Cálculo multivariable

Cálculo de funciones de varias variables

El cálculo multivariable (también conocido como cálculo multivariado ) es la extensión del cálculo en una variable al cálculo con funciones de varias variables : la diferenciación e integración de funciones que involucran múltiples variables ( multivariado ), en lugar de solo una. ^[1]

El cálculo multivariable puede considerarse como una parte elemental del cálculo en el espacio euclidiano . El caso especial del cálculo en el espacio tridimensional se suele denominar cálculo vectorial .

Introducción

En el cálculo univariable, las operaciones como la diferenciación y la integración se realizan con funciones de una sola variable. En el cálculo multivariable, es necesario generalizarlas a múltiples variables, por lo que el dominio es multidimensional. Por lo tanto, es necesario tener cuidado con estas generalizaciones, debido a dos diferencias clave entre los espacios unidimensionales y los de dimensiones superiores:

1. Hay infinitas maneras de aproximarse a un único punto en dimensiones superiores, a diferencia de dos (desde la dirección positiva y negativa) en 1D;
2. Hay varios objetos extendidos asociados con la dimensión; por ejemplo, para una función 1D, debe representarse como una curva en el plano cartesiano 2D , pero una función con dos variables es una superficie en 3D, mientras que las curvas también pueden vivir en el espacio 3D.

La consecuencia de la primera diferencia es la diferencia en la definición del límite y la diferenciación. Los límites direccionales y las derivadas definen el límite y la diferencial a lo largo de una curva parametrizada unidimensional, lo que reduce el problema al caso unidimensional. Se pueden construir otros objetos de dimensiones superiores a partir de estos operadores.

La consecuencia de la segunda diferencia es la existencia de múltiples tipos de integración, entre los que se incluyen las integrales de línea , las integrales de superficie y las integrales de volumen . Debido a la falta de unicidad de estas integrales, no se puede definir adecuadamente una antiderivada o una integral indefinida .

Límites

Un estudio de límites y continuidad en el cálculo multivariable produce muchos resultados contra-intuitivos que no se demuestran con funciones de una sola variable.

Un límite a lo largo de una trayectoria puede definirse considerando una trayectoria parametrizada en un espacio euclidiano de n dimensiones. Cualquier función puede entonces proyectarse sobre la trayectoria como una función unidimensional . El límite de hasta el punto a lo largo de la trayectoria puede definirse, por tanto, como ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f({\overrightarrow {x}}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f(s(t))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(t_{0})}$ ${\displaystyle s(t)}$

Nótese que el valor de este límite puede depender de la forma de , es decir, del camino elegido, no solo del punto al que se aproxima el límite. ^{[1] : 19–22} Por ejemplo, considere la función ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.}$

Si se llega al punto a través de la recta , o en forma paramétrica: ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle y=kx}$

Gráfica de la función f ( x , y ) = ( x ²y)/( x ⁴ + y ² )

Entonces el límite a lo largo del camino será:

Por otro lado, si se elige la ruta (o paramétricamente, ), entonces el límite se convierte en: ${\displaystyle y=\pm x^{2}}$ ${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=\pm t^{2}}$

Dado que tomar diferentes caminos hacia el mismo punto produce valores diferentes, no se puede definir un límite general en el punto para la función. ${\displaystyle (0,0)}$

Se puede definir un límite general si los límites hasta un punto a lo largo de todos los caminos posibles convergen al mismo valor, es decir, decimos para una función que el límite hasta algún punto es L, si y solo si ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

para todas las funciones continuas tales que . ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$

Continuidad

A partir del concepto de límite a lo largo de una trayectoria, podemos derivar la definición de continuidad multivariada de la misma manera, es decir: decimos para una función que es continua en el punto , si y solo si ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

para todas las funciones continuas tales que . ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$

Al igual que ocurre con los límites, ser continuo a lo largo de un camino no implica continuidad multivariada. ${\displaystyle s(t)}$

