El matematicismo es "el esfuerzo por emplear la estructura formal y el método riguroso de las matemáticas como modelo para la conducta de la filosofía", [1] o la visión epistemológica de que la realidad es fundamentalmente matemática. [2] El término se ha aplicado a varios filósofos, incluidos Pitágoras [3] y René Descartes [4], aunque ellos no lo utilizaron.
El papel de las matemáticas en la filosofía occidental ha crecido y se ha ampliado desde Pitágoras en adelante. Es evidente que los números tuvieron una importancia particular para la escuela pitagórica , aunque fue la obra posterior de Platón la que atrajo la etiqueta de matematicismo por parte de los filósofos modernos. Además, es René Descartes quien proporciona la primera epistemología matemática que él describe como una mathesis universalis , y a la que también se hace referencia como matematicismo.
Aunque no tenemos escritos del propio Pitágoras, Platón nos da buena evidencia de que fue pionero en el concepto de matematicismo, y lo resume la cita que a menudo se le atribuye de que "todo es matemática". Aristóteles dice de la escuela pitagórica:
Los primeros que se dedicaron a las matemáticas y las hicieron progresar fueron los llamados pitagóricos. Ellos, dedicados a este estudio, creían que los principios de las matemáticas eran también los principios de todas las cosas que existen. Ahora bien, como los principios de las matemáticas son los números, y creían encontrar en los números, más que en el fuego, la tierra y el agua, semejanzas con las cosas que son y que devienen (juzgaban, por ejemplo, que la justicia era una propiedad particular de los números, el alma y el espíritu otra, la oportunidad otra, y de modo similar, por así decirlo, cualquier otra cosa), y como además veían expresadas por los números las propiedades y las proporciones de la armonía, como finalmente todo en la naturaleza les parecía similar a los números, y los números parecían ser los primeros entre todo lo que hay en la naturaleza, pensaron que los elementos de los números eran los elementos de todo lo que existe, y que el mundo entero era armonía y número. Y todas las propiedades que podían encontrar en los números y en los acordes musicales, correspondientes a propiedades y partes del cielo, y en general a todo el orden cósmico, las recogieron y adaptaron a él. Y si algo faltaba, se esforzaban en introducirlo, para que su tractación fuese completa. Para aclarar con un ejemplo: como diez parece ser un número perfecto y contener en sí toda la naturaleza de los números, decían que los cuerpos que se mueven en el cielo son también diez; y como sólo se ve nueve, añadían como décimo la anti-Tierra.
— Metafísica A 5. 985 b 23
Otra prueba de las opiniones de Pitágoras y su escuela, aunque fragmentaria y a veces contradictoria, proviene de Alexander Polyhistor. Alexander nos dice que las doctrinas centrales de los pitagóricos eran la armonía de los números y el ideal de que el mundo matemático tiene primacía sobre el mundo físico o puede explicar la existencia de éste. [5]
Según Aristóteles, los pitagóricos utilizaban las matemáticas por razones exclusivamente místicas, carentes de aplicación práctica. [6] Creían que todas las cosas estaban hechas de números. [7] [8] El número uno (la mónada ) representaba el origen de todas las cosas [9] y otros números tenían representaciones simbólicas similares. Sin embargo, los estudiosos modernos debaten si esta numerología fue enseñada por el propio Pitágoras o si fue original del filósofo posterior de la escuela pitagórica, Filolao de Crotona . [10]
Walter Burkert sostiene en su estudio Lore and Science in Ancient Pythagoreanism que las únicas matemáticas en las que realmente se involucraron los pitagóricos fueron aritméticas simples y sin pruebas , [11] pero que estos descubrimientos aritméticos contribuyeron significativamente a los inicios de las matemáticas. [12]
La escuela pitagórica influyó en la obra de Platón. El platonismo matemático es la visión metafísica que sostiene que (a) existen objetos matemáticos abstractos cuya existencia es independiente de nosotros y (b) existen enunciados matemáticos verdaderos que proporcionan descripciones verdaderas de dichos objetos. La independencia de los objetos matemáticos es tal que no son físicos y no existen en el espacio ni en el tiempo. Su existencia tampoco depende del pensamiento ni del lenguaje. Por esta razón, las pruebas matemáticas se descubren, no se inventan. La prueba existía antes de su descubrimiento y simplemente llegó a ser conocida por quien la descubrió. [13]
En resumen, pues, el platonismo matemático puede reducirse a tres proposiciones:
No está claro hasta qué punto Platón sostuvo estas opiniones, pero estaban asociadas con la escuela platónica. No obstante, esto supuso un avance significativo en las ideas del matematicismo. [13]
Markus Gabriel hace referencia a Platón en su obra Campos de sentido: una nueva ontología realista y, al hacerlo, ofrece una definición del matematicismo. Dice:
En definitiva, la ontología de la teoría de conjuntos es un remanente del matematicismo platónico. De aquí en adelante, el matematicismo será la concepción de que todo lo que existe puede estudiarse matemáticamente, ya sea directa o indirectamente. Es un ejemplo de reducción teórica, es decir, una afirmación de que todo vocabulario puede traducirse al de las matemáticas, de modo que esta reducción fundamenta todo el vocabulario derivado y nos ayuda a comprenderlo significativamente mejor. [14]
Sin embargo, continúa demostrando que el término no necesita aplicarse solamente a la ontología teórico-conjunta con la que él discute, sino también a otras ontologías matemáticas.
