa que como su subconjunto no puede ser denso en ninguna parte en ) con medida de Lebesgue que también es un subconjunto no magro de (es decir, es de la segunda categoría en ), lo que hace un subconjunto comeager de cuyo interior en también está vacío; sin embargo, no es denso en ninguna parte en si y solo si su clausura en tiene el interior vacío. El subconjunto en este ejemplo puede reemplazarse por cualquier subconjunto denso contable de y, además, incluso el conjunto puede reemplazarse por para cualquier entero ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle U_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)~=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right)}$$ ${\displaystyle f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right):=\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)}$ ${\displaystyle U_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }2r/2^{n}=2r.}$ $${\displaystyle S_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left[-r/2^{n},r/2^{n}\right]}$$ ${\displaystyle S_{r/2}\subseteq U_{r}\subseteq S_{r}\subseteq U_{2r}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus S_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus U_{r},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle D:=\bigcap _{m=1}^{\infty }U_{1/m}=\bigcap _{m=1}^{\infty }S_{1/m}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>0.}$

Véase también

• Espacio de Baire  – Concepto en topología
• Conjunto de Smith-Volterra-Cantor  : conjunto que no es denso en ningún sentido (en particular, no contiene intervalos), pero que tiene medida positivaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Conjunto magro  : subconjunto «pequeño» de un espacio topológico

Referencias

1. Bourbaki 1989, cap. IX, apartado 5.1.
2. Willard 2004, Problema 4G.
3. Narici y Beckenstein 2011, sección 11.5, págs. 387-389.
4. Fremlin 2002, 3A3F(a).
5. Oxtoby, John C. (1980). Medida y categoría (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pp. 1–2. ISBN 0-387-90508-1Un conjunto no es denso en ninguna parte si no es denso en ningún intervalo .; aunque tenga en cuenta que Oxtoby da más adelante la definición del interior del cierre en la página 40.
6. Natanson, Israel P. (1955). Teoria functsiy veshchestvennoy peremennoy [ Teoría de funciones de una variable real ]. Vol. I (Capítulos 1-9). Traducido por Boron, Leo F. Nueva York: Frederick Ungar. p. 88. hdl :2027/mdp.49015000681685. LCCN  54-7420.
7. Steen, Lynn Arthur; Seebach Jr., J. Arthur (1995). Contraejemplos en topología (reedición de Dover de Springer-Verlag, edición de 1978). Nueva York: Dover. pag. 7.ISBN​ 978-0-486-68735-3Se dice que un subconjunto de no es denso en ninguna parte si no hay ningún conjunto abierto no vacío de contenido en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {A}}.}$
8. Gamelin, Theodore W. (1999). Introducción a la topología (2.ª ed.). Mineola: Dover. págs. 36-37. ISBN 0-486-40680-6– a través de ProQuest ebook Central.
9. Rudin 1991, pág. 41.
10. Narici y Beckenstein 2011, Teorema 11.5.4.
11. Haworth y McCoy 1977, Proposición 1.3.
12. Fremlin 2002, 3A3F(c).
13. Willard 2004, Problema 25A.
14. Narici y Beckenstein 2011, ejemplo 11.5.3 (e).
15. Narici y Beckenstein 2011, ejemplo 11.5.3 (a).
16. Narici y Beckenstein 2011, Ejemplo 11.5.3(f).
17. "Algunos conjuntos densos en ninguna parte con medida positiva y una función continua estrictamente monótona con un conjunto denso de puntos con derivada cero".
18. Folland, GB (1984). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones. Nueva York: John Wiley & Sons. p. 41. hdl :2027/mdp.49015000929258. ISBN 0-471-80958-6.

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4.OCLC 246032063  .
• Fremlin, D. H. (2002). Teoría de la medida . Lulu.com. ISBN 978-0-9566071-1-9.
• Haworth, RC; McCoy, RA (1977), Baire Spaces, Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .

Enlaces externos

• Algunos conjuntos densos en ninguna parte con medida positiva