En geometría convexa , el volumen de Mahler de un cuerpo convexo con simetría central es una cantidad adimensional que está asociada con el cuerpo y es invariante bajo transformaciones lineales . Lleva el nombre del matemático alemán-inglés Kurt Mahler . Se sabe que las formas con mayor volumen de Mahler posible son las bolas y los elipsoides sólidos ; esto ahora se conoce como desigualdad de Blaschke-Santaló . La conjetura de Mahler , aún sin resolver, afirma que un hipercubo alcanza el mínimo volumen de Mahler posible .
Un cuerpo convexo en el espacio euclidiano se define como un conjunto convexo compacto con interior no vacío . Si es un cuerpo convexo con simetría central en el espacio euclidiano de dimensiones, el cuerpo polar es otro cuerpo con simetría central en el mismo espacio, definido como el conjunto
Si es una transformación lineal invertible , entonces . Aplicando a multiplica su volumen por y multiplica el volumen de por . Como estos determinantes son inversos multiplicativos , el volumen total de Mahler se conserva mediante transformaciones lineales.
El cuerpo polar de una esfera unitaria de dimensiones es en sí mismo otra esfera unitaria. Por tanto, su volumen de Mahler es solo el cuadrado de su volumen,
¿Dónde está la función Gamma ? Por invariancia afín, cualquier elipsoide tiene el mismo volumen de Mahler. [1]
El cuerpo polar de un poliedro o politopo es su poliedro dual o politopo dual . En particular, el cuerpo polar de un cubo o hipercubo es un octaedro o politopo cruzado . Su volumen de Mahler se puede calcular como [1]
El volumen de Mahler de la esfera es mayor que el volumen de Mahler del hipercubo por un factor de aproximadamente . [1]
¿El volumen de Mahler de un cuerpo convexo con simetría central es siempre al menos el del hipercubo de la misma dimensión?
La desigualdad de Blaschke-Santaló establece que las formas con máximo volumen de Mahler son las esferas y los elipsoides. La validez tridimensional de este resultado fue demostrada por Wilhelm Blaschke (1917); El resultado completo fue demostrado mucho más tarde por Luis Santaló (1949) utilizando una técnica conocida como simetrización de Steiner mediante la cual cualquier cuerpo convexo con simetría central puede ser reemplazado por un cuerpo más esférico sin disminuir su volumen de Mahler. [1]
Las formas con el volumen Mahler mínimo conocido son los hipercubos , los politopos cruzados y, más generalmente, los politopos de Hanner que incluyen estos dos tipos de formas, así como sus transformaciones afines. La conjetura de Mahler establece que el volumen de Mahler de estas formas es el más pequeño de cualquier cuerpo convexo simétrico de n dimensiones; sigue sin resolverse cuando . Como escribe Terry Tao : [1]
La razón principal por la que esta conjetura es tan difícil es que, a diferencia del límite superior , en el que esencialmente hay un solo extremizador hasta transformaciones afines (es decir, la pelota), hay muchos extremistas distintos para el límite inferior, no solo el cubo y el octaedro, pero también productos de cubos y octaedros, cuerpos polares de productos de cubos y octaedros, productos de cuerpos polares de… bueno, ya entiendes la idea. Es realmente difícil concebir algún tipo de flujo o procedimiento de optimización que converja exactamente hacia estos cuerpos y no hacia otros; podría ser necesario un tipo de argumento radicalmente diferente.
Bougain y Milman (1987) demostraron que el volumen de Mahler está acotado por debajo de veces el volumen de una esfera para alguna constante absoluta , igualando el comportamiento de escala del volumen del hipercubo pero con una constante más pequeña. Kuperberg (2008) demostró que, más concretamente, se puede aceptar este límite. Un resultado de este tipo se conoce como desigualdad de Santaló inversa .
El volumen de Mahler se puede definir de la misma manera, como el producto del volumen por el volumen polar, para cuerpos convexos cuyo interior contiene el origen independientemente de la simetría. Mahler conjeturó que, para esta generalización, el volumen mínimo se obtiene mediante un simplex , con su centroide en el origen. Al igual que con la conjetura simétrica de Mahler, se conocen desigualdades inversas de Santaló que muestran que el volumen mínimo está al menos dentro de un factor exponencial del simplex. [2]
