El límite de Bekenstein

Límite superior de la entropía en física

Según el límite de Bekenstein, la entropía de un agujero negro es proporcional al número de áreas de Planck que se necesitarían para cubrir el horizonte de sucesos del agujero negro .

En física , el límite de Bekenstein (llamado así por Jacob Bekenstein ) es un límite superior de la entropía termodinámica S , o entropía de Shannon H , que puede estar contenida dentro de una región finita dada del espacio que tiene una cantidad finita de energía, o a la inversa, la cantidad máxima de información requerida para describir perfectamente un sistema físico dado hasta el nivel cuántico. ^[1] Implica que la información de un sistema físico, o la información necesaria para describir perfectamente ese sistema, debe ser finita si la región del espacio y la energía son finitas.

Ecuaciones

La forma universal del límite fue encontrada originalmente por Jacob Bekenstein en 1981 como la desigualdad ^{[1] [2] [3]} donde S es la entropía , k es la constante de Boltzmann , R es el radio de una esfera que puede encerrar el sistema dado, E es la masa-energía total incluyendo cualquier masa en reposo , ħ es la constante de Planck reducida y c es la velocidad de la luz . Nótese que mientras que la gravedad juega un papel significativo en su cumplimiento, la expresión para el límite no contiene la constante gravitacional G , y por lo tanto, debería aplicarse a la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo . $${\displaystyle S\leq {\frac {2\pi kRE}{\hbar c}},}$$ 

La entropía de Bekenstein-Hawking en el límite de los agujeros negros tridimensionales satura exactamente el límite. El radio de Schwarzschild está dado por y, por lo tanto, el área bidimensional del horizonte de sucesos del agujero negro es y, utilizando la longitud de Planck, la entropía de Bekenstein-Hawking es $${\displaystyle r_{\rm {s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$$ $${\displaystyle A=4\pi r_{\rm {s}}^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}},}$$ $${\displaystyle l_{\rm {P}}^{2}=\hbar G/c^{3},}$$ $${\displaystyle S={\frac {kA}{4\ l_{\rm {P}}^{2}}}={\frac {4\pi kGM^{2}}{\hbar c}}.}$$

Una interpretación del límite hace uso de la fórmula microcanónica para la entropía, donde es el número de estados propios de energía accesibles al sistema. Esto es equivalente a decir que la dimensión del espacio de Hilbert que describe el sistema es ^{[4] [5]} $${\displaystyle S=k\log \Omega ,}$$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \dim {\mathcal {H}}=\exp \left({\frac {2\pi RE}{\hbar c}}\right).}$$

El límite está estrechamente asociado con la termodinámica de los agujeros negros , el principio holográfico y el límite de entropía covariante de la gravedad cuántica, y puede derivarse de una forma fuerte conjeturada de este último. ^[4]

Orígenes

Bekenstein derivó el límite a partir de argumentos heurísticos que involucraban agujeros negros . Si existe un sistema que viola el límite, es decir, por tener demasiada entropía, Bekenstein argumentó que sería posible violar la segunda ley de la termodinámica al reducirlo a un agujero negro. En 1995, Ted Jacobson demostró que las ecuaciones de campo de Einstein (es decir, la relatividad general ) se pueden derivar asumiendo que el límite de Bekenstein y las leyes de la termodinámica son verdaderas. ^{[6] [7]} Sin embargo, si bien se idearon varios argumentos que muestran que debe existir alguna forma del límite para que las leyes de la termodinámica y la relatividad general sean mutuamente consistentes, la formulación precisa del límite fue un tema de debate hasta el trabajo de Casini en 2008. ^{[2] [3] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16]}

A continuación se presenta una derivación heurística que muestra que para una determinada constante , se requiere un análisis más técnico. ${\displaystyle S\leq K{\frac {kRE}{\hbar c}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K=2\pi }$

Supongamos que tenemos un agujero negro de masa , entonces el radio de Schwarzschild del agujero negro es , y la entropía de Bekenstein-Hawking del agujero negro es . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R_{bh}\sim {\frac {GM}{c^{2}}}}$ ${\displaystyle \sim {\frac {kc^{3}R_{bh}^{2}}{\hbar G}}\sim {\frac {kGM^{2}}{\hbar c}}}$

Ahora tomemos una caja con energía , entropía y longitud de lado . Si arrojamos la caja al agujero negro, la masa del agujero negro aumenta a , y la entropía aumenta en . Como la entropía no disminuye, . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M+{\frac {E}{c^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {kGME}{\hbar c^{3}}}}$ ${\displaystyle {\frac {kGME}{\hbar c^{3}}}\gtrsim S}$

Para que la caja quepa dentro del agujero negro, . Si los dos son comparables, , entonces hemos derivado el límite BH: . ${\displaystyle R\lesssim {\frac {GM}{c^{2}}}}$ ${\displaystyle R\sim {\frac {GM}{c^{2}}}}$ ${\displaystyle S\lesssim {\frac {kRE}{\hbar c}}}$

Prueba en la teoría cuántica de campos

En 2008, Casini presentó una prueba del límite de Bekenstein en el marco de la teoría cuántica de campos . ^[17] Una de las ideas cruciales de la prueba fue encontrar una interpretación adecuada de las cantidades que aparecen en ambos lados del límite.

