Ruido cuántico

Efecto cuántico de la incertidumbre

El ruido cuántico es el ruido que surge del estado indeterminado de la materia de acuerdo con los principios fundamentales de la mecánica cuántica , específicamente el principio de incertidumbre y a través de fluctuaciones de energía de punto cero . El ruido cuántico se debe a la naturaleza aparentemente discreta de los pequeños constituyentes cuánticos, como los electrones , así como a la naturaleza discreta de los efectos cuánticos, como las fotocorrientes .

El ruido cuantificado es similar a la teoría del ruido clásico y no siempre devolverá una densidad espectral asimétrica. ^{[1] [ aclaración necesaria ]}

El ruido de disparo , como lo denominó J. Verdeyen ^[2], es una forma de ruido cuántico relacionado con las estadísticas del conteo de fotones , la naturaleza discreta de los electrones y la generación de ruido intrínseco en la electrónica. A diferencia del ruido de disparo, ^{[ aclaración necesaria ]} el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica establece un límite inferior para una medición. El principio de incertidumbre requiere que cualquier amplificador o detector tenga ruido. ^[1]

Las manifestaciones macroscópicas de los fenómenos cuánticos se alteran fácilmente, por lo que el ruido cuántico se observa principalmente en sistemas donde se suprimen las fuentes convencionales de ruido. En general, el ruido es una variación aleatoria no controlada de un valor esperado y, por lo general, no es deseado. Las causas generales son fluctuaciones térmicas, vibraciones mecánicas, ruido industrial , fluctuaciones de voltaje de una fuente de alimentación, ruido térmico debido al movimiento browniano , ruido de instrumentación, el modo de salida de un láser que se desvía del modo de operación deseado, etc. Si están presentes, y a menos que se controlen cuidadosamente, estas otras fuentes de ruido generalmente dominan y enmascaran el ruido cuántico.

En astronomía , un dispositivo que rompe los límites del ruido cuántico es el observatorio de ondas gravitacionales LIGO .

Un microscopio de Heisenberg

El ruido cuántico se puede ilustrar considerando un microscopio Heisenberg donde se mide la posición de un átomo a partir de la dispersión de fotones. El principio de incertidumbre se expresa como:

$${\displaystyle \Delta x_{imp}\Delta p_{BA}\gtrsim \hbar .}$$

Donde es la incertidumbre en la posición de un átomo, y es la incertidumbre del momento o a veces llamada la contraacción (momento transferido al átomo) cuando está cerca del límite cuántico . La precisión de la medición de la posición se puede aumentar a expensas de conocer el momento del átomo. Cuando la posición se conoce con suficiente precisión, la contraacción comienza a afectar la medición de dos maneras. Primero, impartirá momento de nuevo a los dispositivos de medición en casos extremos. En segundo lugar, tenemos un conocimiento futuro decreciente de la posición futura del átomo. La instrumentación precisa y sensible se acercará al principio de incertidumbre en entornos suficientemente controlados. ${\displaystyle \Delta x_{imp}}$ ${\displaystyle \Delta p_{BA}}$

Fundamentos de la teoría del ruido

El ruido es una preocupación práctica para la ingeniería de precisión y los sistemas de ingeniería que se acercan al límite cuántico estándar. La consideración típica de la ingeniería del ruido cuántico es para la medición de no demolición cuántica y el contacto puntual cuántico . Por lo tanto, la cuantificación del ruido es útil. ^{[2] [3] [4]} El ruido de una señal se cuantifica como la transformada de Fourier de su autocorrelación . La autocorrelación de una señal se da como que mide cuándo nuestra señal está correlacionada positiva, negativamente o no en diferentes momentos y . El promedio de tiempo, , es cero y nuestra es una señal de voltaje. Su transformada de Fourier es porque medimos un voltaje en una ventana de tiempo finita. El teorema de Wiener-Khinchin generalmente establece que el espectro de potencia de un ruido se da como la autocorrelación de una señal, es decir, $${\displaystyle G_{vv}(t-t')=\langle V(t)V(t')\rangle ,}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle \langle V(t)\rangle }$ ${\displaystyle V(t)}$ $${\displaystyle V(\omega )={\frac {1}{\sqrt {T}}}\int _{0}^{T}V(t)e^{i\omega t}dt}$$ $${\displaystyle S_{vv}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}G_{vv}dt=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}\langle |V(\omega )|^{2}\rangle dt}$$

