Ecuación de Orr-Sommerfeld

La ecuación de Orr-Sommerfeld , en dinámica de fluidos , es una ecuación de valores propios que describe los modos lineales bidimensionales de perturbación de un flujo paralelo viscoso . La solución de las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo laminar paralelo puede volverse inestable si se cumplen ciertas condiciones del flujo, y la ecuación de Orr-Sommerfeld determina con precisión cuáles son las condiciones para la estabilidad hidrodinámica .

La ecuación debe su nombre a William McFadden Orr y Arnold Sommerfeld , quienes la derivaron a principios del siglo XX.

Formulación

Diagrama esquemático del estado base del sistema. El flujo que se investiga representa una pequeña perturbación que se aleja de este estado. Si bien el estado base es paralelo, la velocidad de perturbación tiene componentes en ambas direcciones.

La ecuación se deriva de la solución de una versión linealizada de la ecuación de Navier-Stokes para el campo de velocidad de perturbación.

${\displaystyle \mathbf {u} =\left(U(z)+u'(x,z,t),0,w'(x,z,t)\right)}$,

donde es el flujo básico o no perturbado. La velocidad de perturbación tiene la solución ondulatoria (se entiende la parte real). Con este conocimiento y la representación de la función de corriente para el flujo, se obtiene la siguiente forma dimensional de la ecuación de Orr-Sommerfeld: ${\displaystyle (U(z),0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {u} '\propto \exp(i\alpha (x-ct))}$

${\displaystyle {\frac {\mu }{i\alpha \rho }}\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)^{2}\varphi =(U-c)\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)\varphi -U''\varphi }$,

donde es la viscosidad dinámica del fluido, es su densidad y es la función potencial o de corriente. En el caso de viscosidad cero ( ), la ecuación se reduce a la ecuación de Rayleigh . La ecuación se puede escribir en forma adimensional midiendo velocidades de acuerdo con una escala establecida por alguna velocidad característica y midiendo longitudes de acuerdo con la profundidad del canal . Entonces la ecuación toma la forma ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {1 \over i\alpha \,Re}\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)^{2}\varphi =(U-c)\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)\varphi -U''\varphi }$,

dónde

${\displaystyle Re={\frac {\rho U_{0}h}{\mu }}}$

es el número de Reynolds del flujo base. Las condiciones de contorno relevantes son las condiciones de contorno sin deslizamiento en la parte superior e inferior del canal y , ${\displaystyle z=z_{1}}$ ${\displaystyle z=z_{2}}$

${\displaystyle \alpha \varphi ={d\varphi \over dz}=0}$en y en el caso donde es la función potencial. ${\displaystyle z=z_{1}}$ ${\displaystyle z=z_{2},}$ ${\displaystyle \varphi }$

O:

${\displaystyle \alpha \varphi ={d\varphi \over dx}=0}$en y en el caso donde está la función de flujo. ${\displaystyle z=z_{1}}$ ${\displaystyle z=z_{2},}$ ${\displaystyle \varphi }$

El parámetro de valor propio del problema es y el vector propio es . Si la parte imaginaria de la velocidad de la onda es positiva, entonces el flujo base es inestable y la pequeña perturbación introducida en el sistema se amplifica en el tiempo. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle c}$

La ecuación también se puede derivar para perturbaciones tridimensionales de la forma

${\displaystyle \mathbf {u} =\left(U(z)+u'(x,y,z,t),v'(x,y,z,t),w'(x,y,z,t)\right)}$,

con (parte real entendida). Cualquier solución de la ecuación tridimensional se puede convertir en una solución más inestable (número de Reynolds más bajo) de la ecuación bidimensional anterior gracias al teorema de Squire . Por lo tanto, es suficiente estudiar solo perturbaciones bidimensionales cuando se trata de la estabilidad lineal de un flujo paralelo. ${\displaystyle \mathbf {u} '\propto \exp(i\alpha (x-ct)+i\beta t)}$

Soluciones

Para todos los perfiles de velocidad , excepto los más simples, se requieren métodos numéricos o asintóticos para calcular las soluciones. A continuación se analizan algunos perfiles de flujo típicos. En general, el espectro de la ecuación es discreto e infinito para un flujo acotado, mientras que para flujos no acotados (como el flujo en la capa límite ), el espectro contiene partes tanto continuas como discretas. ^[1] ${\displaystyle U}$

El espectro del operador de Orr-Sommerfeld para el flujo de Poiseuille en criticidad.

