Escaneo de la fórmula en la página 288 de "Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités trascendentantes, circulaires et logarithmiques" de Lambert, Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin (1768), 265–322
En 1761, Johann Heinrich Lambert demostró que esto es irracional al demostrar primero que esta expansión fraccionaria continua se cumple:
Luego Lambert demostró que si es distinto de cero y racional, entonces esta expresión debe ser irracional. Como , se deduce que es irracional y, por tanto, también es irracional. [2] A continuación se ofrece una simplificación de la prueba de Lambert.
La prueba de Hermite
Escrita en 1873, esta prueba utiliza la caracterización de como el número positivo más pequeño cuya mitad es un cero de la función coseno y en realidad demuestra que es irracional. [3] [4] Como en muchas pruebas de irracionalidad, es una prueba por contradicción .
Si con y en , entonces, dado que los coeficientes de son números enteros y su grado es menor o igual que es algún número entero En otras palabras,
Pero este número es claramente mayor que. Por otro lado, el límite de esta cantidad cuando llega al infinito es cero, por lo que, si es lo suficientemente grande, se alcanza una contradicción.
Hermite no presentó su prueba como un fin en sí mismo sino como una ocurrencia tardía dentro de su búsqueda de una prueba de la trascendencia de. Discutió las relaciones de recurrencia para motivar y obtener una representación integral conveniente. Una vez obtenida esta representación integral, existen varias formas de presentar una prueba sucinta y autónoma a partir de la integral (como en las presentaciones de Cartwright, Bourbaki o Niven), que Hermite pudiera ver fácilmente (como lo hizo en su prueba de la trascendencia de [5] ).
Además, la prueba de Hermite está más cerca de la prueba de Lambert de lo que parece. De hecho, ¿es el "residuo" (o "resto") de la fracción continua de Lambert para [6]
La prueba de Cartwright
Harold Jeffreys escribió que esta prueba fue puesta como ejemplo en un examen en la Universidad de Cambridge en 1945 por Mary Cartwright , pero que ella no había rastreado su origen. [7] Todavía permanece hoy en la cuarta hoja de problemas del curso de Análisis IA de la Universidad de Cambridge. [8]
donde y son polinomios de grado y con coeficientes enteros (según ).
Tome y suponga si es posible que donde y son números naturales (es decir, suponga que es racional). Entonces
El lado derecho es un número entero. Pero como el intervalo tiene longitud y la función que se integra solo toma valores entre y Por otro lado,
Por lo tanto, para suficientemente grande
es decir, podríamos encontrar un número entero entre y. Esa es la contradicción que se sigue del supuesto de que es racional.
Esta prueba es similar a la prueba de Hermite. En efecto,
Sin embargo, es claramente más sencillo. Esto se logra omitiendo la definición inductiva de las funciones y tomando como punto de partida su expresión como integral.
La prueba de Niven
Esta prueba utiliza la caracterización de como el cero positivo más pequeño de la función seno . [9]
Supongamos que es racional, es decir, para algunos números enteros y que puede considerarse sin pérdida de generalidad que ambos son positivos. Dado cualquier número entero positivo definimos la función polinómica:
y, por cada let
Reivindicación 1: es un número entero.
Prueba:
Expandiendo como suma de monomios, el coeficiente de es un número de la forma donde es un número entero, que es si Por lo tanto, es cuando y es igual a si ; en cada caso, es un número entero y, por tanto, es un número entero.
Por otro lado, y así para cada número entero no negativo en particular, Por lo tanto, también es un número entero y también lo es (de hecho, es fácil ver eso ). Como y son números enteros, también lo es su suma.
Dado que y (aquí utilizamos la caracterización antes mencionada de como un cero de la función seno), se sigue la reivindicación 2.
Conclusión: Desde y para (porque es el cero positivo más pequeño de la función seno), las Reivindicaciones 1 y 2 muestran que es un número entero positivo . Desde y para tenemos, según la definición original de
que es menor que grande, por lo tanto, para estos según la Reivindicación 2. Esto es imposible para el número entero positivo. Esto muestra que la suposición original de que es racional conduce a una contradicción, lo que concluye la prueba.