La relación anterior a veces se denomina espectro de potencia o densidad espectral. En el esquema anterior, asumimos que

• Nuestro ruido es estacionario o la probabilidad no cambia con el tiempo. Solo importa la diferencia horaria .
• El ruido se debe a una cantidad muy grande de carga fluctuante por lo que se aplica el teorema del límite central, es decir, el ruido es gaussiano o se distribuye normalmente .
• ${\displaystyle G_{vv}}$se desintegra a cero rápidamente durante algún tiempo . ${\displaystyle \tau _{c}}$
• Tomamos muestras durante un tiempo suficientemente grande, , de modo que nuestra integral escala como un paseo aleatorio . Por lo tanto, nuestra es independiente del tiempo medido para . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\sqrt {T}}}$ ${\displaystyle V(\omega )}$ ${\displaystyle T\gg \tau _{c}}$
  Dicho de otra manera, como . ${\displaystyle G_{vv}(t-t')\to 0}$ ${\displaystyle |t-t'|\gg \tau _{c}}$

Se puede demostrar que una señal ideal de "sombrero de copa", que puede corresponder a una medición finita de un voltaje durante un tiempo, producirá ruido en todo su espectro como una función sinc. Incluso en el caso clásico, se produce ruido.

Del ruido clásico al cuántico

Para estudiar el ruido cuántico, se reemplazan las mediciones clásicas correspondientes con operadores cuánticos, por ejemplo, donde son el promedio estadístico cuántico utilizando la matriz de densidad en la imagen de Heisenberg. $${\displaystyle S_{xx}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle dt,}$$ ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$

El ruido cuántico y el principio de incertidumbre

La incertidumbre de Heisenberg implica la existencia de ruido. ^[5] Un operador con un conjugado hermítico sigue la relación, . Defina como donde es real. Los y son los operadores cuánticos. Podemos demostrar lo siguiente, ${\displaystyle AA^{\dagger }\geq 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=\delta x+\lambda e^{i\theta }\delta y}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \langle \delta x^{2}\rangle \langle \delta y^{2}\rangle \geq {\frac {1}{4}}|\langle [\delta x,\delta y]\rangle |^{2}+|\langle [\delta x,\delta y]_{+}\rangle |^{2}}$$donde son los promedios de la función de onda y otras propiedades estadísticas. Los términos de la izquierda son la incertidumbre en y , el segundo término de la derecha es la covarianza o que surge del acoplamiento a una fuente externa o efectos cuánticos. El primer término de la derecha corresponde a la relación del conmutador y se cancelaría si x e y conmutaran . Ese es el origen de nuestro ruido cuántico. ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \langle \delta x\delta y+\delta y\delta x\rangle }$

Es demostrativo que y correspondan a la posición y al momento que cumple con la conocida relación del conmutador, . Entonces nuestra nueva expresión es, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [x,p]=i\hbar }$

$${\displaystyle \Delta x\Delta y\geq {\sqrt {{\frac {1}{4}}\hbar ^{2}+\sigma _{xy}^{2}}}}$$

Donde es la correlación. Si el segundo término de la derecha se anula, entonces recuperamos el principio de incertidumbre de Heisenberg. ${\displaystyle \sigma _{xy}}$

Movimiento armónico y baño de calor débilmente acoplado

Consideremos el movimiento de un oscilador armónico simple con masa, y frecuencia, acoplado a un baño de calor que mantiene el sistema en equilibrio. Las ecuaciones de movimiento se dan como, ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle x(t)=x(0)\cos(\Omega t)+p(0){\frac {1}{M\Omega }}\sin(\Omega t)}$$

La autocorrelación cuántica es entonces,

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{xx}&=\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle \\&=\langle {\hat {x}}(0){\hat {x}}(0)\rangle \cos(\Omega t)+\langle {\hat {p}}(0){\hat {x}}(0)\rangle \sin(\Omega t)\end{aligned}}}$$

