Símbolo de Nabla

Símbolo utilizado para indicar el operador del

∇

El símbolo de la nabla

La nabla es un símbolo triangular que se asemeja a un delta griego invertido : ^[1] o ∇. El nombre proviene, debido a la forma del símbolo, de la palabra griega helenística νάβλα para un arpa fenicia , ^{[2] [3]} y fue sugerido por el enciclopedista William Robertson Smith en una carta de 1870 a Peter Guthrie Tait . ^{[2] [4] [5] [6] [7]} ${\displaystyle \nabla }$

El símbolo nabla está disponible en HTML estándar como ∇y en LaTeX como \nabla. En Unicode , es el carácter que se encuentra en el punto de código U+2207, o 8711 en notación decimal , en el bloque Operadores matemáticos .

También se le llama del .

Historia

El arpa , el instrumento que da nombre al símbolo nabla

El operador diferencial dado en coordenadas cartesianas en el espacio euclidiano tridimensional por ${\displaystyle \{x,y,z\}}$

${\displaystyle \mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}}$

Fue introducido en 1831 por el matemático y físico irlandés William Rowan Hamilton , quien lo llamó ◁. ^[8] (Los vectores unitarios eran originalmente versores rectos en los cuaterniones de Hamilton ). Las matemáticas de ∇ recibieron su exposición completa a manos de PG Tait . ^{[9] [10]} ${\displaystyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}}$

Tras recibir la sugerencia de Smith, Tait y James Clerk Maxwell se refirieron al operador como nabla en su extensa correspondencia privada; la mayoría de estas referencias son de carácter humorístico. CG Knott's Life and Scientific Work of Peter Guthrie Tait (p. 145): ^[5]

Probablemente, fue esta reticencia de Maxwell a utilizar el término Nabla en escritos serios lo que impidió que Tait introdujera la palabra antes de lo que lo hizo. El único uso publicado de la palabra por parte de Maxwell se encuentra en el título de su humorística Oda tyndálica, dedicada al "Músico principal de Nabla", es decir, Tait.

William Thomson (Lord Kelvin) introdujo el término ante una audiencia estadounidense en una conferencia en 1884; ^[2] las notas se publicaron en Gran Bretaña y los EE. UU. en 1904. ^[11]

El nombre es reconocido y criticado por Oliver Heaviside en 1891: ^[12]

El vector ficticio ∇ dado por

${\displaystyle \nabla =\mathbf {i} \nabla _{1}+\mathbf {j} \nabla _{2}+\mathbf {k} \nabla _{3}=\mathbf {i} {\frac {d}{dx}}+\mathbf {j} {\frac {d}{dy}}+\mathbf {k} {\frac {d}{dz}}}$

es muy importante. Las matemáticas físicas son en gran medida las matemáticas de ∇. El nombre Nabla parece, por lo tanto, ridículamente ineficiente.

A Heaviside y Josiah Willard Gibbs (independientemente) se les atribuye el desarrollo de la versión del cálculo vectorial más popular hoy en día. ^[13]

El influyente texto de 1901 Vector Analysis , escrito por Edwin Bidwell Wilson y basado en las conferencias de Gibbs, defiende el nombre "del": ^[14]

Este operador simbólico ∇ fue introducido por Sir WR Hamilton y ahora se emplea de forma universal. Sin embargo, no parece haber un nombre universalmente reconocido para él, aunque debido a la frecuente aparición del símbolo algún nombre es una necesidad práctica. La experiencia ha demostrado que el monosílabo del es tan corto y fácil de pronunciar que incluso en fórmulas complicadas en las que ∇ aparece varias veces, la repetición no supone ningún inconveniente para el hablante o el oyente. ∇ V se lee simplemente como "del V ".

Este libro es responsable de la forma en que las matemáticas del operador en cuestión se expresan habitualmente en la actualidad, sobre todo en los libros de texto de física de pregrado y, especialmente, en los de electrodinámica.

Usos modernos

El nabla se utiliza en el cálculo vectorial como parte de tres operadores diferenciales distintos: el gradiente (∇), la divergencia (∇⋅) y el rotacional (∇×). El último de ellos utiliza el producto vectorial y, por lo tanto, solo tiene sentido en tres dimensiones; los dos primeros son completamente generales. Todos se estudiaron originalmente en el contexto de la teoría clásica del electromagnetismo, y los planes de estudio universitarios de física contemporáneos suelen tratar el material utilizando aproximadamente los conceptos y la notación que se encuentran en el Análisis vectorial de Gibbs y Wilson .

El símbolo también se utiliza en geometría diferencial para denotar una conexión .

