Ecuación del impulso de Cauchy

Ecuación

La ecuación de impulso de Cauchy es una ecuación diferencial parcial vectorial propuesta por Cauchy que describe el transporte de impulso no relativista en cualquier continuo . ^[1]

Ecuación principal

En forma convectiva (o lagrangiana ), la ecuación del momento de Cauchy se escribe como:

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} }$$

dónde

• ${\displaystyle \mathbf {u} }$es el campo vectorial de velocidad del flujo , que depende del tiempo y el espacio, (unidad: ) ${\displaystyle \mathrm {m/s} }$
• ${\displaystyle t}$es el tiempo , (unidad :) ${\displaystyle \mathrm {s} }$
• ${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}}$es la derivada material de , igual a , (unidad: ) ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \partial _{t}\mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathrm {m/s^{2}} }$
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad en un punto dado del continuo (para el cual se cumple la ecuación de continuidad ), (unidad :) ${\displaystyle \mathrm {kg/m^{3}} }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$es el tensor de tensión , (unidad: ) ${\displaystyle \mathrm {Pa=N/m^{2}=kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}} }$
• ${\displaystyle \mathbf {f} ={\begin{bmatrix}f_{x}\\f_{y}\\f_{z}\end{bmatrix}}}$es un vector que contiene todas las aceleraciones causadas por las fuerzas del cuerpo (a veces simplemente aceleración gravitacional ), (unidad :) ${\displaystyle \mathrm {m/s^{2}} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial \sigma _{xy}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \sigma _{zy}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial \sigma _{xz}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \sigma _{yz}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\\\end{bmatrix}}}$es la divergencia del tensor de tensión. ^{[2] [3] [4]} (unidad: ) ${\displaystyle \mathrm {Pa/m=kg\cdot m^{-2}\cdot s^{-2}} }$

Las unidades SI de uso común se dan entre paréntesis, aunque las ecuaciones son de naturaleza general y se pueden ingresar otras unidades en ellas o se pueden eliminar unidades mediante la no dimensionalización .

Tenga en cuenta que arriba solo usamos vectores de columna (en el sistema de coordenadas cartesiano ) para mayor claridad, pero la ecuación está escrita usando componentes físicos (que no son ni covariantes ("columna") ni contravariantes ("fila")). ^[5] Sin embargo, si elegimos un sistema de coordenadas curvilíneo no ortogonal , entonces deberíamos calcular y escribir ecuaciones en forma covariante ("vectores de fila") o contravariante ("vectores de columna").

Después de un cambio apropiado de variables, también se puede escribir en forma de conservación :

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s} }$$

donde j es la densidad de momento en un punto espacio-temporal dado, F es el flujo asociado a la densidad de momento y s contiene todas las fuerzas del cuerpo por unidad de volumen.

Derivación diferencial

Comencemos con el principio generalizado de conservación del momento que se puede escribir de la siguiente manera: "El cambio en el momento del sistema es proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre este sistema". Se expresa mediante la fórmula: ^[6]

$${\displaystyle {\vec {p}}(t+\Delta t)-{\vec {p}}(t)=\Delta t{\vec {\bar {F}}}}$$

donde es el momento en el tiempo t , es la fuerza promediada . Después de dividir y pasar al límite obtenemos ( derivada ): ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {\bar {F}}}}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t\to 0}$

$${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}}$$

Analicemos cada lado de la ecuación anterior.

Lado derecho

El componente X de las fuerzas que actúan sobre las paredes de un elemento fluido cúbico (verde para las paredes superior-inferior; rojo para izquierda-derecha; negro para adelante-atrás).

