Condiciones de Rankine-Hugoniot

Concepto en física

Un diagrama esquemático de una situación de onda de choque con la densidad , velocidad y temperatura indicadas para cada región. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle T}$

Las condiciones de Rankine-Hugoniot , también denominadas condiciones de salto de Rankine-Hugoniot o relaciones de Rankine-Hugoniot , describen la relación entre los estados a ambos lados de una onda de choque o una onda de combustión ( deflagración o detonación ) en un flujo unidimensional en fluidos o una deformación unidimensional en sólidos. Reciben su nombre en reconocimiento al trabajo realizado por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine ^[1] y el ingeniero francés Pierre Henri Hugoniot . ^{[2] [3]}

La idea básica de las condiciones de salto es considerar lo que le sucede a un fluido cuando sufre un cambio rápido. Considere, por ejemplo, impulsar un pistón dentro de un tubo lleno de gas no reactivo. Una perturbación se propaga a través del fluido algo más rápido que la velocidad del sonido . Debido a que la perturbación se propaga supersónicamente , es una onda de choque , y el fluido aguas abajo del choque no tiene información previa de ella. En un marco de referencia que se mueve con la onda, los átomos o moléculas frente a la onda chocan contra la onda supersónicamente. A nivel microscópico, experimentan colisiones en la escala de la longitud media del camino libre hasta que se detienen en el flujo posterior al choque (pero moviéndose en el marco de referencia de la onda o del tubo). La transferencia masiva de energía cinética calienta el flujo posterior al choque. Debido a que se supone que la longitud media del camino libre es insignificante en comparación con todas las demás escalas de longitud en un tratamiento hidrodinámico, el frente de choque es esencialmente una discontinuidad hidrodinámica . Las condiciones de salto establecen entonces la transición entre el flujo anterior y posterior al choque, basándose únicamente en la conservación de la masa, el momento y la energía. Las condiciones son correctas a pesar de que el choque en realidad tiene un espesor positivo. Este ejemplo de onda de choque sin reacción también se puede generalizar a los flujos con reacción, donde un frente de combustión (ya sea una detonación o una deflagración) se puede modelar como una discontinuidad en una primera aproximación.

Ecuaciones gobernantes

En un sistema de coordenadas que se mueve con la discontinuidad, las condiciones de Rankine-Hugoniot se pueden expresar como: ^[4]

donde m es el caudal másico por unidad de área, ρ ₁ y ρ ₂ son la densidad de masa del fluido aguas arriba y aguas abajo de la ola, u ₁ y u ₂ son la velocidad del fluido aguas arriba y aguas abajo de la ola, p ₁ y p ₂ son las presiones en las dos regiones, y h ₁ y h ₂ son las entalpías específicas (con el sentido de por unidad de masa ) en las dos regiones. Si además, el flujo es reactivo, entonces las ecuaciones de conservación de especies exigen que

${\displaystyle \omega _{i,1}=\omega _{i,2}=0,\quad i=1,2,3,\dots ,N,\qquad {\text{Conservation of species}}}$

desaparecer tanto aguas arriba como aguas abajo de la discontinuidad. Aquí, es la tasa de producción en masa de la i -ésima especie del total de N especies involucradas en la reacción. ${\displaystyle \omega }$

Combinando la conservación de la masa y el momento obtenemos

${\displaystyle {\frac {p_{2}-p_{1}}{1/\rho _{2}-1/\rho _{1}}}=-m^{2}}$

que define una línea recta conocida como la línea de Michelson-Rayleigh , llamada así por el físico ruso Vladimir A. Mikhelson (usualmente anglicanizado como Michelson) y Lord Rayleigh , que tiene una pendiente negativa (ya que siempre es positiva) en el plano. ^[5] Usando las ecuaciones de Rankine-Hugoniot para la conservación de la masa y el momento para eliminar u ₁ y u ₂ , la ecuación para la conservación de la energía se puede expresar como la ecuación de Hugoniot: ${\displaystyle m^{2}}$ ${\displaystyle p-\rho ^{-1}}$

${\displaystyle h_{2}-h_{1}={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {1}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{\rho _{1}}}\right)\,(p_{2}-p_{1}).}$

La inversa de la densidad también se puede expresar como el volumen específico , . Junto con estos, hay que especificar la relación entre la ecuación de estado aguas arriba y aguas abajo. ${\displaystyle v=1/\rho }$