La prueba anterior es una versión pulida, que se mantiene lo más simple posible en cuanto a los requisitos previos, de un análisis de la fórmula.
que se obtiene mediante integraciones por partes . La reivindicación 2 establece esencialmente esta fórmula, donde el uso de oculta la integración iterada por partes. La última integral desaparece porque es el polinomio cero. La reivindicación 1 muestra que la suma restante es un número entero.
La prueba de Niven está más cerca de la prueba de Cartwright (y por tanto de Hermite) de lo que parece a primera vista. [6] De hecho,
Por lo tanto, la sustitución convierte esta integral en
En particular,
Otra conexión entre las pruebas radica en el hecho de que Hermite ya menciona [3] que si es una función polinómica y
Dado que es la integral de una función definida en que toma el valor en y y que es mayor que en otro caso, además, para cada número natural si es lo suficientemente grande, porque
y por lo tanto
Por otro lado, la integración repetida por partes nos permite deducir que, si y son números naturales tales que y es la función polinómica de en definida por
entonces:
Esta última integral es ya que es la función nula (porque es una función polinómica de grado ). Dado que cada función (con ) toma valores enteros en y y dado que sucede lo mismo con las funciones seno y coseno, esto demuestra que es un número entero. Como también es mayor que debe ser un número natural. Pero también se demostró que es lo suficientemente grande, llegando así a una contradicción .
Esta prueba es bastante cercana a la prueba de Niven, siendo la principal diferencia entre ellas la forma de demostrar que los números son enteros.
Estas funciones están claramente definidas para cualquier número real . Además
Reivindicación 1: La siguiente relación de recurrencia es válida para cualquier número real :
Prueba: Esto se puede demostrar comparando los coeficientes de las potencias de
Reclamación 2: Para cada número real
Prueba: De hecho, la secuencia es acotada (ya que converge a ) y si es un límite superior y si entonces
Afirmación 3: Si es racional, y entonces
Prueba: De lo contrario, habría un número y enteros y tal que y Para ver por qué, toma y si ; de lo contrario, elija números enteros y tales que y defina En cada caso, no puede ser porque de lo contrario se seguiría de la reivindicación 1 que cada ( ) sería lo que contradeciría la reivindicación 2. Ahora, tome un número natural tal que los tres números y sean enteros y considere la secuencia
Entonces
Por otra parte, de la reivindicación 1 se desprende que
que es una combinación lineal de y con coeficientes enteros. Por lo tanto, cada uno es un múltiplo entero de Además, de la reivindicación 2 se deduce que cada uno es mayor que (y por lo tanto que ) si es lo suficientemente grande y que la secuencia de todos converge a Pero una secuencia de números mayor o igual a no puede converger a
Ya que de la reivindicación 3 se desprende que eso es irracional y por tanto que es irracional.
Por otra parte, desde
Otra consecuencia de la reivindicación 3 es que si entonces es irracional.
La prueba de Laczkovich trata realmente de la función hipergeométrica . De hecho, Gauss encontró una expansión fraccionaria continua de la función hipergeométrica utilizando su ecuación funcional . [12] Esto permitió a Laczkovich encontrar una prueba nueva y más simple del hecho de que la función tangente tiene la expansión fraccional continua que Lambert había descubierto.
El resultado de Laczkovich también se puede expresar en funciones de Bessel de primer tipo . De hecho, (¿dónde está la función gamma ?). Entonces el resultado de Laczkovich es equivalente a: Si es racional, y entonces
^ Lambert, Johann Heinrich (2004) [1768], "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités trascendentantes circulaires et logarithmiques", en Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M .; Borwein, Peter B. (eds.), Pi, un libro de consulta (3.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag , págs. 129-140, ISBN0-387-20571-3.
^ Hermite, Charles (1912) [1873]. "Sobre la función exponencial". En Picard, Émile (ed.). Obras de Charles Hermite (en francés). vol. III. Gauthier-Villars. págs. 150–181.
^ ab Zhou, Li (2011). "Pruebas de irracionalidad a la Hermite". La Gaceta Matemática . 95 (534): 407–413. arXiv : 0911.1929 . doi :10.1017/S0025557200003491. S2CID 115175505.
^ Bourbaki, Nicolas (1949), Fonctions d'une variable réelle, cap. I – II – III , Actualités Scientifiques et Industrielles (en francés), vol. 1074, Hermann , págs. 137-138
^ Gauss, Carl Friedrich (1811–1813), "Disquisitiones generales circa seriem infinitam", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores (en latín), 2