En matemáticas , geometría y topología es un término general para las disciplinas históricamente distintas de geometría y topología , ya que los marcos generales permiten que ambas disciplinas sean manipuladas de manera uniforme, más visiblemente en teoremas locales a globales en la geometría de Riemann y resultados como el teorema de Gauss-Bonnet. y teoría de Chern-Weil .
Sin embargo, se pueden establecer claras distinciones entre geometría y topología, como se analiza a continuación. [ se necesita aclaración ]
También es el título de una revista Geometry & Topology que cubre estos temas.
Se diferencia de la "topología geométrica", que implica más específicamente aplicaciones de la topología a la geometría.
Incluye:
No incluye partes de la topología algebraica como la teoría de la homotopía , pero algunas áreas de la geometría y la topología (como la teoría de la cirugía, particularmente la teoría de la cirugía algebraica ) son fuertemente algebraicas.
La geometría tiene estructura local (o infinitesimal ), mientras que la topología sólo tiene estructura global . Alternativamente, la geometría tiene módulos continuos , mientras que la topología tiene módulos discretos .
Por ejemplos, un ejemplo de geometría es la geometría riemanniana , mientras que un ejemplo de topología es la teoría de la homotopía . El estudio de los espacios métricos es geometría, el estudio de los espacios topológicos es topología.
Los términos no se utilizan de forma completamente coherente: las variedades simplécticas son un caso límite y la geometría burda es global, no local.
Por definición, las variedades diferenciables de una dimensión fija son todas localmente difeomorfas del espacio euclidiano , por lo que, aparte de la dimensión, no hay invariantes locales. Por tanto, las estructuras diferenciables en una variedad son de naturaleza topológica.
Por el contrario, la curvatura de una variedad de Riemann es un invariante local (de hecho, infinitesimal) [ se necesita aclaración ] (y es el único invariante local bajo isometría ).
Si una estructura tiene módulos discretos (si no tiene deformaciones , o si una deformación de una estructura es isomorfa a la estructura original), se dice que la estructura es rígida , y su estudio (si es una estructura geométrica o topológica) es la topología. Si tiene deformaciones no triviales, se dice que la estructura es flexible , y su estudio es la geometría.
El espacio de las clases de mapas de homotopía es discreto, [a] por lo que estudiar mapas hasta la homotopía es topología. De manera similar, las estructuras diferenciables en una variedad suelen ser un espacio discreto y, por lo tanto, un ejemplo de topología, pero los R 4 exóticos tienen módulos continuos de estructuras diferenciables.
Las variedades algebraicas tienen espacios de módulos continuos , de ahí que su estudio sea la geometría algebraica . Estos son espacios de módulos de dimensión finita.
El espacio de las métricas de Riemann en una variedad diferenciable dada es un espacio de dimensión infinita.
Las variedades simplécticas son un caso límite, y partes de su estudio se denominan topología simpléctica y geometría simpléctica .
Según el teorema de Darboux , una variedad simpléctica no tiene estructura local, lo que sugiere que su estudio se llame topología.
Por el contrario, el espacio de las estructuras simplécticas en una variedad forma módulos continuos, lo que sugiere que su estudio se llame geometría.
Sin embargo, hasta la isotopía , el espacio de las estructuras simplécticas es discreto (cualquier familia de estructuras simplécticas es isotópica). [1]