Lema de Zorn

El lema de Zorn , también conocido como lema de Kuratowski-Zorn , es una proposición de la teoría de conjuntos que afirma que un conjunto parcialmente ordenado que contiene límites superiores para cada cadena (es decir, cada subconjunto totalmente ordenado ) contiene necesariamente al menos un elemento maximalista .

El lema fue demostrado (asumiendo el axioma de elección ) por Kazimierz Kuratowski en 1922 e independientemente por Max Zorn en 1935. ^[2] Aparece en las demostraciones de varios teoremas de importancia crucial, por ejemplo el teorema de Hahn-Banach en análisis funcional , el teorema de que cada espacio vectorial tiene una base , ^[3] el teorema de Tichonoff en topología que establece que cada producto de espacios compactos es compacto, y los teoremas en álgebra abstracta que en un anillo con identidad cada ideal propio está contenido en un ideal maximal y que cada cuerpo tiene un cierre algebraico . ^[4]

El lema de Zorn es equivalente al teorema de buen ordenamiento y también al axioma de elección , en el sentido de que dentro de ZF ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección) cualquiera de los tres es suficiente para probar los otros dos. ^[5] Una formulación anterior del lema de Zorn es el principio de máximo de Hausdorff que establece que cada subconjunto totalmente ordenado de un conjunto parcialmente ordenado dado está contenido en un subconjunto totalmente ordenado máximo de ese conjunto parcialmente ordenado. ^[6]

Motivación

Para demostrar la existencia de un objeto matemático que pueda ser visto como un elemento máximo en algún conjunto parcialmente ordenado de alguna manera, se puede intentar demostrar la existencia de dicho objeto suponiendo que no hay ningún elemento máximo y utilizando la inducción transfinita y los supuestos de la situación para obtener una contradicción. El lema de Zorn ordena las condiciones que una situación debe satisfacer para que un argumento de este tipo funcione y permite a los matemáticos no tener que repetir el argumento de inducción transfinita a mano cada vez, sino simplemente verificar las condiciones del lema de Zorn.

Si está construyendo un objeto matemático en etapas y descubre que (i) no lo ha terminado incluso después de infinitas etapas, y (ii) no parece haber nada que le impida seguir construyendo, entonces el lema de Zorn puede ayudarlo.
— William Timothy Gowers , "Cómo utilizar el lema de Zorn" ^[7]

Enunciado del lema

Nociones preliminares:

Un conjunto P equipado con una relación binaria ≤ que es reflexiva ( x ≤ x para cada x ), antisimétrica (si se cumplen tanto x ≤ y como y ≤ x , entonces x = y ) y transitiva (si x ≤ y e y ≤ z entonces x ≤ z ) se dice que está (parcialmente) ordenado por ≤ . Dados dos elementos x e y de P con x ≤ y , se dice que y es mayor o igual que x . La palabra "parcial" pretende indicar que no se requiere que cada par de elementos de un conjunto parcialmente ordenado sea comparable bajo la relación de orden, es decir, en un conjunto parcialmente ordenado P con relación de orden ≤ puede haber elementos x e y sin x ≤ y ni y ≤ x . Un conjunto ordenado en el que cada par de elementos es comparable se llama totalmente ordenado .
Cada subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P puede considerarse a su vez parcialmente ordenado al restringir la relación de orden heredada de P a S. Un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P se denomina cadena (en P ) si está totalmente ordenado en el orden heredado.
Un elemento m de un conjunto parcialmente ordenado P con relación de orden ≤ es máximo (con respecto a ≤) si no hay ningún otro elemento de P mayor que m , es decir, si no hay ningún s en P con s ≠ m y m ≤ s . Dependiendo de la relación de orden, un conjunto parcialmente ordenado puede tener cualquier número de elementos máximos. Sin embargo, un conjunto totalmente ordenado puede tener como máximo un elemento máximo.
Dado un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P , un elemento u de P es un límite superior de S si es mayor o igual que cada elemento de S . En este caso, no se requiere que S sea una cadena, y se requiere que u sea comparable con cada elemento de S pero no necesita ser en sí mismo un elemento de S .

El lema de Zorn puede entonces enunciarse como:

Lema de Zorn : Supongamos que un conjunto parcialmente ordenado P tiene la propiedad de que cada cadena en P tiene un límite superior en P. Entonces, el conjunto P contiene al menos un elemento maximalista .

