Tensor de tensión de Cauchy

Representación de la tensión mecánica en cada punto dentro de un objeto 3D deformado.

En mecánica continua , el tensor de tensiones de Cauchy (símbolo , llamado así por Augustin-Louis Cauchy ), también llamado tensor de tensiones verdadero ^[1] o simplemente tensor de tensiones , define completamente el estado de tensiones en un punto dentro de un material en estado deformado , colocación o configuración. El tensor de segundo orden consta de nueve componentes y relaciona un vector de dirección de longitud unitaria e con el vector de tracción T ^{( e )} a través de una superficie imaginaria perpendicular a e : ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} )}=\mathbf {e} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(e)}=\sum _{i}\sigma _{ij}e_{i}.}$^[a]

Las unidades básicas del SI tanto del tensor de tensión como del vector de tracción son newton por metro cuadrado (N/m ² ) o pascal (Pa), correspondiente al escalar de tensión. El vector unitario no tiene dimensiones .

El tensor de tensión de Cauchy obedece a la ley de transformación del tensor ante un cambio en el sistema de coordenadas. Una representación gráfica de esta ley de transformación es el círculo de tensión de Mohr .

El tensor de tensiones de Cauchy se utiliza para el análisis de tensiones de cuerpos materiales que experimentan pequeñas deformaciones : es un concepto central en la teoría lineal de la elasticidad . Para deformaciones grandes, también llamadas deformaciones finitas , se requieren otras medidas de tensión, como el tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff , el tensor de tensiones de Biot y el tensor de tensiones de Kirchhoff .

Según el principio de conservación del momento lineal , si el cuerpo continuo está en equilibrio estático, se puede demostrar que los componentes del tensor de tensión de Cauchy en cada punto material del cuerpo satisfacen las ecuaciones de equilibrio ( ecuaciones de movimiento de Cauchy para aceleración cero). . Al mismo tiempo, según el principio de conservación del momento angular , el equilibrio requiere que la sumatoria de momentos respecto de un punto arbitrario sea cero, lo que lleva a la conclusión de que el tensor de tensiones es simétrico , teniendo así sólo seis componentes de tensión independientes. , en lugar de los nueve originales. Sin embargo, en presencia de tensiones de par, es decir, momentos por unidad de volumen, el tensor de tensiones no es simétrico. Este también es el caso cuando el número de Knudsen es cercano a uno, o el continuo es un fluido no newtoniano, lo que puede conducir a fluidos rotacionalmente no invariantes, como los polímeros . ${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$

Hay ciertas invariantes asociadas con el tensor de tensión, cuyos valores no dependen del sistema de coordenadas elegido ni del elemento de área sobre el que opera el tensor de tensión. Estos son los tres valores propios del tensor de tensiones, que se denominan tensiones principales.

Principio de tensión de Euler-Cauchy - vector de tensión

Figura 2.1a Distribución interna de fuerzas de contacto y tensiones de par en un diferencial de la superficie interna en un continuo, como resultado de la interacción entre las dos porciones del continuo separadas por la superficie ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle S}$

Figura 2.1b Distribución interna de fuerzas de contacto y esfuerzos de par en un diferencial de la superficie interna en un continuo, como resultado de la interacción entre las dos porciones del continuo separadas por la superficie ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle S}$

Figura 2.1c Vector de tensión en una superficie interna S con vector normal n. Dependiendo de la orientación del plano considerado, el vector de tensión puede no ser necesariamente perpendicular a ese plano, es decir , paralelo a , y puede resolverse en dos componentes: una componente normal al plano, llamada tensión normal , y otra componente paralela a este plano, llamado esfuerzo cortante . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$ ${\displaystyle \tau }$

El principio de tensión de Euler-Cauchy establece que sobre cualquier superficie (real o imaginaria) que divide el cuerpo, la acción de una parte del cuerpo sobre la otra es equivalente (equipolent) al sistema de fuerzas y pares distribuidos en la superficie que divide el cuerpo. cuerpo , ^[2] y está representado por un campo , llamado vector de tracción , definido en la superficie y que se supone depende continuamente del vector unitario de la superficie . ^{[3] [4] : páginas 66–96} ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Para formular el principio de tensión de Euler-Cauchy, considere una superficie imaginaria que pasa a través de un punto material interno que divide el cuerpo continuo en dos segmentos, como se ve en la Figura 2.1a o 2.1b (se puede usar el diagrama del plano de corte o el diagrama con el volumen arbitrario dentro del continuo encerrado por la superficie ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$