${\displaystyle f(p_{1},\rho _{1},T_{1},Y_{i,1})=f(p_{2},\rho _{2},T_{2},Y_{i,2})}$

donde es la fracción de masa de la especie. Finalmente, se supone que se conoce la ecuación de estado calorífica, es decir, ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle h=h(p,\rho ,Y_{i})}$

${\displaystyle h(p_{1},\rho _{1},Y_{i,1})=h(p_{2},\rho _{2},Y_{i,2}).}$

Relaciones Rankine-Hugoniot simplificadas[4]

Curvas de Hugoniot para . La región sombreada es inaccesible ya que la línea de Rayleigh tiene una pendiente positiva ( ) allí. ${\displaystyle \gamma =1.4}$ ${\displaystyle -\mu <0}$

Las siguientes suposiciones se hacen para simplificar las ecuaciones de Rankine-Hugoniot. Se supone que la mezcla obedece la ley de los gases ideales , de modo que la relación entre la ecuación de estado aguas abajo y aguas arriba se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{\rho _{2}T_{2}}}={\frac {p_{1}}{\rho _{1}T_{1}}}={\frac {R}{\overline {W}}}}$

donde es la constante universal de los gases y se supone que el peso molecular medio es constante (de lo contrario, dependería de la fracción de masa de todas las especies). Si se supone que el calor específico a presión constante también es constante a lo largo de la onda, el cambio en entalpías (ecuación de estado calorífica) se puede escribir simplemente como ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\overline {W}}}$ ${\displaystyle {\overline {W}}}$ ${\displaystyle c_{p}}$

${\displaystyle h_{2}-h_{1}=-q+c_{p}(T_{2}-T_{1})}$

donde el primer término de la expresión anterior representa la cantidad de calor liberado por unidad de masa de la mezcla anterior por la ola y el segundo término representa el calentamiento sensible. Eliminando la temperatura mediante la ecuación de estado y sustituyendo la expresión anterior por el cambio de entalpías en la ecuación de Hugoniot, se obtiene una ecuación de Hugoniot expresada solo en términos de presión y densidades,

${\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right)\left({\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}-{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{\rho _{1}}}\right)(p_{2}-p_{1})=q,}$

donde es la razón de calor específico , que para el aire a temperatura ambiente normal (298 KELVIN) = 1,40. Una curva de Hugoniot sin liberación de calor ( ) a menudo se denomina "Hugoniot de choque" o simplemente "Hugoniot". Junto con la ecuación de la línea de Rayleigh, la ecuación anterior determina por completo el estado del sistema. Estas dos ecuaciones se pueden escribir de forma compacta introduciendo las siguientes escalas adimensionales: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle q=0}$

${\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {p_{2}}{p_{1}}},\quad {\tilde {v}}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}},\quad \alpha ={\frac {q\rho _{1}}{p_{1}}},\quad \mu ={\frac {m^{2}}{p_{1}\rho _{1}}}.}$

La ecuación de la línea de Rayleigh y la ecuación de Hugoniot se simplifican a

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\tilde {p}}-1}{{\tilde {v}}-1}}&=-\mu \\{\tilde {p}}&={\frac {[2\alpha +(\gamma +1)/(\gamma -1)]-{\tilde {v}}}{[(\gamma +1)/(\gamma -1)]{\tilde {v}}-1}}.\end{aligned}}}$

Dadas las condiciones aguas arriba, la intersección de las dos ecuaciones anteriores en el plano - determina las condiciones aguas abajo; en el plano - , la condición aguas arriba corresponde al punto . Si no se produce liberación de calor, por ejemplo, ondas de choque sin reacción química, entonces . Las curvas de Hugoniot son asíntotas de las líneas y , que se representan como líneas discontinuas en la figura. Como se menciona en la figura, solo se permite la región blanca limitada por estas dos asíntotas, por lo que es positivo. Las ondas de choque y las detonaciones corresponden a la región blanca superior izquierda donde y , es decir, la presión aumenta y el volumen específico disminuye a lo largo de la onda (la condición de Chapman-Jouguet para la detonación es donde la línea de Rayleigh es tangente a la curva de Hugoniot). Las deflagraciones, por otro lado, corresponden a la región blanca inferior derecha donde y , es decir, la presión disminuye y el volumen específico aumenta a lo largo de la onda; la disminución de presión de una llama es típicamente muy pequeña, lo que rara vez se considera al estudiar las deflagraciones. ${\displaystyle {\tilde {v}}}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}}$ ${\displaystyle ({\tilde {v}},{\tilde {p}})=(1,1)}$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}=(\gamma -1)/(\gamma +1)}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}=-(\gamma -1)/(\gamma +1)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\tilde {p}}>1}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}<1}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}<1}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}>1}$