Las definiciones ingenuas de entropía y densidad de energía en la teoría cuántica de campos sufren divergencias ultravioletas . En el caso del límite de Bekenstein, las divergencias ultravioleta se pueden evitar tomando diferencias entre las cantidades calculadas en un estado excitado y las mismas cantidades calculadas en el estado de vacío . Por ejemplo, dada una región espacial , Casini define la entropía en el lado izquierdo del límite de Bekenstein como donde es la entropía de Von Neumann de la matriz de densidad reducida asociada con en el estado excitado , y es la entropía de Von Neumann correspondiente para el estado de vacío . ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle S_{V}=S(\rho _{V})-S(\rho _{V}^{0})=-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})+\mathrm {tr} (\rho _{V}^{0}\log \rho _{V}^{0})}$$ ${\displaystyle S(\rho _{V})}$ ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S(\rho _{V}^{0})}$ ${\displaystyle \rho ^{0}}$

En el lado derecho del límite de Bekenstein, un punto difícil es dar una interpretación rigurosa de la cantidad , donde es una escala de longitud característica del sistema y es una energía característica. Este producto tiene las mismas unidades que el generador de un boost de Lorentz , y el análogo natural de un boost en esta situación es el hamiltoniano modular del estado de vacío . Casini define el lado derecho del límite de Bekenstein como la diferencia entre el valor esperado del hamiltoniano modular en el estado excitado y el estado de vacío, ${\displaystyle 2\pi RE}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K=-\log \rho _{V}^{0}}$ $${\displaystyle K_{V}=\mathrm {tr} (K\rho _{V})-\mathrm {tr} (K\rho _{V}^{0}).}$$

Con estas definiciones, las lecturas límite se pueden reorganizar para dar $${\displaystyle S_{V}\leq K_{V},}$$ $${\displaystyle \mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V}^{0})\geq 0.}$$

Esta es simplemente la afirmación de positividad de la entropía relativa cuántica , que prueba el límite de Bekenstein.

Sin embargo, el hamiltoniano modular sólo puede interpretarse como una forma ponderada de energía para teorías de campos conformes y cuando V es una esfera.

Esta construcción nos permite dar sentido al efecto Casimir ^[4] , donde la densidad de energía localizada es menor que la del vacío, es decir, una energía localizada negativa . La entropía localizada del vacío no es cero, por lo que el efecto Casimir es posible para estados con una entropía localizada menor que la del vacío. La radiación de Hawking se puede explicar mediante el vertido de energía negativa localizada en un agujero negro.

Véase también

• Teorema de Margolus-Levitin
• Principio de Landauer
• Límite de Bremermann
• Complejidad de Kolmogorov
• Más allá de los agujeros negros
• Física digital
• Límites de computación
• Límite de Chandrasekhar

