En matemáticas , los espacios perfectoides son espacios ádicos de tipo especial, que ocurren en el estudio de problemas de " característica mixta ", como campos locales de característica cero que tienen campos residuales de característica prima p .
Un campo perfectoide es un campo topológico completo K cuya topología es inducida por una valoración no discreta de rango 1, de modo que el endomorfismo de Frobenius Φ es sobreyectivo en K °/ p donde K ° denota el anillo de elementos limitados por potencia.
Los espacios perfectoides pueden usarse (y fueron inventados para) comparar situaciones de características mixtas con situaciones de características puramente finitas. Las herramientas técnicas para hacer esto preciso son la equivalencia de inclinación y el teorema de casi pureza. Los conceptos fueron introducidos en 2012 por Peter Scholze . [1]
Para cualquier campo perfectoide K hay una inclinación K ♭ , que es un campo perfectoide de característica finita p . Como conjunto , se puede definir como
Explícitamente, un elemento de K ♭ es una secuencia infinita ( x 0 , x 1 , x 2 , ...) de elementos de K tal que x i = xp
yo +1. La multiplicación en K ♭ se define terminológicamente, mientras que la suma es más complicada. Si K tiene característica finita, entonces K ≅ K ♭ . Si K es la terminación p -ádica de , entonces K ♭ es la terminación t -ádica de .
Existen nociones de álgebras perfectoides y espacios perfectoides sobre un campo perfectoide K , más o menos análogas a las álgebras conmutativas y esquemas sobre un campo . La operación de inclinación se extiende a estos objetos. Si X es un espacio perfectoide sobre un campo perfectoide K , entonces se puede formar un espacio perfectoide X ♭ sobre K ♭ . La equivalencia de inclinación es un teorema de que el funtor de inclinación (-) ♭ induce una equivalencia de categorías entre espacios perfectoides sobre K y espacios perfectoides sobre K ♭ . Tenga en cuenta que, si bien un campo perfectoide de característica finita puede tener varios "hasta" no isomorfos , las categorías de espacios perfectoides sobre ellos serían todas equivalentes.
Esta equivalencia de categorías respeta algunas propiedades adicionales de los morfismos. Muchas propiedades de los morfismos de esquemas tienen analogías con los morfismos de espacios ádicos. El teorema de casi pureza para espacios perfectoides se ocupa de los morfismos de étale finitos . Es una generalización del teorema de casi pureza de Faltings en la teoría p -ádica de Hodge . El nombre alude casi a las matemáticas , que se utilizan en una demostración, y a un teorema clásico lejanamente relacionado sobre la pureza del lugar geométrico de las ramas . [2]
El comunicado tiene dos partes. Sea K un campo perfectoide.
Dado que los mapas de étale finitos en un campo son exactamente extensiones de campos finitos separables , el teorema de casi pureza implica que para cualquier campo perfectoide K los grupos absolutos de Galois de K y K ♭ son isomórficos.