Siguiendo la dinámica clásica de Newton y Euler , el movimiento de un cuerpo material se produce por la acción de fuerzas aplicadas externamente que se supone son de dos tipos: fuerzas superficiales y fuerzas corporales . ^[5] Así, la fuerza total aplicada a un cuerpo o a una porción del cuerpo se puede expresar como: ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F} }$

En este artículo solo se analizarán las fuerzas superficiales, ya que son relevantes para el tensor de tensión de Cauchy.

Cuando el cuerpo se somete a fuerzas superficiales externas o fuerzas de contacto , siguiendo las ecuaciones de movimiento de Euler , las fuerzas y momentos de contacto internos se transmiten de un punto a otro del cuerpo, y de un segmento a otro a través de la superficie divisoria , debido a la acción mecánica. contacto de una porción del continuo con la otra (Figura 2.1a y 2.1b). En un elemento de área que contiene , con vector normal , la distribución de fuerzas es equipotente a una fuerza de contacto ejercida en el punto P y al momento superficial . En particular, la fuerza de contacto está dada por ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$

${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\Delta S}$

¿ Dónde está la tracción superficial media ? ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$

El principio de tensión de Cauchy afirma ^{[6] : p.47-102} que cuando se vuelve muy pequeño y tiende a cero, la relación se vuelve y el vector de tensión de pareja desaparece. En campos específicos de la mecánica del continuo se supone que la tensión de pareja no desaparece; sin embargo, las ramas clásicas de la mecánica continua abordan materiales no polares que no consideran tensiones de par ni momentos corporales. ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta S}$ ${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$

El vector resultante se define como la tracción superficial , ^[7] también llamado vector de tensión , ^[8] tracción , ^[4] o vector de tracción . ^[6] dado por en el punto asociado a un plano con un vector normal : ${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta S}}={dF_{i} \over dS}.}$

Esta ecuación significa que el vector tensión depende de su ubicación en el cuerpo y de la orientación del plano sobre el que actúa.

Esto implica que la acción de equilibrio de las fuerzas de contacto internas genera una densidad de fuerzas de contacto o campo de tracción de Cauchy ^[5] que representa una distribución de las fuerzas de contacto internas en todo el volumen del cuerpo en una configuración particular del cuerpo en un momento dado . No es un campo vectorial porque depende no sólo de la posición de un punto material particular, sino también de la orientación local del elemento de superficie definida por su vector normal . ^[9] ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Dependiendo de la orientación del plano considerado, el vector de tensión puede no ser necesariamente perpendicular a ese plano, es decir , paralelo a , y puede resolverse en dos componentes (Figura 2.1c): ${\displaystyle \mathbf {n} }$

• uno normal al plano, llamado esfuerzo normal

${\displaystyle \mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS}},}$

¿Dónde está la componente normal de la fuerza al área diferencial? ${\displaystyle dF_{\mathrm {n} }}$ ${\displaystyle d\mathbf {F} }$ ${\displaystyle dS}$

• y el otro paralelo a este plano, llamado esfuerzo cortante

${\displaystyle \mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {s} }}{dS}},}$

donde es la componente tangencial de la fuerza a la superficie diferencial . El esfuerzo cortante se puede descomponer aún más en dos vectores mutuamente perpendiculares. ${\displaystyle dF_{\mathrm {s} }}$ ${\displaystyle d\mathbf {F} }$ ${\displaystyle dS}$

postulado de cauchy

Según el Postulado de Cauchy , el vector tensión permanece sin cambios para todas las superficies que pasan por el punto y tienen el mismo vector normal en , ^{[7] [10]} es decir, tienen una tangente común en . Esto significa que el vector de tensión es función únicamente del vector normal y no está influenciado por la curvatura de las superficies internas. ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