A veces se utilizan variantes de esta formulación, como requerir que el conjunto P y las cadenas no estén vacíos. ^[8]

Lema de Zorn (para conjuntos no vacíos) : supongamos que un conjunto no vacío parcialmente ordenado P tiene la propiedad de que toda cadena no vacía tiene un límite superior en P. Entonces, el conjunto P contiene al menos un elemento maximalista.

Aunque esta formulación parece ser formalmente más débil (ya que coloca en P la condición adicional de no ser vacío, pero obtiene la misma conclusión acerca de P ), de hecho las dos formulaciones son equivalentes: Para verificar esto, supongamos primero que P satisface la condición de que cada cadena en P tiene un límite superior en P . Entonces el subconjunto vacío de P es una cadena, ya que satisface la definición vacuously ; por lo que la hipótesis implica que este subconjunto debe tener un límite superior en P , y este límite superior muestra que P es de hecho no vacío. Por el contrario, si se supone que P no es vacío y satisface la hipótesis de que cada cadena no vacía tiene un límite superior en P , entonces P también satisface la condición de que cada cadena tiene un límite superior, ya que un elemento arbitrario de P sirve como límite superior para la cadena vacía (es decir, el subconjunto vacío visto como una cadena).

La diferencia puede parecer sutil, pero en muchas pruebas que invocan el lema de Zorn se toman uniones de algún tipo para producir un límite superior, y por lo tanto el caso de la cadena vacía puede pasarse por alto; es decir, la verificación de que todas las cadenas tienen límites superiores puede tener que lidiar con cadenas vacías y no vacías por separado. Por lo tanto, muchos autores prefieren verificar la no vacuidad del conjunto P en lugar de lidiar con la cadena vacía en el argumento general. ^[9]

Ejemplos de aplicaciones

Todo espacio vectorial tiene una base

El lema de Zorn se puede utilizar para demostrar que cada espacio vectorial V tiene una base . ^[10]

Si V = { 0 }, entonces el conjunto vacío es una base para V . Ahora, supongamos que V ≠ { 0 }. Sea P el conjunto que consiste en todos los subconjuntos linealmente independientes de V . Como V no es el espacio vectorial cero , existe un elemento distinto de cero v de V , por lo que P contiene el subconjunto linealmente independiente { v }. Además, P está parcialmente ordenado por inclusión de conjuntos (ver orden de inclusión ). Encontrar un subconjunto linealmente independiente máximo de V es lo mismo que encontrar un elemento máximo en P .

Para aplicar el lema de Zorn, tomemos una cadena T en P (es decir, T es un subconjunto de P que está totalmente ordenado). Si T es el conjunto vacío, entonces { v } es un límite superior para T en P . Supongamos entonces que T no está vacío. Necesitamos demostrar que T tiene un límite superior, es decir, existe un subconjunto linealmente independiente B de V que contiene todos los miembros de T .

Supongamos que B es la unión de todos los conjuntos en T . Queremos demostrar que B es una cota superior para T en P . Para ello, basta con demostrar que B es un subconjunto linealmente independiente de V .

Supongamos, por el contrario, que B no es linealmente independiente. Entonces existen vectores v ₁ , v ₂ , ..., v _k ∈ B y escalares a ₁ , a ₂ , ..., a _k , no todos cero, tales que

a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} .

Como B es la unión de todos los conjuntos en T , hay algunos conjuntos S ₁ , S ₂ , ..., S _k ∈ T tales que v _i ∈ S _i para cada i = 1, 2, ..., k . Como T está totalmente ordenado, uno de los conjuntos S ₁ , S ₂ , ..., S _k debe contener a los otros, por lo que hay algún conjunto S _i que contiene todos los v ₁ , v ₂ , ..., v _k . Esto nos dice que hay un conjunto linealmente dependiente de vectores en S _i , contradiciendo que S _i es linealmente independiente (porque es un miembro de P ).

Se ha comprobado la hipótesis del lema de Zorn, y por tanto existe un elemento maximal en P , es decir, un subconjunto linealmente independiente maximal B de V .