En el gráfico superior vemos la aproximación de la función (línea azul) usando una diferencia finita (línea amarilla). En el gráfico inferior vemos "vecindad del punto infinitamente ampliada " (cuadrado morado del gráfico superior). En el gráfico inferior, la línea amarilla está completamente cubierta por la azul, por lo que no es visible. En la figura inferior se han utilizado dos formas derivadas equivalentes: ], y se utilizó la designación. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\textstyle f'(x_{1})={\frac {df(x_{1})}{dx_{1}}}}$ ${\displaystyle \Delta f=f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})}$

Dividimos las fuerzas en fuerzas corporales y fuerzas superficiales. ${\displaystyle {\vec {F}}_{m}}$ ${\displaystyle {\vec {F}}_{p}}$

$${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {F}}_{p}+{\vec {F}}_{m}}$$

Las fuerzas superficiales actúan sobre las paredes del elemento fluido cúbico. Para cada pared, la componente X de estas fuerzas se marcó en la figura con un elemento cúbico (en forma de producto de tensión y área de superficie, por ejemplo, con unidades ). ${\displaystyle -\sigma _{xx}\,dy\,dz}$ ${\textstyle \mathrm {Pa\cdot m\cdot m={\frac {N}{m^{2}}}\cdot m^{2}=N} }$

Sumando las fuerzas (sus componentes X ) que actúan sobre cada una de las paredes del cubo, obtenemos:

$${\displaystyle F_{p}^{x}=\left(\sigma _{xx}+{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}dx\right)dy\,dz-\sigma _{xx}dy\,dz+\left(\sigma _{yx}+{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}dy\right)dx\,dz-\sigma _{yx}dx\,dz+\left(\sigma _{zx}+{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}dz\right)dx\,dy-\sigma _{zx}dx\,dy}$$

Después de ordenar y realizar un razonamiento similar para los componentes (no se han mostrado en la figura, pero serían vectores paralelos a los ejes Y y Z, respectivamente) obtenemos: ${\displaystyle F_{p}^{x}}$ ${\displaystyle F_{p}^{y},F_{p}^{z}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{p}^{x}&={\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz+{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}\,dy\,dx\,dz+{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}\,dz\,dx\,dy\\[6pt]F_{p}^{y}&={\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}\,dy\,dx\,dz+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial z}}\,dz\,dx\,dy\\[6pt]F_{p}^{z}&={\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial y}}\,dy\,dx\,dz+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\,dz\,dx\,dy{\vphantom {\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}}\end{aligned}}}$$

Luego podemos escribirlo en la forma operativa simbólica:

$${\displaystyle {\vec {F}}_{p}=(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }})\,dx\,dy\,dz}$$

En el interior del volumen de control actúan fuerzas de masa. Podemos escribirlos usando el campo de aceleración (por ejemplo, aceleración gravitacional): ${\displaystyle \mathbf {f} }$

$${\displaystyle {\vec {F}}_{m}=\mathbf {f} \rho \,dx\,dy\,dz}$$

Lado izquierdo

Calculemos el momento del cubo:

$${\displaystyle {\vec {p}}=\mathbf {u} m=\mathbf {u} \rho \,dx\,dy\,dz}$$

Porque asumimos que la masa probada (cubo) es constante en el tiempo, entonces ${\displaystyle m=\rho \,dx\,dy\,dz}$

$${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}\rho \,dx\,dy\,dz}$$

Comparación del lado izquierdo y derecho

Tenemos

$${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}}$$

entonces

$${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}_{p}+{\vec {F}}_{m}}$$

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}\rho \,dx\,dy\,dz=(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }})dx\,dy\,dz+\mathbf {f} \rho \,dx\,dy\,dz}$$

Dividimos ambos lados por y porque obtenemos: ${\displaystyle \rho \,dx\,dy\,dz}$ ${\textstyle {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}}$

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} }$$

lo que finaliza la derivación.

Derivación integral

Al aplicar la segunda ley de Newton ( i -ésimo componente) a un volumen de control en el continuo que se está modelando se obtiene:

$${\displaystyle ma_{i}=F_{i}}$$

Luego, basándose en el teorema del transporte de Reynolds y utilizando la notación derivada de materiales , se puede escribir

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}\,dV&=\int _{\Omega }\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}\,dV+\int _{\Omega }\rho f_{i}\,dV\\\int _{\Omega }\left(\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}-\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}-\rho f_{i}\right)\,dV&=0\\\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}-\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}-\rho f_{i}&=0\\{\frac {Du_{i}}{Dt}}-{\frac {\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}}{\rho }}-f_{i}&=0\end{aligned}}}$$

donde Ω representa el volumen de control. Dado que esta ecuación debe ser válida para cualquier volumen de control, debe ser cierto que el integrando es cero; de aquí se sigue la ecuación del momento de Cauchy. El paso principal (no realizado anteriormente) para derivar esta ecuación es establecer que la derivada del tensor de tensión es una de las fuerzas que constituye F _i . ^[1]