La ontología de la teoría de conjuntos es sólo un ejemplo de matematicismo. Según el candidato preferido para la teoría más fundamental de la estructura cuantificable, se puede llegar a un matematicismo de teoría de grafos, de teoría de conjuntos, de teoría de categorías o alguna otra forma (quizás híbrida) de matematicismo. Sin embargo, el matematicismo es metafísica, y la metafísica no tiene por qué estar asociada a la ontología. [14]
Aunque desde Pitágoras se han utilizado métodos matemáticos de investigación para establecer el significado y analizar el mundo, fue Descartes quien fue pionero en el tema de la epistemología , al establecer las Reglas para la Dirección de la Mente . Propuso que el método, en lugar de la intuición, debería dirigir la mente, diciendo:
Tan ciega es la curiosidad que poseen los mortales, que a menudo dirigen sus mentes por caminos no transitados, con la esperanza infundada de encontrar lo que buscan, como alguien que está consumido por un deseo tan insensato de descubrir tesoros que vaga continuamente por las calles para ver si puede encontrar alguno que un transeúnte haya podido dejar caer [...] Por "un método" me refiero a reglas confiables que son fáciles de aplicar, y tales que si uno las sigue exactamente, nunca tomará lo que es falso por verdadero ni gastará infructuosamente sus esfuerzos mentales, sino que gradualmente y constantemente aumentará su conocimiento hasta llegar a una verdadera comprensión de todo lo que esté dentro de su capacidad.
En la discusión de la Regla Cuatro , [16] Descartes describe lo que él llama mathesis universalis :
- Regla cuatro
- Necesitamos un método si queremos investigar la verdad de las cosas.
[...] Comencé mi investigación indagando qué se entiende exactamente por el término "matemáticas" y por qué, además de la aritmética y la geometría, se denominan ramas de las matemáticas a ciencias como la astronomía, la música, la óptica, la mecánica, entre otras. [...] Esto me hizo comprender que debe haber una ciencia general que explique todos los puntos que se puedan plantear sobre el orden y la medida, independientemente del tema de que se trate, y que esta ciencia debería denominarse mathesis universalis , un término venerable con un significado bien establecido, ya que abarca todo lo que da derecho a que estas otras ciencias se llamen ramas de las matemáticas. [...]
El concepto de mathesis universalis era, para Descartes, una ciencia universal modelada sobre las matemáticas. Es a esta mathesis universalis a la que se hace referencia cuando los escritores hablan del matematicismo de Descartes. [4] Siguiendo a Descartes, Leibniz intentó derivar conexiones entre la lógica matemática , el álgebra , el cálculo infinitesimal , la combinatoria y las características universales en un tratado incompleto titulado " Mathesis Universalis ", publicado en 1695. [ cita requerida ] Siguiendo a Leibniz, Benedict de Spinoza y luego varios filósofos del siglo XX, incluidos Bertrand Russell , Ludwig Wittgenstein y Rudolf Carnap, intentaron elaborar y desarrollar el trabajo de Leibniz sobre la lógica matemática, los sistemas sintácticos y sus cálculos y resolver problemas en el campo de la metafísica.
Leibniz intentó resolver las posibles conexiones entre la lógica matemática , el álgebra , el cálculo infinitesimal , la combinatoria y las características universales en un tratado incompleto titulado " Mathesis Universalis " en 1695.
En su relato de mathesis universalis , Leibniz propuso un método dual de síntesis y análisis universal para determinar la verdad , descrito en De Synthesi et Analysi universale seu Arte inveniendi et judicandi (1890). [18] [19]
Uno de los críticos quizás más destacados de la idea de la mathesis universalis fue Ludwig Wittgenstein y su filosofía de las matemáticas . [20] Como señala la antropóloga Emily Martin: [21]
Al abordar las matemáticas, el ámbito de la vida simbólica quizás el más difícil de considerar como contingente a las normas sociales, Wittgenstein comentó que la gente encontraba "insoportable" la idea de que los números dependieran de entendimientos sociales convencionales.
Los Principia Mathematica son una obra de tres volúmenes sobre los fundamentos de las matemáticas escrita por los matemáticos Alfred North Whitehead y Bertrand Russell y publicada en 1910, 1912 y 1913. Según su introducción, esta obra tenía tres objetivos:
No hay duda de que Principia Mathematica es de gran importancia en la historia de las matemáticas y la filosofía: como ha señalado Irvine , despertó el interés por la lógica simbólica e hizo avanzar el tema al popularizarlo; mostró los poderes y capacidades de la lógica simbólica; y mostró cómo los avances en la filosofía de las matemáticas y la lógica simbólica podían ir de la mano con una tremenda fecundidad. [23] De hecho, la obra fue en parte provocada por un interés en el logicismo , la visión según la cual todas las verdades matemáticas son verdades lógicas. Fue en parte gracias a los avances realizados en Principia Mathematica que, a pesar de sus defectos, se hicieron numerosos avances en metalógica, incluidos los teoremas de incompletitud de Gödel .
En Las palabras y las cosas , Michel Foucault analiza la mathesis como punto de conjunción en la ordenación de las naturalezas simples y el álgebra, en paralelo con su concepto de taxinomia . Aunque omite referencias explícitas a la universalidad, Foucault utiliza el término para organizar e interpretar toda la ciencia humana, como es evidente en el título completo de su libro: " Las palabras y las cosas: una arqueología de las ciencias humanas ". [24]
La hipótesis del universo matemático de Tim Maudlin intenta construir "una estructura matemática rigurosa utilizando términos primitivos que encajan naturalmente con la física" [ cita requerida ] e investigando por qué las matemáticas deberían proporcionar un lenguaje tan poderoso para describir el mundo físico. [25] Según Maudlin, "la respuesta más satisfactoria posible a tal pregunta es: porque el mundo físico literalmente tiene una estructura matemática".
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