Para las ondas de choque y las detonaciones, el aumento de presión a lo largo de la onda puede tomar cualquier valor entre ; cuanto más pronunciada sea la pendiente de la línea de Rayleigh, más fuerte es la onda. Por el contrario, aquí la relación de volumen específico está restringida al intervalo finito (el límite superior se deriva para el caso porque la presión no puede tomar valores negativos). Si (gas diatómico sin la excitación del modo vibracional), el intervalo es , en otras palabras, la onda de choque puede aumentar la densidad como máximo en un factor de 6. Para el gas monoatómico, , el intervalo permitido es . Para los gases diatómicos con modo vibracional excitado, tenemos que conduce al intervalo . En realidad, la relación de calor específico no es constante en la onda de choque debido a la disociación molecular y la ionización, pero incluso en estos casos, la relación de densidad en general no excede un factor de aproximadamente ${\displaystyle 0\leq {\tilde {p}}<\infty }$ ${\displaystyle (\gamma -1)/(\gamma +1)\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +(\gamma +1)/(\gamma -1)}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \gamma =1.4}$ ${\displaystyle 1/6\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +6}$ ${\displaystyle \gamma =5/3}$ ${\displaystyle 1/4\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +4}$ ${\displaystyle \gamma =9/7}$ ${\displaystyle 1/8\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +8}$11–13 . ^[6]

Derivación a partir de ecuaciones de Euler

Consideremos un gas en un recipiente unidimensional (por ejemplo, un tubo largo y delgado). Supongamos que el fluido no es viscoso (es decir, no muestra efectos de viscosidad como, por ejemplo, fricción con las paredes del tubo). Además, supongamos que no hay transferencia de calor por conducción o radiación y que se puede despreciar la aceleración gravitacional. Un sistema de este tipo se puede describir mediante el siguiente sistema de leyes de conservación , conocidas como ecuaciones de Euler 1D , que en forma de conservación es:

dónde

• ${\displaystyle \rho ,}$densidad de masa del fluido ,
• ${\displaystyle u,}$velocidad del fluido ,
• ${\displaystyle e,}$energía interna específica del fluido,
• ${\displaystyle p,}$presión del fluido , y
• ${\displaystyle E^{t}=\rho e+\rho {\tfrac {1}{2}}u^{2},}$es la densidad de energía total del fluido, [J/m ³ ], mientras que e es su energía interna específica

Supongamos además que el gas es calóricamente ideal y que, por lo tanto, existe una ecuación de estado politrópica de la forma simple

es válida, donde es la relación constante de calores específicos . Esta cantidad también aparece como el exponente politrópico del proceso politrópico descrito por ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c_{p}/c_{v}}$

Para obtener una lista extensa de ecuaciones de flujo compresible, etc., consulte el Informe NACA 1135 (1953). ^[7]

Nota: Para un gas ideal calóricamente es una constante y para un gas ideal térmicamente es una función de la temperatura. En este último caso, la dependencia de la presión con respecto a la densidad de masa y la energía interna puede diferir de la dada por la ecuación ( 4 ). ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

La condición de salto

Antes de continuar es necesario introducir el concepto de condición de salto : una condición que se mantiene en caso de discontinuidad o cambio abrupto.