Clásicamente, no existe correlación entre la posición y el momento. El principio de incertidumbre requiere que el segundo término sea distinto de cero. Va a . Podemos tomar el teorema de equipartición o el hecho de que en equilibrio la energía se comparte equitativamente entre los grados de libertad de una molécula/átomo en equilibrio térmico, es decir, ${\displaystyle i\hbar /2}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}M\Omega ^{2}\langle x^{2}\rangle ={\frac {1}{2}}k_{\text{B}}T}$$

En la autocorrelación clásica, tenemos

$${\displaystyle G_{xx}={\frac {k_{\text{B}}T}{M\Omega ^{2}}}\cos(\Omega t)\to S_{xx}(\omega )=\pi {\frac {k_{\text{B}}T}{M\Omega ^{2}}}[\delta (\omega -\Omega )+\delta (\omega +\Omega )]}$$

Mientras que en la autocorrelación cuántica tenemos

$${\displaystyle G_{xx}=\left({\frac {\hbar }{2M\Omega }}\right)\left\{n_{BE}(\hbar \Omega )e^{i\Omega t}+[n_{BE}(\hbar \Omega )+1]e^{-i\Omega t}\right\}\to S_{xx}(\omega )=2\pi \left({\frac {\hbar }{2M\Omega }}\right)[n_{BE}(\hbar \Omega )\delta (\omega -\Omega )+[n_{BE}(\hbar \Omega )+1]\delta (\omega +\Omega )]}$$

Donde los términos fraccionarios entre paréntesis son la incertidumbre de la energía del punto cero. La es la distribución de población de Bose-Einstein. Nótese que el quantum es asimétrico en el debido a la autocorrelación imaginaria. A medida que aumentamos a una temperatura más alta que corresponde a tomar el límite de . Se puede demostrar que el quantum se acerca al clásico . Esto permite ${\displaystyle n_{BE}}$ ${\displaystyle S_{xx}}$ ${\displaystyle k_{B}T\gg \hbar \Omega }$ ${\displaystyle S_{xx}}$ ${\textstyle n_{BE}\approx n_{BE}+1\approx {\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \Omega }}}$

Interpretación física de la densidad espectral

Por lo general, la frecuencia positiva de la densidad espectral corresponde al flujo de energía hacia el oscilador (por ejemplo, el campo cuantizado de los fotones), mientras que la frecuencia negativa corresponde a la energía emitida desde el oscilador . Físicamente, una densidad espectral asimétrica correspondería al flujo neto de energía desde o hacia nuestro modelo de oscilador.

Ganancia lineal e incertidumbre cuántica

La mayoría de las comunicaciones ópticas utilizan modulación de amplitud, donde el ruido cuántico es predominantemente el ruido de disparo . El ruido cuántico de un láser , cuando no se considera el ruido de disparo, es la incertidumbre de la amplitud y fase de su campo eléctrico . Esa incertidumbre se vuelve observable cuando un amplificador cuántico preserva la fase. El ruido de fase se vuelve importante cuando la energía de la modulación de frecuencia o modulación de fase es comparable a la energía de la señal (la modulación de frecuencia es más robusta que la modulación de amplitud debido al ruido aditivo intrínseco a la modulación de amplitud).

Amplificación lineal

No puede existir una ganancia ideal sin ruido. ^[6] Considere la amplificación de un flujo de fotones, una ganancia ideal lineal sin ruido y la relación de incertidumbre Energía-Tiempo.

$${\displaystyle \Delta E\Delta t\gtrsim \hbar /2}$$

Los fotones, ignorando la incertidumbre en la frecuencia, tendrán una incertidumbre en su fase y número totales, y asumirán una frecuencia conocida, es decir, y . Podemos sustituir estas relaciones en nuestra ecuación de incertidumbre de energía-tiempo para encontrar la relación de incertidumbre de número-fase o la incertidumbre en la fase y los números de fotones. ${\displaystyle \Delta \phi =2\pi \nu \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta E=h\nu \Delta n}$ $${\displaystyle \Delta n\Delta \phi >1/2}$$