Formulario de conservación

La ecuación del momento de Cauchy también se puede expresar de la siguiente forma:

Ecuación del momento de Cauchy (forma de conservación)

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s} }$

simplemente definiendo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {j} }&=\rho \mathbf {u} \\{\mathbf {F} }&=\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} -{\boldsymbol {\sigma }}\\{\mathbf {s} }&=\rho \mathbf {f} \end{aligned}}}$$

donde j es la densidad de momento en el punto considerado en el continuo (para el cual se cumple la ecuación de continuidad ), F es el flujo asociado a la densidad de momento y s contiene todas las fuerzas del cuerpo por unidad de volumen. u ⊗ u es la díada de la velocidad.

Aquí j y s tienen el mismo número de dimensiones N que la velocidad del flujo y la aceleración del cuerpo, mientras que F , al ser un tensor , tiene N ² . ^{[nota 1]}

En las formas eulerianas es evidente que la suposición de que no hay tensión desviatoria lleva las ecuaciones de Cauchy a las ecuaciones de Euler .

aceleración convectiva

Un ejemplo de aceleración convectiva. El flujo es constante (independiente del tiempo), pero el fluido se desacelera a medida que desciende por el conducto divergente (suponiendo un flujo compresible incompresible o subsónico).

Una característica importante de las ecuaciones de Navier-Stokes es la presencia de aceleración convectiva: el efecto de la aceleración de un flujo independiente del tiempo con respecto al espacio. Si bien las partículas individuales del continuo experimentan una aceleración dependiente del tiempo, la aceleración convectiva del campo de flujo es un efecto espacial; un ejemplo es la aceleración del fluido en una boquilla.

Independientemente del tipo de continuo que se trate, la aceleración convectiva es un efecto no lineal . La aceleración convectiva está presente en la mayoría de los flujos (las excepciones incluyen el flujo unidimensional incompresible), pero su efecto dinámico no se tiene en cuenta en el flujo progresivo (también llamado flujo de Stokes). La aceleración convectiva está representada por la cantidad no lineal u ⋅ ∇ u , que puede interpretarse como ( u ⋅ ∇) u o como u ⋅ (∇ u ) , siendo ∇ u la derivada tensorial del vector velocidad u . Ambas interpretaciones dan el mismo resultado. ^[7]

Operador de advección vs derivada tensorial

La aceleración convectiva ( u ⋅ ∇) u puede considerarse como el operador de advección u ⋅ ∇ que actúa sobre el campo de velocidades u . ^[7] Esto contrasta con la expresión en términos de derivada tensorial ∇ u , que es la derivada componente por componente del vector velocidad definido por [∇ u ] _mi = ∂ _m v _i , de modo que

$${\displaystyle \left[\mathbf {u} \cdot \left(\nabla \mathbf {u} \right)\right]_{i}=\sum _{m}v_{m}\partial _{m}v_{i}=\left[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right]_{i}\,.}$$

Forma de cordero

La identidad del cálculo vectorial del producto cruzado de un rizo es:

$${\displaystyle \mathbf {v} \times \left(\nabla \times \mathbf {a} \right)=\nabla _{a}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)-\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {a} }$$

donde se usa la notación de subíndice de Feynman ∇ _a , lo que significa que el gradiente con subíndice opera solo en el factor a .

Lamb en su famoso libro clásico Hidrodinámica (1895), ^[8] usó esta identidad para cambiar el término convectivo de la velocidad del flujo en forma rotacional, es decir, sin una derivada tensorial: ^{[9] [ cita completa necesaria ] [10]}

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nabla \left({\frac {\|\mathbf {u} \|^{2}}{2}}\right)+\left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\times \mathbf {u} }$$

donde el vector se llama vector Lamb . La ecuación del momento de Cauchy se convierte en: ${\displaystyle \mathbf {l} =\left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\times \mathbf {u} }$

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} ={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} }$$

Usando la identidad:

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho }$$

la ecuación de Cauchy se convierte en:

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}-{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)-\mathbf {f} ={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$$

De hecho, en el caso de un campo conservador externo , definiendo su potencial φ :

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi -{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$$

En el caso de un flujo constante, la derivada temporal de la velocidad del flujo desaparece, por lo que la ecuación del momento queda:

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi -{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$$

Y al proyectar la ecuación del momento en la dirección del flujo, es decir, a lo largo de una línea de corriente , el producto cruz desaparece debido a una identidad de cálculo vectorial del triple producto escalar :

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi -{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho )}$$

Si el tensor de tensión es isotrópico, entonces solo entra la presión: (donde I es el tensor de identidad), y la ecuación del momento de Euler en el caso estable e incompresible se convierte en: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)+{\frac {p}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$$

En el caso estacionario e incompresible, la ecuación de masa es simplemente:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\,,}$$

es decir, la conservación de masa para un flujo estable e incompresible establece que la densidad a lo largo de una línea de corriente es constante . Esto lleva a una simplificación considerable de la ecuación del momento de Euler:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=0}$$

Ahora resulta evidente la conveniencia de definir la altura total para un flujo de líquido no viscoso:

$${\displaystyle b_{l}\equiv {\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\,,}$$

de hecho, la ecuación anterior se puede escribir simplemente como:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{l}=0}$$

Es decir, el equilibrio del momento para un flujo constante, no viscoso e incompresible en un campo conservador externo establece que la carga total a lo largo de una línea de corriente es constante .

Flujos irritacionales

La forma Lamb también es útil en flujo irrotacional, donde la curvatura de la velocidad (llamada vorticidad ) ω = ∇ × u es igual a cero. En ese caso, el término de convección se reduce a ${\displaystyle D\mathbf {u} /Dt}$

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nabla \left({\frac {\|\mathbf {u} \|^{2}}{2}}\right).}$$

Destaca

El efecto de la tensión en el flujo continuo está representado por los términos ∇ p y ∇ ⋅ τ ; estos son gradientes de fuerzas superficiales, análogos a las tensiones en un sólido. Aquí ∇ p es el gradiente de presión y surge de la parte isotrópica del tensor de tensión de Cauchy . Esta parte viene dada por las tensiones normales que se dan en casi todas las situaciones. La parte anisotrópica del tensor de tensión da lugar a ∇ ⋅ τ , que suele describir fuerzas viscosas; para flujo incompresible, esto es sólo un efecto de corte. Por tanto, τ es el tensor de tensión desviador y el tensor de tensión es igual a: ^{[11] [ cita completa necesaria ]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +{\boldsymbol {\tau }}}$$

donde I es la matriz identidad en el espacio considerado y τ el tensor de corte.

Todas las ecuaciones de conservación del momento no relativistas, como la ecuación de Navier-Stokes , se pueden derivar comenzando con la ecuación del momento de Cauchy y especificando el tensor de tensión a través de una relación constitutiva . Al expresar el tensor de corte en términos de viscosidad y velocidad del fluido , y suponiendo densidad y viscosidad constantes, la ecuación del momento de Cauchy conducirá a las ecuaciones de Navier-Stokes . Al asumir un flujo no viscoso , las ecuaciones de Navier-Stokes pueden simplificarse aún más a las ecuaciones de Euler .

La divergencia del tensor de tensión se puede escribir como

$${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}.}$$

El efecto del gradiente de presión sobre el flujo es acelerar el flujo en la dirección de alta presión a baja presión.

Como está escrito en la ecuación del momento de Cauchy, los términos de tensión p y τ aún se desconocen, por lo que esta ecuación por sí sola no se puede utilizar para resolver problemas. Además de las ecuaciones de movimiento (segunda ley de Newton), se necesita un modelo de fuerza que relacione las tensiones con el movimiento del flujo. ^[12] Por esta razón, a menudo se aplican suposiciones basadas en observaciones naturales para especificar las tensiones en términos de otras variables del flujo, como la velocidad y la densidad.

Fuerzas externas

El campo vectorial f representa las fuerzas corporales por unidad de masa. Normalmente, consisten únicamente en aceleración de la gravedad , pero pueden incluir otras, como fuerzas electromagnéticas. En marcos de coordenadas no inerciales, pueden surgir otras "aceleraciones inerciales" asociadas con coordenadas de rotación .