Consideremos una situación 1D donde hay un salto en la cantidad física conservada escalar , que está gobernada por la ley de conservación integral. ${\displaystyle w}$

para cualquier , , , y, por lo tanto, por ecuación diferencial parcial ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$

para soluciones suaves. ^[8]

Deje que la solución presente un salto (o choque) en , donde y , entonces ${\displaystyle x=x_{s}(t)}$ ${\displaystyle x_{1}<x_{s}(t)}$ ${\displaystyle x_{s}(t)<x_{2}}$

Los subíndices 1 y 2 indican condiciones justo antes y después del salto respectivamente, es decir, y . es el signo por lo tanto . ${\textstyle w_{1}=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}w\left(x_{s}-\epsilon \right)}$ ${\textstyle w_{2}=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}w\left(x_{s}+\epsilon \right)}$ ${\displaystyle \therefore }$

Nótese que para llegar a la ecuación ( 8 ) hemos utilizado el hecho de que y . ${\displaystyle dx_{1}/dt=0}$ ${\displaystyle dx_{2}/dt=0}$

Ahora, sea y , cuando tenemos y , y en el límite ${\displaystyle x_{1}\to x_{s}(t)-\epsilon }$ ${\displaystyle x_{2}\to x_{s}(t)+\epsilon }$ ${\textstyle \int _{x_{1}}^{x_{s}(t)-\epsilon }w_{t}\,dx\to 0}$ ${\textstyle \int _{x_{s}(t)+\epsilon }^{x_{2}}w_{t}\,dx\to 0}$

donde hemos definido (la característica del sistema o velocidad de choque ), que por simple división viene dada por ${\displaystyle u_{s}=dx_{s}(t)/dt}$

La ecuación ( 9 ) representa la condición de salto para la ley de conservación ( 6 ). Una situación de choque surge en un sistema donde sus características se cruzan, y bajo estas condiciones un requisito para una solución univaluada única es que la solución debe satisfacer la condición de admisibilidad o condición de entropía . Para aplicaciones físicamente reales esto significa que la solución debe satisfacer la condición de entropía de Lax

donde y representan velocidades características en condiciones aguas arriba y aguas abajo respectivamente. ${\displaystyle f'\left(w_{1}\right)}$ ${\displaystyle f'\left(w_{2}\right)}$

Estado de choque

En el caso de la ley de conservación hiperbólica ( 6 ), hemos visto que la velocidad del choque se puede obtener por simple división. Sin embargo, para las ecuaciones de Euler 1D ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ), tenemos la variable de estado vectorial y las condiciones de salto se convierten en ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho &\rho u&E\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$

Las ecuaciones ( 12 ), ( 13 ) y ( 14 ) se conocen como las condiciones de Rankine-Hugoniot para las ecuaciones de Euler y se derivan al aplicar las leyes de conservación en forma integral sobre un volumen de control que incluye el choque. Esta situación no se puede obtener mediante una simple división. Sin embargo, se puede demostrar transformando el problema en un sistema de coordenadas móviles (estableciendo , , para eliminar ) y alguna manipulación algebraica (que implica la eliminación de de la ecuación transformada ( 13 ) utilizando la ecuación transformada ( 12 )), que la velocidad del choque está dada por ${\displaystyle u_{s}}$ ${\displaystyle u_{s}':=u_{s}-u_{1}}$ ${\displaystyle u'_{1}:=0}$ ${\displaystyle u'_{2}:=u_{2}-u_{1}}$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u'_{2}}$

donde es la velocidad del sonido en el fluido en condiciones aguas arriba. ^{[9] [10] [11] [12] [13] [14]} ${\textstyle c_{1}={\sqrt {\gamma p_{1}/\rho _{1}}}}$

Shock Hugoniot y Rayleigh línea en sólidos

Línea de Hugoniot y Rayleigh de choque en el plano p - v . La curva representa un gráfico de la ecuación ( 17 ) con p ₁ , v ₁ , c ₀ y s conocidos. Si p ₁ = 0 , la curva intersectará el eje de volumen específico en el punto v ₁ .

Límite elástico de Hugoniot en el plano p – v para un choque en un material elasto-plástico.

Para choques en sólidos, no se puede derivar una expresión de forma cerrada como la ecuación ( 15 ) a partir de los primeros principios. En cambio, las observaciones experimentales ^[15] indican que se puede utilizar una relación lineal ^{[16] (llamada Hugoniot de choque en el plano} u _s - u _p ) que tiene la forma

donde c ₀ es la velocidad del sonido en el material (en compresión uniaxial), s es un parámetro (la pendiente del Hugoniot de choque) obtenido a partir de ajustes a datos experimentales, y u _p = u ₂ es la velocidad de la partícula dentro de la región comprimida detrás del frente de choque.