La continuidad en cada argumento no siendo suficiente para la continuidad multivariada también se puede ver en el siguiente ejemplo. ^{[1] : 17–19} Por ejemplo, para una función de valor real con dos parámetros de valor real, , la continuidad de en para fijo y la continuidad de en para fijo no implica continuidad de . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

Considerar

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}}$

Es fácil verificar que esta función es cero por definición en el borde y fuera del cuadrángulo . Además, las funciones definidas para constantes y y por ${\displaystyle (0,1)\times (0,1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$

${\displaystyle g_{a}(x)=f(x,a)\quad }$y ${\displaystyle \quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad }$

son continuas. En concreto,

${\displaystyle g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0}$para todos los x e y . Por lo tanto, y además, a lo largo de los ejes de coordenadas, y . Por lo tanto, la función es continua a lo largo de ambos argumentos individuales. ${\displaystyle f(0,0)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,0)=0}$ ${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0,y)=0}$

Sin embargo, considere la ruta paramétrica . La función paramétrica se convierte en ${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=t}$

Por lo tanto,

Queda claro por tanto que la función no es multivariada continua, a pesar de ser continua en ambas coordenadas.

Teoremas sobre límites multivariados y continuidad

• Todas las propiedades de linealidad y superposición del cálculo de una sola variable se trasladan al cálculo multivariado.
• Composición : Si y son ambas funciones continuas multivariadas en los puntos y respectivamente, entonces es también una función continua multivariada en el punto . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle x_{0}}$
• Multiplicación : Si y son ambas funciones continuas en el punto , entonces es continua en , y también es continua en siempre que . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle fg:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f/g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle g(x_{0})\neq 0}$
• Si es una función continua en el punto , entonces también es continua en el mismo punto. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle |f|}$
• Si Lipschitz es continuo (con los espacios normados apropiados según sea necesario) en la vecindad del punto , entonces es multivariado continuo en . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Diferenciación

Derivada direccional

La derivada de una función de una sola variable se define como

Utilizando la extensión de límites discutida anteriormente, uno puede entonces extender la definición de la derivada a una función de valor escalar a lo largo de algún camino : ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$

A diferencia de los límites, cuyo valor depende de la forma exacta de la trayectoria , se puede demostrar que la derivada a lo largo de la trayectoria depende sólo del vector tangente de la trayectoria en , es decir , siempre que sea Lipschitz continua en , y que el límite exista para al menos una de dichas trayectorias. ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s(t_{0})}$ ${\displaystyle s'(t_{0})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(t_{0})}$

Por lo tanto, es posible generar la definición de la derivada direccional de la siguiente manera: La derivada direccional de una función escalar a lo largo del vector unitario en algún punto es ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u}}}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

o, cuando se expresa en términos de diferenciación ordinaria,

que es una expresión bien definida porque es una función escalar con una variable en . ${\displaystyle f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}$ ${\displaystyle t}$

No es posible definir una derivada escalar única sin una dirección; está claro, por ejemplo, que . También es posible que existan derivadas direccionales para algunas direcciones pero no para otras. ${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=-\nabla _{-{\hat {\mathbf {u}}}}f(x_{0})}$

Derivada parcial

La derivada parcial generaliza el concepto de derivada a dimensiones superiores. Una derivada parcial de una función multivariable es una derivada con respecto a una variable manteniendo todas las demás variables constantes. ^{[1] : 26ff}

Una derivada parcial puede considerarse como la derivada direccional de la función a lo largo de un eje de coordenadas.