Finalmente, demostramos que B es de hecho una base de V . Basta con demostrar que B es un conjunto generador de V . Supongamos, por el bien de la contradicción, que B no es generador. Entonces existe algún v ∈ V no cubierto por el espacio generador de B . Esto dice que B ∪ { v } es un subconjunto linealmente independiente de V que es mayor que B , contradiciendo la maximalidad de B . Por lo tanto, B es un conjunto generador de V , y, por lo tanto, una base de V .

Todo anillo no trivial con unidad contiene un ideal máximo

El lema de Zorn se puede utilizar para demostrar que cada anillo no trivial R con unidad contiene un ideal máximo .

Sea P el conjunto formado por todos los ideales propios de R (es decir, todos los ideales de R excepto el propio R ). Como R no es trivial, el conjunto P contiene el ideal trivial {0}. Además, P está parcialmente ordenado por inclusión de conjuntos. Encontrar un ideal maximal en R es lo mismo que encontrar un elemento maximal en P.

Para aplicar el lema de Zorn, tomemos una cadena T en P . Si T está vacía, entonces el ideal trivial {0} es un límite superior para T en P . Supongamos entonces que T no está vacía. Es necesario demostrar que T tiene un límite superior, es decir, existe un ideal I ⊆ R que contiene todos los miembros de T pero aún más pequeño que R (de lo contrario no sería un ideal propio, por lo que no está en P ).

Supongamos que I es la unión de todos los ideales en T. Queremos demostrar que I es un límite superior para T en P. Primero demostraremos que I es un ideal de R. Para que I sea un ideal, debe satisfacer tres condiciones:

I es un subconjunto no vacío de R ,
Para cada x , y ∈ I , la suma x + y está en I ,
Para cada r ∈ R y cada x ∈ I , el producto rx está en I .

#1 - I es un subconjunto no vacío de R .

Como T contiene al menos un elemento, y ese elemento contiene al menos 0, la unión I contiene al menos 0 y no está vacía. Cada elemento de T es un subconjunto de R , por lo que la unión I solo consta de elementos de R .

#2 - Para cada x , y ∈ I , la suma x + y está en I .

Supóngase que x e y son elementos de I . Entonces existen dos ideales J , K ∈ T tales que x es un elemento de J e y es un elemento de K . Como T está totalmente ordenado, sabemos que J ⊆ K o K ⊆ J . Sin pérdida de generalidad , supongamos el primer caso. Tanto x como y son miembros del ideal K , por lo tanto su suma x + y es un miembro de K , lo que demuestra que x + y es un miembro de I .

#3 - Para cada r ∈ R y cada x ∈ I , el producto rx está en I .

Supongamos que x es un elemento de I . Entonces existe un ideal J ∈ T tal que x está en J . Si r ∈ R , entonces rx es un elemento de J y, por lo tanto, un elemento de I . Por lo tanto, I es un ideal en R .

Ahora, demostramos que I es un ideal propio . Un ideal es igual a R si y solo si contiene 1. (Está claro que si es R entonces contiene 1; por otra parte, si contiene 1 y r es un elemento arbitrario de R , entonces r 1 = r es un elemento del ideal, y por lo tanto el ideal es igual a R .) Por lo tanto, si I fuera igual a R , entonces contendría 1, y eso significa que uno de los miembros de T contendría 1 y, por lo tanto, sería igual a R – pero R está explícitamente excluido de P .

Se ha comprobado la hipótesis del lema de Zorn, y por tanto existe un elemento maximal en P , es decir un ideal maximal en R .

Boceto de prueba

A continuación se presenta un esbozo de la prueba del lema de Zorn, suponiendo el axioma de elección . Supongamos que el lema es falso. Entonces existe un conjunto parcialmente ordenado, o poset, P tal que cada subconjunto totalmente ordenado tiene un límite superior, y que para cada elemento en P hay otro elemento más grande que él. Para cada subconjunto totalmente ordenado T podemos definir un elemento más grande b ( T ), porque T tiene un límite superior, y ese límite superior tiene un elemento más grande. Para definir realmente la función b , necesitamos emplear el axioma de elección (explícitamente: sea , es decir, el conjunto de límites superiores para T . El axioma de elección proporciona ). $B(T)=\{b\en P:\para todo t\en T,b\geq t\}$ $b:b(T)\en B(T)$

Utilizando la función b , vamos a definir elementos a ₀ < a ₁ < a ₂ < a ₃ < ... < a _ω < a _ω+1 <…, en P . Esta sucesión incontable es realmente larga : los índices no son sólo los números naturales , sino todos los ordinales . De hecho, la sucesión es demasiado larga para el conjunto P ; hay demasiados ordinales (una clase propia ), más que elementos en cualquier conjunto (en otras palabras, dado cualquier conjunto de ordinales, existe un ordinal mayor), y el conjunto P se agotará en poco tiempo y entonces nos encontraremos con la contradicción deseada.