Dejemos que una ganancia lineal ideal sin ruido, , actúe sobre el flujo de fotones. También suponemos una eficiencia cuántica unitaria , o cada fotón se convierte en una fotocorriente. La salida será la siguiente sin ruido añadido. ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle n_{0}\pm \Delta n_{0}\to Gn_{0}\pm G\Delta n_{0}}$$

La fase también se modificará,

$${\displaystyle \phi _{0}\pm \Delta \phi _{0}\to \phi _{0}+\theta +\Delta \phi _{0},}$$donde es la fase acumulada total a medida que los fotones viajan a través del medio de ganancia. Sustituyendo nuestras incertidumbres de ganancia y fase de salida, obtenemos ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \Delta n_{0}\Delta \phi _{0}>1/2G.}$$

Nuestra ganancia es , lo cual es una contradicción con nuestros principios de incertidumbre. Por lo tanto, un amplificador lineal sin ruido no puede aumentar su señal sin ruido . Un análisis más profundo realizado por H. Heffner mostró que la potencia de ruido mínima requerida para cumplir con el principio de incertidumbre de Heisenberg se da como ^[7] donde es la mitad del ancho total a la mitad del máximo , la frecuencia de los fotones y es la constante de Planck . El término con a veces se llama ruido cuántico ^[6] ${\displaystyle G>1}$ $${\displaystyle P_{n}=h\nu B(G-1)}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h\nu B_{0}/2}$ ${\displaystyle B_{0}=2B}$

Ruido de disparos e instrumentación

En óptica de precisión con láseres altamente estabilizados y detectores eficientes, el ruido cuántico se refiere a las fluctuaciones de la señal.

El error aleatorio de las mediciones interferométricas de posición, debido al carácter discreto de la medición de fotones, es otro ruido cuántico. La incertidumbre de la posición de una sonda en la microscopía de sonda también puede atribuirse al ruido cuántico, pero no es el mecanismo dominante que rige la resolución.

En un circuito eléctrico, las fluctuaciones aleatorias de una señal debido al carácter discreto de los electrones pueden denominarse ruido cuántico. ^[8] Un experimento de S. Saraf, et .al. ^[9] demostró mediciones limitadas por ruido de disparo como una demostración de mediciones de ruido cuántico. En términos generales, amplificaron un láser de espacio libre Nd:YAG con una adición mínima de ruido a medida que pasaba de amplificación lineal a no lineal. El experimento requirió Fabry-Perot para filtrar los ruidos del modo láser y seleccionar frecuencias, dos haces de sonda y saturación separados pero idénticos para asegurar haces no correlacionados, un medio de ganancia de losa en zigzag y un detector balanceado para medir el ruido cuántico o el ruido limitado por ruido de disparo.

Potencia del ruido de disparo

La teoría detrás del análisis de ruido de las estadísticas de fotones (a veces llamada ecuación de Kolmogorov directa ) comienza con la ecuación de Masters de Shimoda et al. ^[10]

$${\displaystyle {\frac {dP_{n}}{dx}}=a[nP_{n-1}-(n+1)P_{n}]+b[(n+1)P_{n+1}-nP_{n}]}$$

donde corresponde al producto de la sección eficaz de emisión y el número de población superior , y es la sección eficaz de absorción . La relación anterior describe la probabilidad de encontrar fotones en modo de radiación . La dinámica solo considera los modos vecinos y a medida que los fotones viajan a través de un medio de átomos excitados y en estado fundamental desde la posición hasta . Esto nos da un total de 4 transiciones de fotones asociadas a un nivel de energía de fotón. Dos números de fotones que se suman al campo y salen de un átomo, y y dos fotones que salen de un campo hacia el átomo y . Su potencia de ruido se da como, ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma _{e}N_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma _{a}N_{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle |n+1\rangle }$ ${\displaystyle |n-1\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+dx}$ ${\displaystyle |n-1\rangle \to |n\rangle }$ ${\displaystyle |n\rangle \to |n+1\rangle }$ ${\displaystyle |n+1\rangle \to |n\rangle }$ ${\displaystyle |n\rangle \to |n-1\rangle }$