Las derivadas parciales pueden combinarse de maneras interesantes para crear expresiones más complicadas de la derivada. En el cálculo vectorial , el operador del ( ) se utiliza para definir los conceptos de gradiente , divergencia y rotacional en términos de derivadas parciales. Una matriz de derivadas parciales, la matriz jacobiana , puede utilizarse para representar la derivada de una función entre dos espacios de dimensión arbitraria. La derivada puede entenderse así como una transformación lineal que varía directamente de un punto a otro en el dominio de la función. ${\displaystyle \nabla }$

Las ecuaciones diferenciales que contienen derivadas parciales se denominan ecuaciones diferenciales parciales o EDP. Estas ecuaciones son generalmente más difíciles de resolver que las ecuaciones diferenciales ordinarias , que contienen derivadas con respecto a una sola variable. ^{[1] : 654ff}

Integración múltiple

La integral múltiple extiende el concepto de integral a funciones de cualquier número de variables. Las integrales dobles y triples pueden utilizarse para calcular áreas y volúmenes de regiones en el plano y en el espacio. El teorema de Fubini garantiza que una integral múltiple puede evaluarse como una integral repetida o iterada siempre que el integrando sea continuo en todo el dominio de integración. ^{[1] : 367ff}

La integral de superficie y la integral de línea se utilizan para integrar sobre variedades curvas , como superficies y curvas .

Teorema fundamental del cálculo en múltiples dimensiones

En el cálculo de una variable, el teorema fundamental del cálculo establece un vínculo entre la derivada y la integral. El vínculo entre la derivada y la integral en el cálculo multivariable está representado por los teoremas integrales del cálculo vectorial: ^{[1] : 543ff}

• Teorema del gradiente
• Teorema de Stokes
• Teorema de divergencia
• Teorema de Green .

En un estudio más avanzado del cálculo multivariable, se ve que estos cuatro teoremas son encarnaciones específicas de un teorema más general, el teorema de Stokes generalizado , que se aplica a la integración de formas diferenciales sobre variedades . ^[2]

Aplicaciones y usos

Las técnicas de cálculo multivariable se utilizan para estudiar muchos objetos de interés en el mundo material. En particular,

El cálculo multivariable se puede aplicar para analizar sistemas deterministas que tienen múltiples grados de libertad . Para modelar estos sistemas se suelen utilizar funciones con variables independientes correspondientes a cada uno de los grados de libertad, y el cálculo multivariable proporciona herramientas para caracterizar la dinámica del sistema .

El cálculo multivariable se utiliza en el control óptimo de sistemas dinámicos de tiempo continuo . Se utiliza en el análisis de regresión para derivar fórmulas para estimar relaciones entre varios conjuntos de datos empíricos .

El cálculo multivariable se utiliza en muchos campos de las ciencias naturales y sociales y de la ingeniería para modelar y estudiar sistemas de alta dimensión que presentan un comportamiento determinista. En economía , por ejemplo, la elección del consumidor sobre una variedad de bienes y la elección del productor sobre varios insumos a utilizar y productos a producir se modelan con el cálculo multivariable.

Los sistemas no deterministas o estocásticos se pueden estudiar utilizando un tipo diferente de matemática, como el cálculo estocástico .

Véase también

• Lista de temas de cálculo multivariable
• Estadísticas multivariadas

Referencias

1. Richard Courant; Fritz John (14 de diciembre de 1999). Introducción al cálculo y análisis, volumen II/2 . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66570-0.
2. Spivak, Michael (1965). Cálculo de variedades. Nueva York: WA Benjamin, Inc. ISBN 9780805390216.

Enlaces externos

• Videoconferencias de la Universidad de California en Berkeley sobre cálculo multivariable, otoño de 2009, profesor Edward Frenkel
• Videoconferencias del MIT sobre cálculo multivariable, otoño de 2007
• Cálculo multivariable: un libro de texto gratuito en línea de George Cain y James Herod
• Cálculo multivariable en línea: un libro de texto gratuito en línea de Jeff Knisley
• Cálculo multivariable: una revisión muy rápida, Prof. Blair Perot, Universidad de Massachusetts Amherst
• Cálculo multivariable, texto en línea del Dr. Jerry Shurman