Curvas de dispersión del flujo de Poiseuille para varios números de Reynolds.

Curva de estabilidad neutra lineal para el flujo plano de Poiseuille.

Para el flujo plano de Poiseuille , se ha demostrado que el flujo es inestable (es decir, uno o más valores propios tienen una parte imaginaria positiva) para algunos cuando y el modo neutralmente estable en tener , . ^[2] Para ver las propiedades de estabilidad del sistema, se acostumbra trazar una curva de dispersión, es decir, un gráfico de la tasa de crecimiento en función del número de onda . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle Re>Re_{c}=5772.22}$ ${\displaystyle Re=Re_{c}}$ ${\displaystyle \alpha _{c}=1.02056}$ ${\displaystyle c_{r}=0.264002}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(\alpha {c})}$ ${\displaystyle \alpha }$

La primera figura muestra el espectro de la ecuación de Orr-Sommerfeld en los valores críticos enumerados anteriormente. Se trata de un gráfico de los valores propios (en la forma ) en el plano complejo. El valor propio situado más a la derecha es el más inestable. En los valores críticos del número de Reynolds y del número de onda, el valor propio situado más a la derecha es exactamente cero. Para valores más altos (más bajos) del número de Reynolds, el valor propio situado más a la derecha se desplaza hacia la mitad positiva (negativa) del plano complejo. A continuación, se ofrece una imagen más completa de las propiedades de estabilidad mediante un gráfico que muestra la dependencia funcional de este valor propio; esto se muestra en la segunda figura. La tercera figura muestra la curva de estabilidad neutra que divide el plano en la región donde el flujo es linealmente estable y la región donde el flujo es linealmente inestable. ${\displaystyle \lambda =-i\alpha {c}}$ ${\displaystyle (Re,\alpha )}$

Por otra parte, el espectro de valores propios para el flujo de Couette indica estabilidad, en todos los números de Reynolds. ^[3] Sin embargo, en experimentos, se ha encontrado que el flujo de Couette es inestable ante perturbaciones pequeñas, pero finitas, para las cuales la teoría lineal y la ecuación de Orr-Sommerfeld no se aplican. Se ha argumentado que la no normalidad del problema de valores propios asociado con el flujo de Couette (y de hecho, Poiseuille) podría explicar esa inestabilidad observada. ^[4] Es decir, las funciones propias del operador de Orr-Sommerfeld son completas pero no ortogonales. Entonces, la energía de la perturbación contiene contribuciones de todas las funciones propias de la ecuación de Orr-Sommerfeld. Incluso si la energía asociada con cada valor propio considerado por separado está decayendo exponencialmente en el tiempo (como predice el análisis de Orr-Sommerfeld para el flujo de Couette), los términos cruzados que surgen de la no ortogonalidad de los valores propios pueden aumentar transitoriamente. De esta manera, la energía total aumenta transitoriamente (antes de tender asintóticamente a cero). El argumento es que si la magnitud de este crecimiento transitorio es suficientemente grande, desestabiliza el flujo laminar, pero este argumento no ha sido aceptado universalmente. ^[5]

También se ha propuesto una teoría no lineal que explica la transición, ^{[6] [7]} . Aunque esa teoría incluye el crecimiento transitorio lineal, el foco está en los procesos no lineales 3D que se sospecha firmemente que subyacen a la transición a la turbulencia en flujos de cizallamiento. La teoría ha llevado a la construcción de los llamados estados estables 3D completos, ondas viajeras y soluciones periódicas en el tiempo de las ecuaciones de Navier-Stokes que capturan muchas de las características clave de la transición y las estructuras coherentes observadas en la región cercana a la pared de los flujos de cizallamiento turbulentos. ^{[8] [9] [10] [11] [12] [13]} Aunque "solución" generalmente implica la existencia de un resultado analítico, es una práctica común en mecánica de fluidos referirse a los resultados numéricos como "soluciones", independientemente de si las soluciones aproximadas satisfacen las ecuaciones de Navier-Stokes de una manera matemáticamente satisfactoria o no. Se postula que la transición a la turbulencia involucra el estado dinámico del fluido que evoluciona de una solución a la siguiente. La teoría se basa, por tanto, en la existencia real de tales soluciones (muchas de las cuales todavía no se han observado en un experimento físico). Esta relajación del requisito de soluciones exactas permite una gran flexibilidad, ya que las soluciones exactas son extremadamente difíciles de obtener (al contrario de lo que ocurre con las soluciones numéricas), a expensas del rigor y (posiblemente) de la corrección. Por ello, aunque no es tan rigurosa como los enfoques anteriores de la transición, ha ganado una inmensa popularidad.