Los a _i se definen por recursión transfinita : elegimos un ₀ en P arbitrario (esto es posible, ya que P contiene un límite superior para el conjunto vacío y, por lo tanto, no está vacío) y para cualquier otro ordinal w fijamos a _w = b ({ a _v : v < w }). Debido a que los a _v están totalmente ordenados, esta es una definición bien fundada.

La prueba anterior puede formularse sin hacer referencia explícita a los ordinales considerando los segmentos iniciales { a _v : v < w } como subconjuntos de P . Dichos conjuntos pueden caracterizarse fácilmente como cadenas bien ordenadas S ⊆ P donde cada x ∈ S satisface x = b ({ y ∈ S : y < x }). Se llega a la contradicción al notar que siempre podemos encontrar un "próximo" segmento inicial ya sea tomando la unión de todos esos S (que corresponde al caso ordinal límite) o añadiendo b ( S ) al "último" S (que corresponde al caso ordinal sucesor). ^[11]

Esta prueba muestra que en realidad es verdadera una versión ligeramente más fuerte del lema de Zorn:

Lema : Si P es un conjunto parcial en el que cada subconjunto bien ordenado tiene un límite superior, y si x es cualquier elemento de P , entonces P tiene un elemento máximo mayor o igual a x . Es decir, hay un elemento máximo que es comparable a x .

Alternativamente, se puede utilizar la misma prueba para el principio maximalista de Hausdorff . Esta es la prueba que se da, por ejemplo, en la teoría ingenua de conjuntos de Halmos o en el § Demostración que aparece a continuación.

Prueba

La idea básica de la prueba es reducirla a demostrar la siguiente forma débil del lema de Zorn:

Lema — Sea un conjunto que consta de subconjuntos de algún conjunto fijo tal que satisface las siguientes propiedades: ${\estilo de visualización F}$ ${\estilo de visualización F}$

${\estilo de visualización F}$ no está vacío.
La unión de cada subconjunto totalmente ordenado de está en , donde el ordenamiento es con respecto a la inclusión del conjunto. ${\estilo de visualización F}$ ${\estilo de visualización F}$
Para cada conjunto en , cada subconjunto de está en . ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización F}$ ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización F}$

Entonces tiene un elemento máximo con respecto al conjunto de inclusión. ${\estilo de visualización F}$

(Nótese que, estrictamente hablando, (1) es redundante ya que (2) implica que el conjunto vacío está en .) Nótese que lo anterior es una forma débil del lema de Zorn ya que el lema de Zorn dice en particular que cualquier conjunto de subconjuntos que satisfacen los anteriores (1) y (2) tiene un elemento maximal. El punto es que, inversamente, el lema de Zorn se sigue de esta forma débil. ^[12] De hecho, sea el conjunto de todas las cadenas en . Entonces satisface todas las propiedades anteriores (no está vacío ya que el subconjunto vacío es una cadena). Por lo tanto, por la forma débil anterior, encontramos un elemento maximal en ; es decir, una cadena maximal en . Por la hipótesis del lema de Zorn, tiene un límite superior en . Entonces este es un elemento maximal ya que si , entonces es mayor que y por lo tanto . Por lo tanto, . ${\estilo de visualización F}$ ${\estilo de visualización F}$ ${\estilo de visualización P}$ ${\estilo de visualización C}$ ${\estilo de visualización F}$ ${\estilo de visualización P}$ ${\estilo de visualización C}$ ${\estilo de visualización x}$ ${\estilo de visualización P}$ ${\estilo de visualización x}$ $y\geq x$ ${\widetilde {C}}=C\cup \{y\}$ ${\estilo de visualización C}$ ${\widetilde {C}}=C$ $y=x$

La prueba de la forma débil se da en el principio maximalista de Hausdorff#Prueba . De hecho, la existencia de una cadena maximalista es exactamente la afirmación del principio maximalista de Hausdorff.