La relación anterior, cuando se combina con las ecuaciones de Hugoniot para la conservación de la masa y el momento, se puede utilizar para determinar el Hugoniot del choque en el plano p - v , donde v es el volumen específico (por unidad de masa): ^[19]

También se pueden utilizar ecuaciones de estado alternativas, como la ecuación de estado de Mie-Grüneisen, en lugar de la ecuación anterior.

El choque Hugoniot describe el lugar de todos los estados termodinámicos posibles en los que puede existir un material después de un choque, proyectado sobre un plano bidimensional de estado-estado. Por lo tanto, es un conjunto de estados de equilibrio y no representa específicamente el camino a través del cual un material experimenta una transformación.

Los choques débiles son isentrópicos y la isentropía representa el camino a través del cual el material es cargado desde el estado inicial al final por una onda de compresión con características convergentes. En el caso de choques débiles, el Hugoniot caerá por lo tanto directamente sobre la isentropía y puede usarse directamente como el camino equivalente. En el caso de un choque fuerte ya no podemos hacer esa simplificación directamente. Sin embargo, para los cálculos de ingeniería, se considera que la isentropía está lo suficientemente cerca del Hugoniot como para que se pueda hacer la misma suposición.

Si la Hugoniot es aproximadamente la trayectoria de carga entre estados para una onda de compresión "equivalente", entonces las condiciones de salto para la trayectoria de carga de choque se pueden determinar trazando una línea recta entre los estados inicial y final. Esta línea se llama línea de Rayleigh y tiene la siguiente ecuación:

Límite elástico de Hugoniot

La mayoría de los materiales sólidos sufren deformaciones plásticas cuando se someten a fuertes impactos. El punto del límite elástico de Hugoniot en el que un material pasa de un estado puramente elástico a un estado elastómero-plástico se denomina límite elástico de Hugoniot (HEL) y la presión a la que tiene lugar esta transición se denota p _HEL . Los valores de p _HEL pueden variar de 0,2 GPa a 20 GPa. Por encima del HEL, el material pierde gran parte de su resistencia al corte y comienza a comportarse como un fluido.

Magnetohidrodinámica

Las condiciones de Rankine-Hugoniot en magnetohidrodinámica son interesantes de considerar ya que son muy relevantes para aplicaciones astrofísicas. A lo largo de la discontinuidad, el componente normal del campo magnético y el componente tangencial del campo eléctrico (límite de conductividad infinita) deben ser continuos. Por lo tanto, tenemos ^[20] ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{t}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {u} \times \mathbf {H} /c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0=[\![j]\!],\,\,j\equiv \rho u_{n}&\quad {\text{conservation of mass}},\\0=[\![H_{n}]\!]&\quad {\text{continuity of normal component of }}\mathbf {H} ,\end{aligned}}}$

donde es la diferencia entre los valores de cualquier cantidad física en los dos lados de la discontinuidad. Las condiciones restantes están dadas por ^[20] ${\displaystyle [\![\cdot ]\!]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j^{2}[\![1/\rho ]\!]+[\![p]\!]+[\![\mathbf {H} _{t}^{2}]\!]/8\pi =0&\quad {\text{conservation of normal momentum}},\\j[\![\mathbf {u} _{t}]\!]=H_{n}[\![\mathbf {H} _{t}]\!]/4\pi &\quad {\text{conservation of tangential momentum}},\\j[\![h+j^{2}/2\rho ^{2}+\mathbf {u} _{t}^{2}/2+\mathbf {H} _{t}^{2}/4\pi \rho ]\!]=H_{n}[\![\mathbf {H} _{t}\cdot \mathbf {u} _{t}]\!]/4\pi &\quad {\text{conservation of energy}},\\H_{n}[\![\mathbf {u} _{t}]\!]=j[\![\mathbf {H} _{t}/\rho ]\!]&\quad {\text{continuity of tangential components of }}\mathbf {E} .\end{aligned}}}$

Estas condiciones son generales en el sentido de que incluyen discontinuidades de contacto ( ), discontinuidades tangenciales ( ), discontinuidades rotacionales o de Alfvén ( ) y ondas de choque ( ). ${\displaystyle j=0,\,H_{n}\neq 0,\,[\![\mathbf {u} ]\!]=[\![p]\!]=[\![\mathbf {H} ]\!]=0,\,[\![\rho ]\!]\neq 0}$ ${\displaystyle j=H_{n}=0,\,[\![\mathbf {u} _{t}\rho ]\!]\neq 0,\,[\![\mathbf {H} _{t}]\!]\neq 0,\,[\![\rho ]\!]\neq 0}$ ${\textstyle j=H_{n}{\sqrt {\rho /4\pi }}\neq 0,\,[\![\rho ]\!]=[\![u_{n}]\!]=[\![p]\!]=[\![\mathbf {H} _{t}]\!]=0}$ ${\displaystyle j\neq 0,\,[\![\rho ]\!]\neq 0}$