El lema fundamental de Cauchy

Una consecuencia del postulado de Cauchy es el Lema Fundamental de Cauchy , ^{[1] [7] [11]} también llamado teorema recíproco de Cauchy , ^{[12] : p.103–130} que establece que los vectores de tensión que actúan en lados opuestos de la misma superficie son iguales en magnitud y opuestas en dirección. El lema fundamental de Cauchy es equivalente a la tercera ley del movimiento de acción y reacción de Newton , y se expresa como

${\displaystyle -\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n} )}.}$

Teorema de tensión de Cauchy: tensor de tensión

El estado de tensión en un punto del cuerpo se define entonces por todos los vectores de tensión T ^{( n )} asociados con todos los planos (en número infinito) que pasan por ese punto. ^[13] Sin embargo, de acuerdo con el teorema fundamental de Cauchy , ^[11] también llamado teorema de tensión de Cauchy , ^[1] simplemente conociendo los vectores de tensión en tres planos mutuamente perpendiculares, el vector de tensión en cualquier otro plano que pase por ese punto se puede encontrar a través de ecuaciones de transformación de coordenadas.

El teorema de tensión de Cauchy establece que existe un campo tensor de segundo orden σ ( x , t), llamado tensor de tensión de Cauchy, independiente de n , tal que T es una función lineal de n :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

Esta ecuación implica que el vector de tensión T ^{( n )} en cualquier punto P en un continuo asociado con un plano con vector unitario normal n se puede expresar como una función de los vectores de tensión en los planos perpendiculares a los ejes de coordenadas, es decir, en términos de los componentes σ _ij del tensor de tensión σ .

Para probar esta expresión, considere un tetraedro con tres caras orientadas en los planos coordenados y con un área infinitesimal d A orientada en una dirección arbitraria especificada por un vector unitario normal n (Figura 2.2). El tetraedro se forma cortando el elemento infinitesimal a lo largo de un plano arbitrario con unidad normal n . El vector de tensión en este plano se denota por T ^{( n )} . Los vectores de tensión que actúan sobre las caras del tetraedro se denotan como T ^{( e ₁ )} , T ^{( e ₂ )} y T ^{( e ₃ )} , y son, por definición, los componentes σ _ij del tensor de tensión σ . Este tetraedro a veces se llama tetraedro de Cauchy . El equilibrio de fuerzas, es decir , la primera ley del movimiento de Euler (segunda ley del movimiento de Newton), da:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} ,}$

Figura 2.2. Vector de tensión que actúa sobre un plano con vector unitario normal n .
Una nota sobre la convención de signos: el tetraedro se forma cortando un paralelepípedo a lo largo de un plano arbitrario n . Entonces, la fuerza que actúa sobre el plano n es la reacción ejercida por la otra mitad del paralelepípedo y tiene signo opuesto.

donde el lado derecho representa el producto de la masa encerrada por el tetraedro y su aceleración: ρ es la densidad, a es la aceleración y h es la altura del tetraedro, considerando el plano n como base. El área de las caras del tetraedro perpendicular a los ejes se puede encontrar proyectando d A en cada cara (usando el producto escalar):

${\displaystyle dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,}$

y luego sustituyendo en la ecuación para cancelar d A :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}\right)\mathbf {a} .}$

Para considerar el caso límite cuando el tetraedro se reduce a un punto, h debe llegar a 0 (intuitivamente, el plano n se traslada a lo largo de n hacia O ). Como resultado, el lado derecho de la ecuación tiende a 0, por lo que

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.}$

Suponiendo un elemento material (Figura 2.3) con planos perpendiculares a los ejes de coordenadas de un sistema de coordenadas cartesiano, los vectores de tensión asociados con cada uno de los planos del elemento, es decir, T ^{( e ₁ )} , T ^{( e ₂ )} y T ^{( e ₃₎ . )} se puede descomponer en una componente normal y dos componentes de corte, es decir, componentes en la dirección de los tres ejes de coordenadas. Para el caso particular de una superficie con un vector unitario normal orientado en la dirección del eje x ₁ , denotemos la tensión normal como σ ₁₁ , y las dos tensiones cortantes como σ ₁₂ y σ ₁₃ :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3},}$

En notación de índice esto es

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j}=\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.}$