A menudo, estas fuerzas pueden representarse como el gradiente de alguna cantidad escalar χ , con f = ∇ χ , en cuyo caso se denominan fuerzas conservativas . La gravedad en la dirección z , por ejemplo, es el gradiente de − ρgz . Debido a que la presión de dicha gravitación surge sólo como un gradiente, podemos incluirla en el término de presión como una fuerza corporal h = p − χ . Los términos de presión y fuerza en el lado derecho de la ecuación de Navier-Stokes se convierten en

$${\displaystyle -\nabla p+\mathbf {f} =-\nabla p+\nabla \chi =-\nabla \left(p-\chi \right)=-\nabla h.}$$

También es posible incluir influencias externas en el término de estrés en lugar del término de fuerza corporal. Esto puede incluso incluir tensiones antisimétricas (entradas de momento angular), en contraste con las contribuciones internas normalmente simétricas al tensor de tensiones. ^[13] ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

No dimensionalización

Para que las ecuaciones sean adimensionales, es necesario definir una longitud característica r ₀ y una velocidad característica u _{0 .} Estos deben elegirse de manera que las variables adimensionales sean todas de orden uno. Se obtienen así las siguientes variables adimensionales:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{*}&\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}}&u^{*}&\equiv {\frac {u}{u_{0}}}&r^{*}&\equiv {\frac {r}{r_{0}}}&t^{*}&\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t\\[6pt]\nabla ^{*}&\equiv r_{0}\nabla &\mathbf {f} ^{*}&\equiv {\frac {\mathbf {f} }{f_{0}}}&p^{*}&\equiv {\frac {p}{p_{0}}}&{\boldsymbol {\tau }}^{*}&\equiv {\frac {\boldsymbol {\tau }}{\tau _{0}}}\end{aligned}}}$$

La sustitución de estas relaciones invertidas en las ecuaciones de momento de Euler produce:

$${\displaystyle {\frac {\rho _{0}u_{0}^{2}}{r_{0}}}{\frac {\partial \rho ^{*}\mathbf {u} ^{*}}{\partial t^{*}}}+{\frac {\nabla ^{*}}{r_{0}}}\cdot \left(\rho _{0}u_{0}^{2}\rho ^{*}\mathbf {u} ^{*}\otimes \mathbf {u} ^{*}+p_{0}p^{*}\right)=-{\frac {\tau _{0}}{r_{0}}}\nabla ^{*}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{*}+f_{0}\mathbf {f} ^{*}}$$

y dividiendo por el primer coeficiente:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\rho } ^{*}u^{*}}{\partial t^{*}}}+\nabla ^{*}\cdot \left(\rho ^{*}\mathbf {u} ^{*}\otimes \mathbf {u} ^{*}+{\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}}p^{*}\right)=-{\frac {\tau _{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}}\nabla ^{*}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{*}+{\frac {f_{0}r_{0}}{u_{0}^{2}}}\mathbf {f} ^{*}}$$

Ahora definiendo el número de Froude :

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}^{2}}{f_{0}r_{0}}},}$$

el número de Euler :

$${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$

y el coeficiente de fricción superficial o el habitualmente denominado ' coeficiente de resistencia ' en el campo de la aerodinámica:

$${\displaystyle C_{\mathrm {f} }={\frac {2\tau _{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$

pasando respectivamente a las variables conservadoras, es decir, la densidad de momento y la densidad de fuerza :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\\mathbf {g} &=\rho \mathbf {f} \end{aligned}}}$$

finalmente se expresan las ecuaciones (omitiendo ahora los índices):

Ecuación del momento de Cauchy ( forma conservadora adimensional )

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +\mathrm {Eu} \,p\right)=-{\frac {C_{\mathrm {f} }}{2}}\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+{\frac {1}{\mathrm {Fr} }}\mathbf {g} }$

Las ecuaciones de Cauchy en el límite de Froude Fr → ∞ (correspondiente a un campo externo insignificante) se denominan ecuaciones de Cauchy libres:

Ecuación de momento de Cauchy libre ( forma conservadora adimensional )

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +\mathrm {Eu} \,p\right)=-{\frac {C_{\mathrm {f} }}{2}}\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$

y pueden ser eventualmente ecuaciones de conservación . Por tanto, el límite de los números de Froude altos (campo externo bajo) es notable para tales ecuaciones y se estudia con la teoría de la perturbación .