La misma prueba también muestra la siguiente variante equivalente del lema de Zorn: ^[13]

Lema — Sea un conjunto parcialmente ordenado en el que cada cadena tiene un límite superior mínimo en . Entonces tiene un elemento máximo. ${\estilo de visualización P}$ ${\estilo de visualización P}$ ${\estilo de visualización P}$

De hecho, trivialmente, el lema de Zorn implica el lema anterior. A la inversa, el lema anterior implica la forma débil antes mencionada del lema de Zorn, ya que una unión da un límite superior mínimo.

El lema de Zorn implica el axioma de elección

Una prueba de que el lema de Zorn implica el axioma de elección ilustra una aplicación típica del lema de Zorn. ^[14] (La estructura de la prueba es exactamente la misma que la del teorema de Hahn-Banach ).

Dado un conjunto de conjuntos no vacíos y su unión (que existe por el axioma de unión ), queremos demostrar que existe una función ${\estilo de visualización X}$ $U:=\bigcup X$

f:X\to U

tal que para cada . Para ello, considere el conjunto $f(S)\en S$ $S\en X$

P=\{f:X'\to U\mid X'\subconjunto X,f(S)\en S\}

Está parcialmente ordenado por extensión; es decir, si y solo si es la restricción de . Si es una cadena en , entonces podemos definir la función en la unión estableciendo cuando . Esto está bien definido ya que si , entonces es la restricción de . La función también es un elemento de y es una extensión común de todos los de . Por lo tanto, hemos demostrado que cada cadena en tiene un límite superior en . Por lo tanto, por el lema de Zorn, hay un elemento maximal en que está definido en algún . Queremos demostrar . Supongamos lo contrario; entonces hay un conjunto . Como no está vacío, contiene un elemento . Luego podemos extender a una función estableciendo y . (Obsérvese que este paso no necesita el axioma de elección). La función está en y , una contradicción con la maximalidad de . $f\leq g$ ${\estilo de visualización f}$ ${\estilo de visualización g}$ $f_{i}:X_{i}\to U$ ${\estilo de visualización P}$ ${\estilo de visualización f}$ $X'=\cup _{i}X_{i}$ $f(x)=f_{i}(x)$ $x\en X_{i}$ $i<j$ $estilo de visualización f_{i}}$ $estilo de visualización f_ {j}}$ ${\estilo de visualización f}$ ${\estilo de visualización P}$ $estilo de visualización f_{i}}$ ${\estilo de visualización P}$ ${\estilo de visualización P}$ ${\estilo de visualización f}$ ${\estilo de visualización P}$ $X'\subconjunto X$ $X'=X$ $S\en XX'$ ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización s}$ ${\estilo de visualización f}$ ${\estilo de visualización g}$ $g|_{X'}=f$ $g(S)=s$ ${\estilo de visualización g}$ ${\estilo de visualización P}$ $f<g$ ${\estilo de visualización f}$ $\cuadrado$

En esencia, la misma prueba también muestra que el lema de Zorn implica el teorema de buen ordenamiento : toma como el conjunto de todos los subconjuntos bien ordenados de un conjunto dado y luego muestra que un elemento máximo de es . ^[15] ${\estilo de visualización P}$ ${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización P}$ ${\estilo de visualización X}$

Historia

El principio maximalista de Hausdorff es una afirmación temprana similar al lema de Zorn.

Kazimierz Kuratowski demostró en 1922 ^[16] una versión del lema cercana a su formulación moderna (se aplica a conjuntos ordenados por inclusión y cerrados bajo uniones de cadenas bien ordenadas). Esencialmente la misma formulación (debilitada por el uso de cadenas arbitrarias, no solo bien ordenadas) fue dada independientemente por Max Zorn en 1935 ^[17], quien la propuso como un nuevo axioma de la teoría de conjuntos que reemplazaba al teorema de buen ordenamiento, exhibió algunas de sus aplicaciones en álgebra y prometió mostrar su equivalencia con el axioma de elección en otro artículo, que nunca apareció.