Los nueve componentes σ _ij de los vectores de tensión son los componentes de un tensor cartesiano de segundo orden llamado tensor de tensión de Cauchy , que puede usarse para definir completamente el estado de tensión en un punto y está dado por

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right],}$

donde σ ₁₁ , σ ₂₂ y σ ₃₃ son tensiones normales, y σ ₁₂ , σ ₁₃ , σ ₂₁ , σ ₂₃ , σ ₃₁ y σ ₃₂ son tensiones cortantes. El primer índice i indica que la tensión actúa en un plano normal al eje X _i , y el segundo índice j denota la dirección en la que actúa la tensión (por ejemplo, σ ₁₂ implica que la tensión actúa en el plano que está normal al _primer eje, es decir, X ₁ y actúa a lo largo del segundo _eje , es decir, X ₂ ). Una componente de tensión es positiva si actúa en la dirección positiva de los ejes coordenados y si el plano donde actúa tiene un vector normal hacia afuera que apunta en la dirección coordenada positiva.

Por lo tanto, usando los componentes del tensor de tensión.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\&=\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}\\&=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}\right)n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

o equivalente,

${\displaystyle T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

Alternativamente, en forma matricial tenemos

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf {n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].}$

La representación en notación Voigt del tensor de tensión de Cauchy aprovecha la simetría del tensor de tensión para expresar la tensión como un vector de seis dimensiones de la forma:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{13}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}.}$

La notación de Voigt se utiliza ampliamente para representar las relaciones tensión-deformación en mecánica de sólidos y para la eficiencia computacional en software de mecánica estructural numérica.

Regla de transformación del tensor de tensión.

Se puede demostrar que el tensor de tensión es un tensor contravariante de segundo orden, que es una declaración de cómo se transforma ante un cambio del sistema de coordenadas. De un sistema x _i a un sistema x _i ' , los componentes σ _ij en el sistema inicial se transforman en los componentes σ _ij ' en el nuevo sistema de acuerdo con la regla de transformación tensorial (Figura 2.4):

${\displaystyle \sigma '_{ij}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{or}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{\textsf {T}},}$

donde A es una matriz de rotación con componentes a _ij . En forma matricial esto es

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma '_{11}&\sigma '_{12}&\sigma '_{13}\\\sigma '_{21}&\sigma '_{22}&\sigma '_{23}\\\sigma '_{31}&\sigma '_{32}&\sigma '_{33}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrix}}\right].}$

Figura 2.4 Transformación del tensor de tensión.

Expandiendo la operación matricial y simplificando términos usando la simetría del tensor de tensión , se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}'={}&a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23},\\\sigma _{22}'={}&a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23},\\\sigma _{33}'={}&a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23},\\\sigma _{12}'={}&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13}a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23}+a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\\\sigma _{23}'={}&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\\\sigma _{13}'={}&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}}$

El círculo de Mohr para tensiones es una representación gráfica de esta transformación de tensiones.

Esfuerzos normales y cortantes.

La magnitud de la componente de tensión normal σ _n de cualquier vector de tensión T ^{( n )} que actúa sobre un plano arbitrario con el vector unitario normal n en un punto dado, en términos de las componentes σ _ij del tensor de tensión σ , es el producto escalar de el vector de tensión y el vector unitario normal:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {n} }&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\cdot \mathbf {n} \\&=T_{i}^{(\mathbf {n} )}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}.\end{aligned}}}$

La magnitud del componente de tensión cortante τ _n , que actúa ortogonal al vector n , se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras :

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }&={\sqrt {\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}}\\&={\sqrt {T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}},\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\left(\sigma _{ij}n_{j}\right)\left(\sigma _{ik}n_{k}\right)=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}.}$

Leyes del equilibrio: ecuaciones de movimiento de Cauchy

Figura 4. Cuerpo continuo en equilibrio.

