delta del Kronecker

Función matemática de dos variables; salidas 1 si son iguales, 0 en caso contrario

En matemáticas , el delta de Kronecker (llamado así en honor a Leopold Kronecker ) es una función de dos variables , normalmente sólo números enteros no negativos . La función es 1 si las variables son iguales y 0 en caso contrario: o con uso de corchetes Iverson : por ejemplo, porque , mientras que porque . $${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,}$$ ${\displaystyle \delta _{12}=0}$ ${\displaystyle 1\neq 2}$ ${\displaystyle \delta _{33}=1}$ ${\displaystyle 3=3}$

El delta de Kronecker aparece de forma natural en muchas áreas de las matemáticas, la física, la ingeniería y la informática, como una forma de expresar de forma compacta su definición anterior.

En álgebra lineal , la matriz identidad tiene entradas iguales al delta de Kronecker: donde y toma los valores , y el producto interno de los vectores se puede escribir como Aquí los vectores euclidianos se definen como n -tuplas: y y el último paso se obtiene por utilizando los valores del delta de Kronecker para reducir la sumatoria . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ $${\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}$$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle 1,2,\cdots ,n}$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})}$ ${\displaystyle j}$

Es común que i y j estén restringidos a un conjunto de la forma {1, 2, ..., n } o {0, 1, ..., n − 1} , pero el delta de Kronecker se puede definir en un conjunto arbitrario.

Propiedades

Se satisfacen las siguientes ecuaciones: Por tanto, la matriz δ puede considerarse como una matriz identidad. $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}}$$

Otra representación útil es la siguiente forma: Esto se puede derivar usando la fórmula de la serie geométrica . $${\displaystyle \delta _{nm}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(n-m)}}$$

Notación alternativa

Usando el soporte Iverson : $${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].}$$

A menudo, se utiliza una notación de un solo argumento , que equivale a establecer : ${\displaystyle \delta _{i}}$ ${\displaystyle j=0}$ $${\displaystyle \delta _{i}=\delta _{i0}={\begin{cases}0,&{\text{if }}i\neq 0\\1,&{\text{if }}i=0\end{cases}}}$$

En álgebra lineal , se puede considerar como un tensor y se escribe . A veces, el delta de Kronecker se llama tensor de sustitución. ^[1] ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

Procesamiento de señales digitales

Función de muestra unitaria

En el estudio del procesamiento de señales digitales (DSP), la función de muestra unitaria representa un caso especial de una función delta de Kronecker bidimensional donde los índices de Kronecker incluyen el número cero y donde uno de los índices es cero. En este caso: ${\displaystyle \delta [n]}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ $${\displaystyle \delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}~~~{\text{where}}-\infty <n<\infty }$$

O más generalmente donde: $${\displaystyle \delta [n-k]\equiv \delta [k-n]\equiv \delta _{nk}\equiv \delta _{kn}{\text{where}}-\infty <n<\infty ,-\infty <k<\infty }$$

Sin embargo, éste es sólo un caso especial. En cálculo tensorial, es más común numerar vectores de base en una dimensión particular comenzando con el índice 1, en lugar del índice 0. En este caso, la relación no existe y, de hecho, la función delta de Kronecker y la función de muestra unitaria son diferentes funciones que se superponen en el caso específico donde los índices incluyen el número 0, el número de índices es 2 y uno de los índices tiene el valor cero. ${\displaystyle \delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}}$

Si bien la función de muestra unitaria discreta y la función delta de Kronecker usan la misma letra, difieren en las siguientes formas. Para la función de muestra unitaria discreta, es más convencional colocar un índice entero único entre llaves; Por el contrario, el delta de Kronecker puede tener cualquier número de índices. Además, el propósito de la función de muestra unitaria discreta es diferente de la función delta de Kronecker. En DSP, la función de muestra unitaria discreta se utiliza normalmente como función de entrada a un sistema discreto para descubrir la función del sistema que se producirá como salida del sistema. Por el contrario, el propósito típico de la función delta de Kronecker es filtrar términos de una convención de suma de Einstein .