Finalmente en forma convectiva las ecuaciones son:

Ecuación del momento de Cauchy ( forma convectiva adimensional )

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} \,{\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} }}\mathbf {f} }$

Formas convectivas explícitas en 3D

Coordenadas cartesianas 3D

Para tensores de tensión asimétricos, las ecuaciones en general toman las siguientes formas: ^{[2] [3] [4] [14]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&:&{\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}&={\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}\right)+f_{x}\\[8pt]y&:&{\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}&={\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial z}}\right)+f_{y}\\[8pt]z&:&{\frac {\partial u_{z}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}&={\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\right)+f_{z}\end{aligned}}}$$

Coordenadas 3D cilíndricas

A continuación, escribimos la ecuación principal en forma presión-tau asumiendo que el tensor de tensión es simétrico ( ): ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}\Longrightarrow \tau _{ij}=\tau _{ji}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&:&{\frac {\partial u_{r}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {u_{\phi }^{2}}{r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \left(r\tau _{rr}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \tau _{\phi r}}{\partial \phi }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{zr}}{\partial z}}-{\frac {\tau _{\phi \phi }}{r\rho }}+f_{r}\\[8pt]\phi &:&{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial z}}+{\frac {u_{r}u_{\phi }}{r}}&=-{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial P}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \tau _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r^{2}\rho }}{\frac {\partial \left(r^{2}\tau _{r\phi }\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{z\phi }}{\partial z}}+f_{\phi }\\[8pt]z&:&{\frac {\partial u_{z}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{z}}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial z}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{zz}}{\partial z}}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \tau _{\phi z}}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \left(r\tau _{rz}\right)}{\partial r}}+f_{z}\end{aligned}}}$$

Ver también

• Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)
• Ecuaciones de Navier-Stokes
• Ecuaciones de Burnett
• Ampliación de Chapman-Enskog

Notas

1. En 3D por ejemplo, con respecto a algún sistema de coordenadas, el vector j tiene 3 componentes, mientras que los tensores σ y F tienen 9 (3×3), por lo que las formas explícitas escritas como matrices serían:
   $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {j} }&={\begin{pmatrix}\rho u_{1}\\\rho u_{2}\\\rho u_{3}\end{pmatrix}}\\{\mathbf {s} }&={\begin{pmatrix}\rho g_{1}\\\rho g_{2}\\\rho g_{3}\end{pmatrix}}\\{\mathbf {F} }&={\begin{pmatrix}\rho u_{1}^{2}+\sigma _{11}&\rho u_{1}u_{2}+\sigma _{12}&\rho u_{1}u_{3}+\sigma _{13}\\\rho u_{2}u_{1}+\sigma _{12}&\rho u_{2}^{2}+\sigma _{22}&\rho u_{2}u_{3}+\sigma _{23}\\\rho u_{3}u_{1}+\sigma _{13}&\rho u_{3}u_{2}+\sigma _{23}&\rho u_{3}^{2}+\sigma _{33}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$
   Tenga en cuenta, sin embargo, que si es simétrico, F sólo contendrá 6 grados de libertad . Y la simetría de F es equivalente a la simetría de σ (que estará presente para los tensores de tensión de Cauchy más comunes ), ya que las díadas de vectores entre sí son siempre simétricas.

Referencias

1. Acheson, DJ (1990). Dinámica de fluidos elemental . Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 205.ISBN​ 0-19-859679-0.
2. Berdahl, CI; Strang, WZ (octubre de 1986). Comportamiento de un tensor de tensión asimétrico influenciado por la vorticidad en el flujo de fluido (PDF) (Reporte). LABORATORIOS AERONÁUTICOS WRIGHT DE LA FUERZA AÉREA. pag. 13 (Debajo de la ecuación principal, los autores describen ). ${\displaystyle \sigma _{ki,k}=\partial \sigma _{ki}/\partial x_{k}=\nabla \cdot \sigma }$
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