Primera ley del movimiento de Cauchy

Según el principio de conservación del momento lineal , si el cuerpo continuo está en equilibrio estático se puede demostrar que las componentes del tensor de tensión de Cauchy en cada punto material del cuerpo satisfacen las ecuaciones de equilibrio:

${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0}$,

dónde ${\displaystyle \sigma _{ji,j}=\sum _{j}\partial _{j}\sigma _{ji}}$

Por ejemplo, para un fluido hidrostático en condiciones de equilibrio, el tensor de tensión toma la forma:

${\displaystyle {\sigma _{ij}}=-p{\delta _{ij}},}$

donde es la presión hidrostática y es el delta de kronecker . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\delta _{ij}}\ }$

Segunda ley del movimiento de Cauchy

Según el principio de conservación del momento angular , el equilibrio requiere que la sumatoria de momentos respecto de un punto arbitrario sea cero, lo que lleva a la conclusión de que el tensor de tensiones es simétrico , teniendo así sólo seis componentes de tensión independientes, en lugar del original. nueve:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$

Sin embargo, en presencia de tensiones de par, es decir, momentos por unidad de volumen, el tensor de tensiones no es simétrico. Este también es el caso cuando el número de Knudsen es cercano a uno, o el continuo es un fluido no newtoniano, lo que puede conducir a fluidos rotacionalmente no invariantes, como los polímeros . ${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$

Estreses principales e invariantes de estrés.

Componentes de tensión en un elemento giratorio 2D . Ejemplo de cómo varían los componentes de tensión en las caras (bordes) de un elemento rectangular a medida que varía el ángulo de su orientación. Las tensiones principales ocurren cuando las tensiones cortantes desaparecen simultáneamente de todas las caras. La orientación en la que esto ocurre da las direcciones principales . En este ejemplo, cuando el rectángulo es horizontal, las tensiones vienen dadas por ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}-10&10\\10&15\end{matrix}}\right].}$

En cada punto de un cuerpo estresado existen al menos tres planos, llamados planos principales , con vectores normales , llamados direcciones principales , donde el vector de tensión correspondiente es perpendicular al plano, es decir, paralelo o en la misma dirección que el vector normal . y donde no existen esfuerzos cortantes normales . Las tres tensiones normales a estos planos principales se denominan tensiones principales . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$

Las componentes del tensor de tensiones dependen de la orientación del sistema de coordenadas en el punto considerado. Sin embargo, el tensor de tensión en sí es una cantidad física y, como tal, es independiente del sistema de coordenadas elegido para representarlo. Hay ciertas invariantes asociadas con cada tensor que también son independientes del sistema de coordenadas. Por ejemplo, un vector es un tensor simple de rango uno. En tres dimensiones, tiene tres componentes. El valor de estos componentes dependerá del sistema de coordenadas elegido para representar el vector, pero la magnitud del vector es una cantidad física (un escalar) y es independiente del sistema de coordenadas cartesiano elegido para representar el vector (siempre que sea normal ). De manera similar, cada tensor de segundo rango (como los tensores de tensión y deformación) tiene tres cantidades invariantes independientes asociadas. Un conjunto de tales invariantes son las tensiones principales del tensor de tensiones, que son simplemente los valores propios del tensor de tensiones. Sus vectores de dirección son las direcciones principales o vectores propios . ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

Un vector de tensión paralelo al vector unitario normal viene dado por: ${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} }$

donde es una constante de proporcionalidad, y en este caso particular corresponde a las magnitudes de los vectores de tensiones normales o tensiones principales. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$

Sabiendo que y tenemos ${\displaystyle T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}}$ ${\displaystyle n_{i}=\delta _{ij}n_{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\\\end{aligned}}}$

Se trata de un sistema homogéneo , es decir igual a cero, de tres ecuaciones lineales donde están las incógnitas. Para obtener una solución no trivial (distinta de cero) para , la matriz determinante de los coeficientes debe ser igual a cero, es decir, el sistema es singular. De este modo, ${\displaystyle n_{j}}$ ${\displaystyle n_{j}}$

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\lambda \\\end{vmatrix}}=0}$

Desarrollar el determinante conduce a la ecuación característica.