La función de muestra unitaria discreta se define más simplemente como: $${\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1&n=0\\0&n{\text{ is another integer}}\end{cases}}}$$

Además, la función delta de Dirac a menudo se confunde tanto con la función delta de Kronecker como con la función de muestra unitaria. El delta de Dirac se define como: $${\displaystyle {\begin{cases}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\delta (t)dt=1&\forall \varepsilon >0\\\delta (t)=0&\forall t\neq 0\end{cases}}}$$

A diferencia de la función delta de Kronecker y la función de muestra unitaria , la función delta de Dirac no tiene un índice entero, tiene un único valor continuo no entero t . ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta [n]}$ ${\displaystyle \delta (t)}$

Para confundir más las cosas, la función de impulso unitario se utiliza a veces para referirse a la función delta de Dirac o a la función de muestra unitaria . ${\displaystyle \delta (t)}$ ${\displaystyle \delta [n]}$

Propiedades notables

El delta de Kronecker tiene la llamada propiedad de tamizado que para : y si los números enteros se consideran un espacio de medida dotado de la medida de conteo , entonces esta propiedad coincide con la propiedad definitoria de la función delta de Dirac y, de hecho, el delta de Dirac recibió su nombre. después del delta de Kronecker debido a esta propiedad análoga. ^[2] En el procesamiento de señales suele ser el contexto (tiempo discreto o continuo) el que distingue las "funciones" de Kronecker y Dirac. Y por convención, generalmente indica tiempo continuo (Dirac), mientras que argumentos como , , , , y generalmente se reservan para tiempo discreto (Kronecker). Otra práctica común es representar secuencias discretas con corchetes; de este modo: . El delta de Kronecker no es el resultado de muestrear directamente la función delta de Dirac. ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ij}=a_{j}.}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)\,dx=f(y),}$$ ${\displaystyle \delta (t)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \delta [n]}$

El delta de Kronecker forma el elemento de identidad multiplicativo de un álgebra de incidencia . ^[3]

Relación con la función delta de Dirac

En teoría de probabilidad y estadística , las funciones delta de Kronecker y delta de Dirac se pueden utilizar para representar una distribución discreta . Si el soporte de una distribución consta de puntos , con sus correspondientes probabilidades , entonces la función de masa de probabilidad de la distribución se puede escribir, utilizando el delta de Kronecker, como ${\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{1},\cdots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle p(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta _{xx_{i}}.}$$

De manera equivalente, la función de densidad de probabilidad de la distribución se puede escribir usando la función delta de Dirac como ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).}$$

Bajo ciertas condiciones, el delta de Kronecker puede surgir del muestreo de una función delta de Dirac. Por ejemplo, si un impulso delta de Dirac ocurre exactamente en un punto de muestreo e idealmente se filtra con un filtro de paso bajo (con corte en la frecuencia crítica) según el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , la señal de tiempo discreto resultante será una función delta de Kronecker.

Generalizaciones

Si se considera como un tensor de tipo , el tensor de Kronecker se puede escribir con un índice covariante y un índice contravariante : ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle \delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}}$$

Este tensor representa:

• El mapeo de identidad (o matriz de identidad), considerado como un mapeo lineal o ${\displaystyle V\to V}$ ${\displaystyle V^{*}\to V^{*}}$
• La traza o contracción tensor , considerada como un mapeo ${\displaystyle V^{*}\otimes V\to K}$
• El mapa , que representa la multiplicación escalar como una suma de productos externos . ${\displaystyle K\to V^{*}\otimes V}$

ElEl delta de Kronecker generalizado ode ordenmultiíndicees untensor de tipo completamenteantisimétricoen susíndices superiores, y también en susíndices inferiores. ${\displaystyle 2p}$ ${\displaystyle (p,p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Se utilizan dos definiciones que difieren por un factor de . A continuación, la versión que se presenta tiene componentes distintos de cero escalados para ser . La segunda versión tiene componentes distintos de cero que son , con los consiguientes cambios en los factores de escala en las fórmulas, como los factores de escala de en § Propiedades del delta de Kronecker generalizado a continuación que desaparecen. ^[4] ${\displaystyle p!}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm 1/p!}$ ${\displaystyle 1/p!}$

