Ecuación de Liouville

Ecuación en geometría diferencial

Para la ecuación de Liouville en sistemas dinámicos, véase Teorema de Liouville (Hamiltoniano) .

Para la ecuación de Liouville en mecánica cuántica, véase ecuación de von Neumann .

Para la ecuación de Liouville en el espacio euclidiano, véase ecuación de Liouville–Bratu–Gelfand .

En geometría diferencial , la ecuación de Liouville , llamada así en honor a Joseph Liouville , ^{[1] [2]} es la ecuación diferencial parcial no lineal satisfecha por el factor conforme f de una métrica f ² (d x ²  + d y ² ) en una superficie de curvatura gaussiana constante K :

${\displaystyle \Delta _{0}\log f=-Kf^{2},}$

donde ∆ ₀ es el operador plano de Laplace

${\displaystyle \Delta _{0}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}=4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}.}$

La ecuación de Liouville aparece en el estudio de las coordenadas isotérmicas en geometría diferencial: las variables independientes x, y son las coordenadas, mientras que f puede describirse como el factor conforme con respecto a la métrica plana. En ocasiones, se hace referencia al cuadrado f ² como factor conforme, en lugar de a f en sí.

La ecuación de Liouville también fue tomada como ejemplo por David Hilbert en la formulación de su decimonoveno problema . ^[3]

Otras formas comunes de la ecuación de Liouville

Utilizando el cambio de variables log  f  ↦  u , se obtiene otra forma comúnmente encontrada de la ecuación de Liouville:

${\displaystyle \Delta _{0}u=-Ke^{2u}.}$

Otras dos formas de la ecuación, que se encuentran comúnmente en la literatura, ^[4] se obtienen utilizando la ligera variante 2 log  f  ↦  u del cambio de variables anterior y el cálculo de Wirtinger : ^[5] ${\displaystyle \Delta _{0}u=-2Ke^{u}\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}u}{{\partial z}{\partial {\bar {z}}}}}=-{\frac {K}{2}}e^{u}.}$

Obsérvese que es exactamente en la primera de las dos formas anteriores que la ecuación de Liouville fue citada por David Hilbert en la formulación de su decimonoveno problema . ^{[3] [a]}

Una formulación que utiliza el operador de Laplace-Beltrami

De una manera más invariante, la ecuación se puede escribir en términos del operador intrínseco de Laplace-Beltrami.

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{f^{2}}}\Delta _{0}}$

como sigue:

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }\log \;f=-K.}$

Propiedades

Relación con las ecuaciones de Gauss-Codazzi

La ecuación de Liouville es equivalente a las ecuaciones de Gauss-Codazzi para inmersiones mínimas en el espacio 3, cuando la métrica se escribe en coordenadas isotérmicas de modo que el diferencial de Hopf es . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathrm {d} z^{2}}$

Solución general de la ecuación

En un dominio simplemente conexo Ω , la solución general de la ecuación de Liouville se puede encontrar utilizando el cálculo de Wirtinger. ^[6] Su forma está dada por

${\displaystyle u(z,{\bar {z}})=\ln \left(4{\frac {\left|{\mathrm {d} f(z)}/{\mathrm {d} z}\right|^{2}}{(1+K\left|f(z)\right|^{2})^{2}}}\right)}$

donde f  ( z ) es cualquier función meromórfica tal que

• ⁠df​/yz​⁠ ( z ) ≠ 0 para cada z  ∈ Ω . ^[6]
• f  ( z ) tiene como máximo polos simples en Ω . ^[6]

Solicitud

La ecuación de Liouville se puede utilizar para demostrar los siguientes resultados de clasificación de superficies:

Teorema . ^[7] Una superficie en el 3-espacio euclidiano con métrica d l ²  =  g ( z ,_el) dzd​_el, y con curvatura escalar constante K es localmente isométrica a:

1. la esfera si K  > 0 ;
2. el plano euclidiano si K  = 0 ;
3. el plano Lobachevskiano si K  < 0 .

Véase también

• Teoría de campos de Liouville , una teoría de campos conforme bidimensional cuya ecuación clásica de movimiento es una generalización de la ecuación de Liouville.

Notas

1. Hilbert supone K = -1/2 , por lo tanto, la ecuación aparece como la siguiente ecuación elíptica semilineal

   ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=e^{f}}$

Citas

1. Liouville, José (1838). "Sur la Theorie de la Variation des constantes arbitraires" (PDF) . Journal de mathématiques pures et appliquées . 3 : 342–349.
2. Ehrendorfer, Martin. "La ecuación de Liouville: antecedentes - antecedentes históricos". La ecuación de Liouville en la predictibilidad atmosférica (PDF) . pp. 48–49.
3. Véase (Hilbert 1900, p. 288): Hilbert no cita explícitamente a Joseph Liouville.
4. Véase (Dubrovin, Novikov y Fomenko 1992, pág. 118) y (Henrici 1993, pág. 294).
5. Ver (Henrici 1993, págs. 287–294).
6. Véase (Henrici 1993, pág. 294).
7. Véase (Dubrovin, Novikov y Fomenko 1992, págs. 118-120).

Obras citadas

• Dubrovin, BA; Novikov, SP ; Fomenko, AT (1992) [Publicado por primera vez en 1984], Modern Geometry–Methods and Applications. Part I. The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields , Graduate Studies in Mathematics , vol. 93 (2.ª ed.), Berlín–Heidelberg–Nueva York: Springer Verlag, pp. xv+468, ISBN 3-540-97663-9, MR  0736837, Zbl  0751.53001.
• Henrici, Peter (1993) [Publicado por primera vez en 1986], Applied and Computational Complex Analysis, Wiley Classics Library, vol. 3 (edición reimpresa), Nueva York - Chichester - Brisbane - Toronto - Singapur: John Wiley & Sons, págs. X+637, ISBN 0-471-58986-1, MR  0822470, Zbl  1107.30300.
• Hilbert, David (1900), "Mathematische Probleme", Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (en alemán) (3): 253–297, JFM  31.0068.03, traducido al inglés por Mary Frances Winston Newson como Hilbert, David (1902), "Problemas matemáticos", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 8 (10): 437–479, doi : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 , JFM  33.0976.07, MR  1557926.