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}={\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\\[4pt]I_{2}&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\right)={\frac {1}{2}}\left[\left({\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\right)^{2}-{\text{tr}}\left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\right]\\[4pt]I_{3}&=\det(\sigma _{ij})=\det({\boldsymbol {\sigma }})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}}$

La ecuación característica tiene tres raíces reales , es decir, no imaginarias debido a la simetría del tensor de tensiones. Los , y , son las tensiones principales, funciones de los valores propios . Los valores propios son las raíces del polinomio característico . Las tensiones principales son únicas para un tensor de tensiones determinado. Por lo tanto, a partir de la ecuación característica, los coeficientes , y , llamados primera, segunda y tercera invariantes de tensión , respectivamente, siempre tienen el mismo valor independientemente de la orientación del sistema de coordenadas. ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=\max \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$ ${\displaystyle \sigma _{3}=\min \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$ ${\displaystyle \sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

Para cada valor propio, hay una solución no trivial en la ecuación . Estas soluciones son las direcciones principales o vectores propios que definen el plano donde actúan las tensiones principales. Las tensiones principales y las direcciones principales caracterizan la tensión en un punto y son independientes de la orientación. ${\displaystyle n_{j}}$ ${\displaystyle \left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0}$

Un sistema de coordenadas con ejes orientados a las direcciones principales implica que las tensiones normales son las tensiones principales y el tensor de tensiones está representado por una matriz diagonal:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

Las tensiones principales se pueden combinar para formar las invariantes de tensión, , y . El primer y tercer invariante son la traza y el determinante, respectivamente, del tensor de tensión. De este modo, ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\end{aligned}}}$

Debido a su simplicidad, el sistema de coordenadas principales suele ser útil cuando se considera el estado del medio elástico en un punto particular. Las tensiones principales a menudo se expresan en la siguiente ecuación para evaluar tensiones en las direcciones x e y o tensiones axiales y de flexión en una pieza. ^{[14] : p.58–59} Las tensiones normales principales se pueden utilizar para calcular la tensión de von Mises y, en última instancia, el factor de seguridad y el margen de seguridad.

${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

Usar solo la parte de la ecuación debajo de la raíz cuadrada es igual al esfuerzo cortante máximo y mínimo para más y menos. Esto se muestra como:

${\displaystyle \tau _{\max },\tau _{\min }=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

Esfuerzos cortantes máximos y mínimos.

El esfuerzo cortante máximo o esfuerzo cortante principal máximo es igual a la mitad de la diferencia entre los esfuerzos principales mayor y menor, y actúa sobre el plano que biseca el ángulo entre las direcciones de los esfuerzos principales mayor y menor, es decir, el plano de la El esfuerzo cortante máximo está orientado desde los planos de esfuerzos principales. El esfuerzo cortante máximo se expresa como ${\displaystyle 45^{\circ }}$

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right|}$

Suponiendo entonces ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|}$

Cuando el tensor de tensión es distinto de cero, la componente de tensión normal que actúa en el plano para el esfuerzo cortante máximo es distinta de cero y es igual a

${\displaystyle \sigma _{\text{n}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right)}$

Tensor desviador de tensión

El tensor de tensión se puede expresar como la suma de otros dos tensores de tensión: ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

1. un tensor de tensión hidrostático medio o un tensor de tensión volumétrico o un tensor de tensión normal medio , que tiende a cambiar el volumen del cuerpo estresado; y ${\displaystyle \pi \delta _{ij}}$
2. un componente desviador llamado tensor desviador de tensión , que tiende a distorsionarlo. ${\displaystyle s_{ij}}$

Entonces

${\displaystyle \sigma _{ij}=s_{ij}+\pi \delta _{ij},\,}$

¿Dónde está la tensión media dada por ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi ={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}={\frac {1}{3}}I_{1}.\,}$

La presión ( ) generalmente se define como un tercio negativo de la traza del tensor de tensión menos cualquier tensión con la que contribuya la divergencia de la velocidad, es decir ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p=\lambda \,\nabla \cdot {\vec {u}}-\pi =\lambda \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi =\sum _{k}\lambda \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi ,}$

donde es una constante de proporcionalidad (es decir, el primero de los parámetros de Lamé ), es el operador de divergencia , es la k :ésima coordenada cartesiana , es la velocidad del flujo y es la k :ésima componente cartesiana de . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nabla \cdot }$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle u_{k}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$

El tensor de tensión desviador se puede obtener restando el tensor de tensión hidrostática del tensor de tensión de Cauchy:

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{ij}&=\sigma _{ij}-{\frac {\sigma _{kk}}{3}}\delta _{ij},\,\\\left[{\begin{matrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}\pi &0&0\\0&\pi &0\\0&0&\pi \end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}-\pi &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\pi &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\pi \end{matrix}}\right].\end{aligned}}}$

Invariantes del tensor desviador de tensiones

Al ser un tensor de segundo orden, el tensor desviador de tensiones también tiene un conjunto de invariantes , que se pueden obtener mediante el mismo procedimiento que se utiliza para calcular las invariantes del tensor de tensiones. Se puede demostrar que las direcciones principales del tensor desviador de tensión son las mismas que las direcciones principales del tensor de tensión . Por tanto, la ecuación característica es ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

${\displaystyle \left|s_{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=\lambda ^{3}-J_{1}\lambda ^{2}-J_{2}\lambda -J_{3}=0,}$

donde , y son los invariantes de tensión desviadores primero, segundo y tercero , respectivamente. Sus valores son los mismos (invariantes) independientemente de la orientación del sistema de coordenadas elegido. Estas invariantes de tensión desviatorias se pueden expresar en función de los componentes de o sus valores principales , y , o alternativamente, en función de o sus valores principales , y . De este modo, ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle J_{3}}$ ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle s_{3}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=s_{kk}=0,\\[3pt]J_{2}&={\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ji}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {s}}^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}\right)\\&={\frac {1}{6}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\right]+\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\&={\frac {1}{3}}I_{1}^{2}-I_{2}={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})^{2}\right],\\[3pt]J_{3}&=\det(s_{ij})\\&={\frac {1}{3}}s_{ij}s_{jk}s_{ki}={\frac {1}{3}}{\text{tr}}\left({\boldsymbol {s}}^{3}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(s_{1}^{3}+s_{2}^{3}+s_{3}^{3}\right)\\&=s_{1}s_{2}s_{3}\\&={\frac {2}{27}}I_{1}^{3}-{\frac {1}{3}}I_{1}I_{2}+I_{3}={\frac {1}{3}}\left[{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }}^{3})-\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+{\frac {2}{9}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})^{3}\right].\,\end{aligned}}}$

Porque , el tensor desviador de tensión está en un estado de corte puro. ${\displaystyle s_{kk}=0}$

En mecánica de sólidos se utiliza comúnmente una cantidad llamada tensión equivalente o tensión de von Mises . La tensión equivalente se define como

${\displaystyle \sigma _{\text{vM}}={\sqrt {3\,J_{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}~\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}\,.}$

Tensiones octaédricas

Figura 6. Planos de tensiones octaédricos

Considerando las direcciones principales como ejes coordenados, un plano cuyo vector normal forma ángulos iguales con cada uno de los ejes principales (es decir, que tiene cosenos directores iguales a ) se llama plano octaédrico . Hay un total de ocho planos octaédricos (Figura 6). Los componentes normal y cortante del tensor de tensión en estos planos se denominan tensión normal octaédrica y tensión cortante octaédrica , respectivamente. El plano octaédrico que pasa por el origen se conoce como plano π ( π no debe confundirse con la tensión media indicada por π en la sección anterior) . En el plano π , . ${\displaystyle |1/{\sqrt {3}}|}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{oct}}}$ ${\displaystyle \tau _{\text{oct}}}$ ${\textstyle s_{ij}={\frac {1}{3}}I}$

Sabiendo que el tensor de tensiones del punto O (Figura 6) en los ejes principales es

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

el vector tensión en un plano octaédrico viene dado por:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\text{oct}}^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\frac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}$

La componente normal del vector de tensión en el punto O asociado con el plano octaédrico es

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{oct}}&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3}\\&={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\frac {1}{3}}I_{1}\end{aligned}}}$

que es la tensión normal media o tensión hidrostática. Este valor es el mismo en los ocho planos octaédricos. El esfuerzo cortante en el plano octaédrico es entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{oct}}&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{\text{oct}}^{2}}}\\&=\left[{\frac {1}{3}}\left(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}\right)-{\frac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\\&={\frac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned}}}$

Ver también

• Ecuación del impulso de Cauchy
• Análisis del plano crítico

Notas

1. En detalle:

   ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {e} )}&T_{2}^{(\mathbf {e} )}&T_{3}^{(\mathbf {e} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].}$

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