El nombre "lema de Zorn" parece deberse a John Tukey , quien lo utilizó en su libro Convergencia y uniformidad en topología en 1940. La Théorie des Ensembles de Bourbaki de 1939 se refiere a un principio maximalista similar como "le théorème de Zorn". ^[18] El nombre "lema de Kuratowski-Zorn" prevalece en Polonia y Rusia.

Formas equivalentes del lema de Zorn

El lema de Zorn es equivalente (en ZF ) a tres resultados principales:

Un chiste muy conocido que alude a esta equivalencia (que puede desafiar la intuición humana) se atribuye a Jerry Bona : "El axioma de elección es obviamente verdadero, el principio de buen orden obviamente falso, y ¿quién puede decir lo del lema de Zorn?" ^[19]

El lema de Zorn también es equivalente al teorema de completitud fuerte de la lógica de primer orden. ^[20]

Además, el lema de Zorn (o una de sus formas equivalentes) implica algunos resultados importantes en otras áreas matemáticas. Por ejemplo,

Teorema de extensión de Banach que se utiliza para demostrar uno de los resultados más fundamentales del análisis funcional, el teorema de Hahn-Banach
Todo espacio vectorial tiene una base , resultado del álgebra lineal (a la que es equivalente ^[21] ). En particular, los números reales, como espacio vectorial sobre los números racionales, poseen una base de Hamel.
Todo anillo unitario conmutativo tiene un ideal máximo , resultado de la teoría de anillos conocido como teorema de Krull , al que es equivalente el lema de Zorn ^[22]
Teorema de Tichonoff en topología (al que también es equivalente ^[23] )
Todo filtro adecuado está contenido en un ultrafiltro , un resultado que produce el teorema de completitud de la lógica de primer orden ^[24]

En este sentido, el lema de Zorn es una herramienta poderosa, aplicable a muchas áreas de las matemáticas.

Análogos bajo debilitamientos del axioma de elección

Una forma debilitada del lema de Zorn puede demostrarse a partir de ZF + DC (teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección reemplazado por el axioma de elección dependiente ). El lema de Zorn puede expresarse de manera directa observando que el conjunto que no tiene ningún elemento maximalista sería equivalente a afirmar que la relación de ordenación del conjunto sería completa, lo que nos permitiría aplicar el axioma de elección dependiente para construir una cadena numerable. Como resultado, cualquier conjunto parcialmente ordenado con cadenas exclusivamente finitas debe tener un elemento maximalista. ^[25]

De manera más general, fortalecer el axioma de elección dependiente a ordinales superiores nos permite generalizar la afirmación del párrafo anterior a cardinalidades superiores. ^[25] En el límite donde permitimos ordinales arbitrariamente grandes, recuperamos la prueba del lema de Zorn completo usando el axioma de elección en la sección anterior.

En la cultura popular

La película de 1970 Zorns Lemma lleva el nombre de este lema.

El lema fue mencionado en Los Simpsons en el episodio " El nuevo amigo de Bart ". ^[26]

Véase también

Anticadena – Subconjunto de elementos incomparables
Teorema de Bourbaki-Witt
Orden parcial de cadena completa : un conjunto parcialmente ordenado en el que cada cadena tiene un límite superior mínimo
Teorema de extensión de Szpilrajn – Resultado matemático sobre relaciones de orden
Finitud de Tarski – Conjunto matemático que contiene un número finito de elementos
Lema de Teichmüller-Tukey (a veces llamado lema de Tukey)