Referencias

1. Bekenstein, Jacob D. (1981). "Límite superior universal de la relación entropía-energía para sistemas acotados" (PDF) . Physical Review D . 23 (2): 287–298. Bibcode :1981PhRvD..23..287B. doi :10.1103/PhysRevD.23.287. S2CID  120643289.
2. Bekenstein, Jacob D. (2005). "¿Cómo funciona el límite entropía/información?". Fundamentos de la física . 35 (11): 1805–1823. arXiv : quant-ph/0404042 . Código Bibliográfico :2005FoPh...35.1805B. doi :10.1007/s10701-005-7350-7. S2CID  118942877.
3. Bekenstein, Jacob (2008). "Bekenstein bound". Scholarpedia . 3 (10): 7374. Bibcode :2008SchpJ...3.7374B. doi : 10.4249/scholarpedia.7374 .
4. Bousso, Raphael (12 de febrero de 2004). "Estados ligados y el límite de Bekenstein". Journal of High Energy Physics . 2004 (2): 025. arXiv : hep-th/0310148 . Código Bibliográfico :2004JHEP...02..025B. doi :10.1088/1126-6708/2004/02/025. ISSN  1029-8479. S2CID  17662307.
5. 't Hooft, G. (1993-10-19). "Reducción dimensional en la gravedad cuántica". arXiv : gr-qc/9310026 .
6. Jacobson, Ted (1995). "Termodinámica del espacio-tiempo: la ecuación de estado de Einstein" (PDF) . Physical Review Letters . 75 (7): 1260–1263. arXiv : gr-qc/9504004 . Código Bibliográfico :1995PhRvL..75.1260J. CiteSeerX 10.1.1.54.6675 . doi :10.1103/PhysRevLett.75.1260. PMID  10060248. S2CID  13223728. Archivado desde el original (PDF) el 2011-10-01 . Consultado el 2010-05-23 . 
7. Lee Smolin , Tres caminos hacia la gravedad cuántica (Nueva York, NY: Basic Books , 2002), págs. 173 y 175, ISBN 0-465-07836-2 , LCCN  2007-310371. 
8. Bousso, Raphael (1999). "Holografía en espacios-tiempos generales". Journal of High Energy Physics . 1999 (6): 028. arXiv : hep-th/9906022 . Código Bibliográfico :1999JHEP...06..028B. doi :10.1088/1126-6708/1999/06/028. S2CID  119518763.
9. Bousso, Raphael (1999). "Una conjetura de entropía covariante". Journal of High Energy Physics . 1999 (7): 004. arXiv : hep-th/9905177 . Código Bibliográfico :1999JHEP...07..004B. doi :10.1088/1126-6708/1999/07/004. S2CID  9545752.
10. Bousso, Raphael (2000). "El principio holográfico para fondos generales". Gravedad clásica y cuántica . 17 (5): 997–1005. arXiv : hep-th/9911002 . Código Bibliográfico :2000CQGra..17..997B. doi :10.1088/0264-9381/17/5/309. S2CID  14741276.
11. Bekenstein, Jacob D. (2000). "Límite holográfico a partir de la segunda ley de la termodinámica". Physics Letters B . 481 (2–4): 339–345. arXiv : hep-th/0003058 . Código Bibliográfico :2000PhLB..481..339B. doi :10.1016/S0370-2693(00)00450-0. S2CID  119427264.
12. Bousso, Raphael (2002). "El principio holográfico" (PDF) . Reviews of Modern Physics . 74 (3): 825–874. arXiv : hep-th/0203101 . Bibcode :2002RvMP...74..825B. doi :10.1103/RevModPhys.74.825. S2CID  55096624. Archivado desde el original (PDF) el 2011-08-12 . Consultado el 2010-05-23 .
13. Jacob D. Bekenstein, "Información en el universo holográfico: los resultados teóricos sobre los agujeros negros sugieren que el universo podría ser como un holograma gigantesco", Scientific American , vol. 289, núm. 2 (agosto de 2003), pp. 58-65. Enlace espejo.
14. Bousso, Raphael; Flanagan, Éanna É.; Marolf, Donald (2003). "Condiciones suficientes simples para el límite de entropía covariante generalizado". Physical Review D . 68 (6): 064001. arXiv : hep-th/0305149 . Código Bibliográfico :2003PhRvD..68f4001B. doi :10.1103/PhysRevD.68.064001. S2CID  119049155.
15. Bekenstein, Jacob D. (2004). "Agujeros negros y teoría de la información". Contemporary Physics . 45 (1): 31–43. arXiv : quant-ph/0311049 . Código Bibliográfico :2004ConPh..45...31B. doi :10.1080/00107510310001632523. S2CID  118970250.
16. Tipler, FJ (2005). "La estructura del mundo a partir de números puros" (PDF) . Informes sobre el progreso en física . 68 (4): 897–964. arXiv : 0704.3276 . Bibcode :2005RPPh...68..897T. doi :10.1088/0034-4885/68/4/R04. S2CID  119620977.Tipler ofrece una serie de argumentos para sostener que la formulación original de Bekenstein del límite es la forma correcta. Véase en particular el párrafo que comienza con "Algunos puntos..." en la pág. 903 del artículo de Rep. Prog. Phys. (o la pág. 9 de la versión de arXiv ), y los debates sobre el límite de Bekenstein que siguen a lo largo del artículo.
17. Casini, Horacio (2008). "Entropía relativa y límite de Bekenstein". Gravedad clásica y cuántica . 25 (20): 205021. arXiv : 0804.2182 . Bibcode :2008CQGra..25t5021C. doi :10.1088/0264-9381/25/20/205021. S2CID  14456556.

Enlaces externos

• Jacob D. Bekenstein, "Entropía de Bekenstein-Hawking", Scholarpedia , Vol. 3, No. 10 (2008), pág. 7375, doi :10.4249/scholarpedia.7375.
• Sitio web de Jacob D. Bekenstein en el Instituto Racah de Física , Universidad Hebrea de Jerusalén , que contiene varios artículos sobre el límite de Bekenstein.
• O'Dowd, Matt (12 de septiembre de 2018). "¿Cuánta información hay en el universo?". PBS Space Time . Archivado desde el original el 12 de diciembre de 2021 – vía YouTube .