$${\displaystyle P_{d}^{2}=P_{\text{shot}}^{2}[1+2f_{sp}\eta (G-1)]}$$

Dónde,

• ${\displaystyle P_{d}}$¿Es la potencia en el detector?
• ${\displaystyle P_{\text{shot}}}$¿Es el ruido del disparo de potencia limitada?
• ${\displaystyle G}$La ganancia no saturada también es válida para la ganancia saturada.
• ${\displaystyle \eta }$es el factor de eficiencia, que es el producto de la eficiencia de la ventana de transmisión a nuestro fotodetector y la eficiencia cuántica.
• ${\displaystyle f_{sp}}$es el factor de emisión espontánea que típicamente corresponde a la fuerza relativa de la emisión espontánea con la emisión estimulada. Un valor de la unidad significaría que todos los iones dopados están en el estado excitado. ^[11]

Sarif et al. demostraron mediciones limitadas por ruido cuántico o ruido de disparo en un amplio rango de ganancia de potencia que coincidían con la teoría.

Fluctuaciones de punto cero

La existencia de fluctuaciones de energía de punto cero está bien establecida en la teoría del campo electromagnético cuantizado. ^[12] En términos generales, en la excitación de energía más baja de un campo cuantizado que permea todo el espacio (es decir, el modo de campo está en el estado de vacío), la fluctuación cuadrática media de la intensidad del campo es distinta de cero. Esto explica las fluctuaciones de vacío que permean todo el espacio.

Esta fluctuación del vacío o ruido cuántico afectará a los sistemas clásicos. Esto se manifiesta como decoherencia cuántica en un sistema entrelazado, normalmente atribuida a diferencias térmicas en las condiciones que rodean a cada partícula entrelazada. ^{[ aclaración necesaria ]} Debido a que el entrelazamiento se estudia intensamente en pares simples de fotones entrelazados, por ejemplo, la decoherencia observada en experimentos bien podría ser sinónimo de "ruido cuántico" en cuanto a la fuente de la decoherencia. La fluctuación del vacío es una posible causa de que un cuanto de energía aparezca espontáneamente en un campo o espacio-tiempo determinado, entonces las diferencias térmicas deben estar asociadas con este evento. Por lo tanto, causaría decoherencia en un sistema entrelazado en la proximidad del evento. ^{[ dudoso – discutir ]}

Estados coherentes y ruido de un amplificador cuántico

Un láser se describe mediante el estado coherente de la luz o la superposición de estados propios de osciladores armónicos. Erwin Schrödinger fue el primero en derivar el estado coherente de la ecuación de Schrödinger para cumplir con el principio de correspondencia en 1926. ^[12]

El láser es un fenómeno mecánico cuántico (ver ecuaciones de Maxwell-Bloch , aproximación de onda rotatoria y modelo semiclásico de un átomo de dos niveles). Los coeficientes de Einstein y las ecuaciones de velocidad del láser son adecuados si uno está interesado en los niveles de población y no necesita tener en cuenta las coherencias cuánticas de población (los términos fuera de la diagonal en una matriz de densidad). Los fotones del orden de 10 ⁸ corresponden a una energía moderada. El error relativo de medición de la intensidad debido al ruido cuántico es del orden de 10 ⁻⁵ . Esto se considera de buena precisión para la mayoría de las aplicaciones.

Amplificador cuántico

Un amplificador cuántico es un amplificador que opera cerca del límite cuántico. El ruido cuántico se vuelve importante cuando se amplifica una señal pequeña. Las incertidumbres cuánticas de una señal pequeña en su cuadratura también se amplifican; esto establece un límite inferior para el amplificador. El ruido de un amplificador cuántico es su amplitud y fase de salida. Generalmente, un láser se amplifica a través de una dispersión de longitudes de onda alrededor de una longitud de onda central, cierta distribución de modos y dispersión de polarización. Pero se puede considerar una amplificación de un solo modo y generalizar a muchos modos diferentes. Un amplificador invariante de fase conserva la fase de la ganancia de entrada sin cambios drásticos en el modo de fase de salida. ^[13]

La amplificación cuántica se puede representar con un operador unitario , , como se afirma en el artículo de D. Kouznetsov de 1995. ${\displaystyle A_{\text{out}}=U^{\dagger }A_{\text{in}}U}$