Notas

^ Serre, Jean-Pierre (2003), Árboles , Springer Monographs in Mathematics, Springer, pág. 23
^ Moore 2013, pág. 168
^ Wilansky, Albert (1964). Análisis funcional . Nueva York: Blaisdell. págs. 16-17.
^ Jech 2008, cap. 2, §2 Algunas aplicaciones del axioma de elección en matemáticas
^ Jech 2008, pág. 9
^ Moore 2013, pág. 168
^ William Timothy Gowers (12 de agosto de 2008). "Cómo utilizar el lema de Zorn".
^ Por ejemplo, Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 211 (3.ª edición revisada). Springer-Verlag. pág. 880. ISBN. 978-0-387-95385-4.Dummit , David S.; Foote, Richard M. (1998). Álgebra abstracta (2.ª ed.). Prentice Hall. pág. 875. ISBN 978-0-13-569302-5., y Bergman, George M (2015). Una invitación al álgebra general y a las construcciones universales. Universitext (2.ª ed.). Springer-Verlag. pág. 162. ISBN 978-3-319-11477-4..
^ Bergman, George M (2015). Una invitación al álgebra general y a las construcciones universales. Universitext (segunda edición). Springer-Verlag. pág. 164. ISBN 978-3-319-11477-4.
^ Smits, Tim. "Una prueba de que todo espacio vectorial tiene una base" (PDF) . Consultado el 14 de agosto de 2022 .
^ Lewin, Jonathan W. (1991). "Una prueba sencilla del lema de Zorn". The American Mathematical Monthly . 98 (4): 353–354. doi :10.1080/00029890.1991.12000768.
^ Halmos, § 16. NB: en la referencia, esta deducción se hace notando que hay una incrustación que preserva el orden.
$s:P\hookrightarrow {\mathfrak {P}}(P)$
y que el "pasaje" permite deducir la existencia de un elemento máximo de o, equivalentemente, de a partir de la forma débil del lema de Zorn. El significado de "pasaje" no estaba claro allí, por lo que aquí dimos un razonamiento alternativo. $s(P)$ ${\estilo de visualización P}$
^ Halmos, § 16. Ejercicio.
^ Halmos 1960, § 16. Ejercicio.
^ Halmos 1960, § 17. Ejercicio.
^ Kuratowski, Casimiro (1922). "Une méthode d'élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques" [Un método para eliminar números transfinitos de razonamiento matemático] (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en francés). 3 : 76-108. doi : 10.4064/fm-3-1-76-108 . Consultado el 24 de abril de 2013 .
^ Zorn, Max (1935). "Una observación sobre el método en álgebra transfinita". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 41 (10): 667–670. doi : 10.1090/S0002-9904-1935-06166-X .
^ Campbell 1978, pág. 82.
^ Krantz, Steven G. (2002), "El axioma de elección", Manual de lógica y técnicas de prueba para informática , Springer, págs. 121-126, doi :10.1007/978-1-4612-0115-1_9, ISBN 978-1-4612-6619-8.
^ JL Bell y AB Slomson (1969). Modelos y ultraproductos . North Holland Publishing Company. Capítulo 5, Teorema 4.3, página 103.
^ Blass, Andreas (1984). "La existencia de bases implica el axioma de elección". Teoría de conjuntos axiomáticos . Matemáticas contemporáneas. Vol. 31. págs. 31–33. doi :10.1090/conm/031/763890. ISBN 9780821850268.
^ Hodges, W. (1979). "Krull implica a Zorn". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . s2-19 (2): 285–287. doi :10.1112/jlms/s2-19.2.285.
^ Kelley, John L. (1950). "El teorema del producto de Tychonoff implica el axioma de elección". Fundamenta Mathematicae . 37 : 75–76. doi : 10.4064/fm-37-1-75-76 .
^ JL Bell y AB Slomson (1969). Modelos y ultraproductos . North Holland Publishing Company.
^ ab Wolk, Elliot S. (1983), "Sobre el principio de elecciones dependientes y algunas formas del lema de Zorn", Canadian Mathematical Bulletin , 26 (3): 365–367, doi : 10.4153/CMB-1983-062-5
^ "El lema de Zorn | Los Simpsons y sus secretos matemáticos".

Referencias

Campbell, Paul J. (febrero de 1978). "El origen del 'lema de Zorn'". Historia Mathematica . 5 (1): 77–89. doi : 10.1016/0315-0860(78)90136-2 .
Paul Halmos , Teoría de conjuntos ingenua . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición de Springer-Verlag).
Ciesielski, Krzysztof (1997). Teoría de conjuntos para el matemático en activo . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59465-3.
Jech, Thomas (2008) [1973]. El axioma de la elección . Mineola, Nueva York: Dover Publications . ISBN. 978-0-486-46624-8.
Moore, Gregory H. (2013) [1982]. El axioma de elección de Zermelo: sus orígenes, desarrollo e influencia . Dover Publications . ISBN 978-0-486-48841-7.

Enlaces externos

"Lema de Zorn", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
El Lema de Zorn en ProvenMath contiene una prueba formal hasta el más mínimo detalle de la equivalencia del axioma de elección y el Lema de Zorn.
El lema de Zorn en Metamath es otra demostración formal. (Versión Unicode para navegadores recientes).