Un símbolo de la misma forma, aunque presumiblemente no relacionado genealógicamente, aparece en otras áreas, por ejemplo:

• Como toda relación, particularmente en la teoría de redes .
• Como operador de diferencia hacia atrás , en el cálculo de diferencias finitas .
• Como operador de ampliación, un operador que permite que el análisis estático de programas termine en un tiempo finito, en el campo de la informática de la interpretación abstracta .
• Como marcador de definición de función y autorreferencia ( recursión ) en el lenguaje de programación APL
• Como indicador de indeterminación en la lógica filosófica . ^[15]
• En arquitectura naval (diseño de barcos), para designar el desplazamiento de volumen de un barco o cualquier otra embarcación; el delta , gráficamente similar , se utiliza para designar el desplazamiento de peso (el peso total del agua desplazada por el barco), por lo tanto, donde es la densidad del agua de mar. ${\displaystyle \nabla =\Delta /\rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Véase también

• Del , tratando las matemáticas del operador diferencial vectorial
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas
• grad , div y curl , operadores diferenciales definidos usando nabla
• Historia de los cuaterniones
• Notación para diferenciación
• Derivada covariante , también conocida como conexión
• Nevel ^[7]

Notas al pie

1. griego moderno se le llama anadelta (ανάδελτα) .
2. "nabla" . Oxford English Dictionary (edición en línea). Oxford University Press . (Se requiere suscripción o membresía a una institución participante).
3. Fuente: Liddell, Henry George ; Scott, Robert ; Un léxico griego-inglés en el Proyecto Perseo .
4. Carta de Smith a Tait, 10 de noviembre de 1870:

   Mi estimado señor, el nombre que propongo para ∇ es, como recordará, Nabla... En griego la forma principal es ναβλᾰ... En cuanto a la cosa, es una especie de arpa y Jerónimo y otras autoridades dicen que tenía la figura de ∇ (una Δ invertida).

   Citado en la entrada "nabla" del Oxford English Dictionary.
5. Cargill Gilston Knott (1911). Vida y obra científica de Peter Guthrie Tait. Cambridge University Press.
6. "Historia de Nabla".
7. En particular, a veces se afirma que proviene del hebreo nevel (נֶבֶל), como en el Libro de Isaías, capítulo 5, oración 12: "וְהָיָה כִנּוֹר וָ נֶבֶל תֹּף וְחָלִיל ו ָיַיִן מִשְׁתֵּיהֶם וְאֵת פֹּעַל יְהוָה לֹא יַבִּיטוּ וּמַעֲשֵׂה יָדָיו לֹא רָאוּ"—, pero esta etimología es errónea; el griego νάβλα proviene del fenicio, del cual נֶבֶל es cognado. Véase: "nable" . Oxford English Dictionary (edición en línea). Oxford University Press . (Se requiere suscripción o membresía a una institución participante).
8. WR Hamilton, "Sobre diferencias y diferenciales de funciones de cero", Trans. R. Irish Acad. XVII:235–236 esp. 236 (1831)
9. Knott, pp. 142-143: "Sin lugar a dudas, el gran trabajo de Tait fue su desarrollo del poderoso operador ∇. Hamilton introdujo este operador diferencial en su forma de trinomio semicartesiano en la página 610 de sus Lectures y señaló sus efectos tanto en una cantidad escalar como en una vectorial. ... Sin embargo, ni en las Lectures ni en los Elements se desarrolla la teoría. Esto lo hizo Tait en la segunda edición de su libro (∇ es poco más que mencionado en la primera edición) y mucho más completamente en la tercera y última edición".
10. PG Tait (1890) Un tratado elemental sobre cuaterniones, edición 3 vía Internet Archive
11. William Thomson, Lord Kelvin (1904). Baltimore Lectures on Molecular Dynamics and the Wave Theory of Light. Me tomé la libertad de preguntarle al Profesor Ball hace dos días si tenía un nombre para este símbolo ∇ ² , y me mencionó nabla , una sugerencia humorística de Maxwell . Es el nombre de un arpa egipcia, que tenía esa forma. No sé si es un mal nombre para ella. El laplaciano no me gusta por varias razones tanto históricas como fonéticas. [22 de enero de 1892. Desde 1884 no he encontrado nada mejor, y ahora lo llamo laplaciano.]Mientras esto está escrito, parece estar nombrando al laplaciano ∇ ² "nabla", pero en la conferencia presumiblemente se estaba refiriendo al ∇ mismo.
12. Heaviside (1891), Sobre las fuerzas, tensiones y flujos de energía en el campo electromagnético. Impreso en Philosophical Transactions of the Royal Society , 1892.
13. Michael J. Crowe (1967). Una historia del análisis vectorial .
14. Gibbs; Wilson (1901). Análisis vectorial: un libro de texto para uso de estudiantes de matemáticas y física, basado en las conferencias de J. Willard Gibbs por Edwin Bidwell Wilson.
15. Por ejemplo, en Anthony Everett (2013), The Nonexistent , pág. 210:

    Podemos representar casos de esta forma, casos en los que no es determinado si en la ficción f : a = b , de la siguiente manera:

    (A) ∇[ ^f a = b ] ^f .

    Aquí, los corchetes y el superíndice f s juntos sirven para denotar ficticio; así, el nabla dice "Es indeterminado si", y el resto dice " a = b (ficticiamente)".

Enlaces externos

• Arnold Neumaier (2004). "Historia de Nabla".
• Arnold Neumaier (26 de enero de 1998). Cleve Moler (ed.). "Historia de Nabla". NA Digest, volumen 98, número 03. netlib.org.
• Miller, Jeff. "Los primeros usos de los símbolos del cálculo".
• Tai, Chen. Un estudio sobre el uso inadecuado de ∇ en el análisis vectorial (1994).