Véase también

• Corrección de errores cuánticos
• Óptica cuántica
• Límite cuántico
• Ruido de disparo
• Oscilador armónico cuántico

Referencias

1. Clark, Aashish A. "Ruido cuántico y medición cuántica" (PDF) . Consultado el 13 de diciembre de 2021 .
2. Verdeyen, Joseph T. (1995). Electrónica láser (3.ª ed.). Prentice-Hall . ISBN 9780137066667.
3. Clerk, AA; Devoret, MH; Girvin, SM; Marquardt, Florian; Schoelkopf, RJ (2010). "Introducción al ruido cuántico, la medición y la amplificación". Rev. Mod. Phys . 82 (2): 1155--1208. arXiv : 0810.4729 . Código Bibliográfico :2010RvMP...82.1155C. doi :10.1103/RevModPhys.82.1155. S2CID  119200464.
4. Henry, Charles H.; Kazarinov, Rudolf F. (1996). "Ruido cuántico en fotónica". Rev. Mod. Phys . 68 (3): 01–853. Código Bibliográfico :1996RvMP...68..801H. doi :10.1103/RevModPhys.68.801.
5. Crispin W. Gardiner y Paul Zoller (2004). Ruido cuántico: un manual de métodos estocásticos cuánticos markovianos y no markovianos con aplicaciones a la óptica cuántica (3.ª ed.). Springer. ISBN 978-3540223016.
6. Desurvire, Emmanuel (1994). Amplificadores de fibra dopada con erbio. Principios y aplicaciones (1.ª ed.). Wiley-Interscience. ISBN 978-0471589778.
7. Heffner, Hubert (1962). "El límite de ruido fundamental de los amplificadores lineales". Actas del IRE . 50 (7): 1604-1608. doi :10.1109/JRPROC.1962.288130. S2CID  51674821.
8. CW Gardiner y Peter Zoller , Ruido cuántico , Springer-Verlag (1991, 2000, 2004)
9. Saraf, Shally y Urbanek, Karel y Byer, Robert L. y King, Peter J. (2005). "Medidas de ruido cuántico en un amplificador saturado de Nd:YAG bombeado por diodo láser de onda continua". Optics Letters . 30 (10): 1195–1197. Bibcode :2005OptL...30.1195S. doi :10.1364/ol.30.001195. PMID  15943307.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
10. Shimoda, Koichi y Takahasi, Hidetosi y H. Townes, Charles (1957). "Fluctuaciones en la amplificación de cuantos con aplicación a amplificadores máser". Revista de la Sociedad de Física de Japón . 12 (5): 686-700. Bibcode :1957JPSJ...12..686S. doi :10.1143/JPSJ.12.686.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
11. Bishnu P. Pal, ed. (2006). Componentes y dispositivos ópticos de ondas guiadas: conceptos básicos, tecnología y aplicaciones (1.ª ed.). Académico. ISBN 978-0-12-088481-0.
12. John S Townsend. (2012). Un enfoque moderno de la mecánica cuántica (2.ª ed.). University Science Books. ISBN 978-1891389788.
13. D. Kouznetsov; D. Rohrlich; R. Ortega (1995). "Límite cuántico de ruido de un amplificador invariante en fase". Physical Review A . 52 (2): 1665–1669. arXiv : cond-mat/9407011 . Código Bibliográfico :1995PhRvA..52.1665K. doi :10.1103/PhysRevA.52.1665. PMID  9912406. S2CID  19495906.

Lectura adicional

• Clerk, Aashish A. Ruido cuántico y medición cuántica . Oxford University Press.
• Clerk, Aashish A., et al. Introducción al ruido cuántico, medición y amplificación , Reviews of Modern Physics 82 , 1155-1208.
• Gardiner, CW y Zoller, P. Ruido cuántico: un manual de métodos estocásticos cuánticos markovianos y no markovianos con aplicaciones a la óptica cuántica , Springer, 2004, 978-3540223016

Fuentes

• CW Gardiner y Peter Zoller , Ruido cuántico: un manual de métodos estocásticos cuánticos markovianos y no markovianos con aplicaciones a la óptica cuántica, Springer-Verlag (1991, 2000, 2004).