Definiciones del delta de Kronecker generalizado

En términos de índices, el delta de Kronecker generalizado se define como: ^{[5] [6]} $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}{\phantom {-}}1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an even permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\-1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an odd permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\{\phantom {-}}0&\quad {\text{in all other cases}}.\end{cases}}}$$

Sea el grupo simétrico de grado , entonces: ${\displaystyle \mathrm {S} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}.}$$

Usando antisimetrización : $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{[\nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}]}^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{[\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}]}.}$$

En términos de un determinante : ^[7] ${\displaystyle p\times p}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}.}$$

Usando la expansión de Laplace ( fórmula de Laplace ) del determinante, se puede definir recursivamente : ^[8] donde el caron, indica un índice que se omite en la secuencia. $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=\sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots {\check {\nu }}_{k}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}\dots {\check {\mu }}_{p}}\\&=\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p-1}}-\sum _{k=1}^{p-1}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{k-1}\,\nu _{p}\,\nu _{k+1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}\,\mu _{k}\,\mu _{k+1}\dots \mu _{p-1}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\check {}}}$

Cuando (la dimensión del espacio vectorial), en términos del símbolo de Levi-Civita : Más generalmente, para , usando la convención de suma de Einstein : ${\displaystyle p=n}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\,.}$$ ${\displaystyle m=n-p}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\tfrac {1}{m!}}\varepsilon ^{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\mu _{1}\dots \mu _{p}}\varepsilon _{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\nu _{1}\dots \nu _{p}}\,.}$$

Contracciones del delta de Kronecker generalizado

Las contracciones del delta de Kronecker dependen de la dimensión del espacio. Por ejemplo, donde d es la dimensión del espacio. De esta relación se obtiene el delta contraída completo como La generalización de las fórmulas anteriores es ^{[ cita necesaria ]} $${\displaystyle \delta _{\mu _{1}}^{\nu _{1}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=(d-1)\delta _{\nu _{2}}^{\mu _{2}},}$$ $${\displaystyle \delta _{\mu _{1}\mu _{2}}^{\nu _{1}\nu _{2}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=2d(d-1).}$$ $${\displaystyle \delta _{\mu _{1}\dots \mu _{n}}^{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=n!{\frac {(d-p+n)!}{(d-p)!}}\delta _{\nu _{n+1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{n+1}\dots \mu _{p}}.}$$

Propiedades del delta de Kronecker generalizado

El delta de Kronecker generalizado se puede utilizar para la antisimetrización : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}.\end{aligned}}}$$

De las ecuaciones anteriores y las propiedades de los tensores antisimétricos , podemos derivar las propiedades del delta de Kronecker generalizado: que son la versión generalizada de las fórmulas escritas en § Propiedades . La última fórmula equivale a la fórmula de Cauchy-Binet . $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}}$$

La reducción del orden mediante la suma de los índices puede expresarse mediante la identidad ^[9] $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}={\frac {(n-s)!}{(n-p)!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}.}$$

Utilizando tanto la regla de suma para el caso como la relación con el símbolo de Levi-Civita, se deriva la regla de suma del símbolo de Levi-Civita : La versión 4D de la última relación aparece en el enfoque de espinor de Penrose sobre la relatividad general ^[10] que él Posteriormente se generalizó, mientras desarrollaba los diagramas de Aitken, ^[11] para pasar a formar parte de la técnica de notación gráfica de Penrose . ^[12] Además, esta relación se utiliza ampliamente en las teorías de la dualidad S , especialmente cuando se escribe en el lenguaje de formas diferenciales y duales de Hodge . ${\displaystyle p=n}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\frac {1}{(n-p)!}}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}.}$$

Representaciones integrales

Para cualquier número entero , usando un cálculo de residuo estándar podemos escribir una representación integral para el delta de Kronecker como la integral a continuación, donde el contorno de la integral va en sentido antihorario alrededor de cero. Esta representación también equivale a una integral definida por una rotación en el plano complejo. ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}z^{x-n-1}\,dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }\,d\varphi }$$

El peine de Kronecker

La función peine de Kronecker con punto se define (usando notación DSP ) como: donde y son números enteros. Por tanto, el peine de Kronecker consta de una serie infinita de impulsos unitarios separados por N unidades, e incluye el impulso unitario en cero. Puede considerarse el análogo discreto del peine de Dirac . ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \Delta _{N}[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kN],}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$