Véase también

• Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)
• Choque polar
• Solución de Becker-Morduchow-Libby
• Ecuación de estado de Mie-Grüneisen
• Wikilibro de ingeniería acústica
• Enfoque atmosférico

Referencias

1. Rankine, WJM (1870). "Sobre la teoría termodinámica de ondas de perturbaciones longitudinales finitas". Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 160 : 277–288. doi : 10.1098/rstl.1870.0015 .
2. Hugoniot, H. (1887). "Mémoire sur la propagation des mouvements dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits (première partie) [Memoria sobre la propagación de los movimientos de los cuerpos, especialmente los gases perfectos (primera parte)]". Journal de l'École Polytechnique (en francés). 57 : 3–97. Véase también: Hugoniot, H. (1889) "Mémoire sur la propagation des mouvements dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits (deuxième partie)" [Memoria sobre la propagación de los movimientos de los cuerpos, especialmente de los gases perfectos (segunda parte)], Journal de l'École Polytechnique , vol. 58, páginas 1–125.
3. Salas, MD (2006). "Los curiosos acontecimientos que llevaron a la teoría de las ondas de choque, conferencia invitada, 17.º Simposio sobre interacción de choque, Roma, 4-8 de septiembre" (PDF) .
4. Williams, FA (2018). Teoría de la combustión. CRC Press.
5. Mikhelson, VA (1893). "La velocidad normal de ignición de mezclas gaseosas combustibles". Transactions of Moscow University . 10 : 1–92.
6. Zel'Dovich, YB, y Raizer, YP (2012). Física de ondas de choque y fenómenos hidrodinámicos de alta temperatura. Courier Corporation.
7. Ames Research Staff (1953), "Ecuaciones, tablas y gráficos para flujo compresible" (PDF) , Informe 1135 del Comité Asesor Nacional de Aeronáutica
8. Nótese que la ley de conservación integral ( 6 ) no podría, en general, obtenerse a partir de la ecuación diferencial ( 6' ) por integración porque ( 6' ) es válida solo para soluciones suaves. ${\displaystyle [x_{1};x_{2}]}$
9. Liepmann, HW y Roshko, A. (1957). Elementos de dinámica de gases. Courier Corporation.
10. Landau, LD (1959). EM Lifshitz, Mecánica de fluidos. Curso de Física Teórica, 6.
11. Shapiro, AH (1953). Dinámica y termodinámica del flujo de fluidos compresibles. John Wiley & Sons.
12. Anderson, JD (1990). Flujo compresible moderno: con perspectiva histórica (Vol. 12). Nueva York: McGraw-Hill.
13. Whitham, GB (1999). Ondas lineales y no lineales . Wiley. ISBN 978-0-471-94090-6.
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15. Ahrens, TJ (1993), "Ecuación de estado" (PDF) , Compresión de sólidos por choque de alta presión, Eds. JR Asay y M. Shahinpoor , Springer-Verlag, Nueva York: 75–113, doi :10.1007/978-1-4612-0911-9_4, ISBN 978-1-4612-6943-4
16. Aunque se asume ampliamente que existe una relación lineal, los datos experimentales sugieren que casi el 80% de los materiales probados no satisfacen este comportamiento lineal ampliamente aceptado. Véase Kerley, G. I, 2006, "The Linear US-uP Relation in Shock-Wave Physics", arXiv :1306.6916; para más detalles.
17. Hoyt, M (1 de julio de 1979). Manual del usuario para el archivo de datos de Hugoniot de choque LASL (informe). Oficina de Información Científica y Técnica (OSTI). doi :10.2172/6177198.
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19. Poirier, JP. (2008) "Introducción a la física del interior de la Tierra", Cambridge University Press.
20. Landau, Lev Davidovich, EM Lifshitz, Electrodinámica de medios continuos. Vol. 8. Elsevier, 2013. Sección 70, página 240.