Integral de Kronecker

El delta de Kronecker también se denomina grado de mapeo de una superficie en otra. ^[13] Supongamos que se realiza un mapeo desde la superficie S _uvw a S _xyz que son límites de regiones, R _uvw y R _xyz , que simplemente está conectado con una correspondencia uno a uno. En este marco, si s y t son parámetros para S _uvw , y S _uvw a S _uvw están orientados por la normal exterior n : mientras que la normal tiene la dirección de $${\displaystyle u=u(s,t),\quad v=v(s,t),\quad w=w(s,t),}$$ $${\displaystyle (u_{s}\mathbf {i} +v_{s}\mathbf {j} +w_{s}\mathbf {k} )\times (u_{t}\mathbf {i} +v_{t}\mathbf {j} +w_{t}\mathbf {k} ).}$$

Dejemos que x = x ( u , v , w ) , y = y ( u , v , w ) , z = z ( u , v , w ) se defina y suavice en un dominio que contenga a S _uvw , y dejemos que estas ecuaciones definan la mapeo de S _uvw en S _xyz . Entonces el grado δ de mapeo es ⁠1/4π⁠ veces el ángulo sólido de la imagen S de S _uvw con respecto al punto interior de S _xyz , O . Si O es el origen de la región, R _xyz , entonces el grado, δ viene dado por la integral: $${\displaystyle \delta ={\frac {1}{4\pi }}\iint _{R_{st}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}{\begin{vmatrix}x&y&z\\{\frac {\partial x}{\partial s}}&{\frac {\partial y}{\partial s}}&{\frac {\partial z}{\partial s}}\\{\frac {\partial x}{\partial t}}&{\frac {\partial y}{\partial t}}&{\frac {\partial z}{\partial t}}\end{vmatrix}}\,ds\,dt.}$$

Ver también

• medida de dirac
• Función indicadora
• Símbolo de Levi-Civita
• Métrica de Minkowski
• 't símbolo del casco
• Función unitaria
• puerta XNOR

Referencias

1. Trowbridge, JH (1998). "Sobre una técnica para medir la tensión cortante turbulenta en presencia de ondas superficiales". Revista de Tecnología Atmosférica y Oceánica . 15 (1): 291. Código bibliográfico : 1998JAtOT..15..290T. doi : 10.1175/1520-0426(1998)015<0290:OATFMO>2.0.CO;2 .
2. Dirac, Paul (1930). Los principios de la mecánica cuántica (1ª ed.) . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 9780198520115.
3. Spiegel, Eugenio; O'Donnell, Christopher J. (1997), Álgebras de incidencia , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 206, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0036-8.
4. Papa, Cristóbal (2008). «Geometría y Teoría de Grupos» (PDF) .
5. Frankel, Theodore (2012). La geometría de la física: una introducción (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781107602601.
6. Agarwal, CC (2007). Cálculo tensorial y geometría de Riemann (22ª ed.). Medios de Krishna Prakashan.^{[ Falta el ISBN ]}
7. Lovelock, David; Rund, Hanno (1989). Tensores, formas diferenciales y principios variacionales . Publicaciones de Courier Dover. ISBN 0-486-65840-6.
8. Una definición recursiva requiere un primer caso, que puede tomarse como δ = 1 para p = 0 , o alternativamente δ^μ
   _ν= δ^μ
   _νpara p = 1 (delta generalizada en términos de delta estándar).
9. Hassani, Sadri (2008). Métodos matemáticos: para estudiantes de física y campos afines (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09503-5.
10. Penrose, Roger (junio de 1960). "Un enfoque de espinor de la relatividad general". Anales de Física . 10 (2): 171–201. Código bibliográfico : 1960AnPhy..10..171P. doi :10.1016/0003-4916(60)90021-X.
11. Aitken, Alexander Craig (1958). Determinantes y Matrices . Reino Unido: Oliver y Boyd.
12. Roger Penrose , "Aplicaciones de tensores dimensionales negativos", en Combinatorial Mathematics and its Applications , Academic Press (1971).
13. Kaplan, Wilfred (2003). Cálculo avanzado. Educación Pearson. pag. 364.ISBN​ 0-201-79937-5.