Recientemente se ha sugerido una extensión de la ecuación de Orr-Sommerfeld al flujo en medios porosos. ^[14]

Métodos matemáticos para flujos de superficie libre

Para el flujo de Couette, es posible hacer un progreso matemático en la solución de la ecuación de Orr-Sommerfeld. En esta sección, se da una demostración de este método para el caso de flujo de superficie libre, es decir, cuando la tapa superior del canal se reemplaza por una superficie libre. Nótese en primer lugar que es necesario modificar las condiciones de contorno superiores para tener en cuenta la superficie libre. En forma adimensional, estas condiciones ahora se leen

${\displaystyle \varphi ={d\varphi \over dz}=0,}$en , ${\displaystyle z=0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\alpha ^{2}\varphi =0}$, en . ${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {d^{3}\varphi }{dz^{3}}}+i\alpha Re\left[\left(c-U\left(z_{2}=1\right)\right){\frac {d\varphi }{dz}}+\varphi \right]-i\alpha Re\left({\frac {1}{Fr}}+{\frac {\alpha ^{2}}{We}}\right){\frac {\varphi }{c-U\left(z_{2}=1\right)}}=0,}$ ${\displaystyle \,z=1}$

La primera condición de superficie libre es la afirmación de continuidad de la tensión tangencial, mientras que la segunda condición relaciona la tensión normal con la tensión superficial.

${\displaystyle Fr={\frac {U_{0}^{2}}{gh}},\,\,\ We={\frac {\rho u_{0}^{2}h}{\sigma }}}$

son los números de Froude y Weber respectivamente.

Para el flujo de Couette , las cuatro soluciones linealmente independientes de la ecuación adimensional de Orr-Sommerfeld son, ^[15] ${\displaystyle U\left(z\right)=z}$

${\displaystyle \chi _{1}\left(z\right)=\sinh \left(\alpha z\right),\qquad \chi _{2}\left(z\right)=\cosh \left(\alpha z\right)}$,

${\displaystyle \chi _{3}\left(z\right)={\frac {1}{\alpha }}\int _{\infty }^{z}\sinh \left[\alpha \left(z-\xi \right)\right]Ai\left[e^{i\pi /6}\left(\alpha Re\right)^{1/3}\left(\xi -c-{\frac {i\alpha }{Re}}\right)\right]d\xi ,}$

${\displaystyle \chi _{4}\left(z\right)={\frac {1}{\alpha }}\int _{\infty }^{z}\sinh \left[\alpha \left(z-\xi \right)\right]Ai\left[e^{5i\pi /6}\left(\alpha Re\right)^{1/3}\left(\xi -c-{\frac {i\alpha }{Re}}\right)\right]d\xi ,}$

donde es la función de Airy de primera especie. La sustitución de la solución de superposición en las cuatro condiciones de contorno da cuatro ecuaciones en las cuatro constantes desconocidas . Para que las ecuaciones tengan una solución no trivial, la condición determinante ${\displaystyle Ai\left(\cdot \right)}$ ${\displaystyle \varphi =\sum _{i=1}^{4}c_{i}\chi _{i}\left(z\right)}$ ${\displaystyle c_{i}}$

${\displaystyle \left|{\begin{array}{cccc}\chi _{1}\left(0\right)&\chi _{2}\left(0\right)&\chi _{3}\left(0\right)&\chi _{4}\left(0\right)\\\chi _{1}'\left(0\right)&\chi _{2}'\left(0\right)&\chi _{3}'\left(0\right)&\chi _{4}'\left(0\right)\\\Omega _{1}\left(1\right)&\Omega _{2}\left(1\right)&\Omega _{3}\left(1\right)&\Omega _{4}\left(1\right)\\\chi _{1}''\left(1\right)+\alpha ^{2}\chi _{1}\left(1\right)&\chi _{2}''\left(1\right)+\alpha ^{2}\chi _{2}\left(1\right)&\chi _{3}''\left(1\right)+\alpha ^{2}\chi _{3}\left(1\right)&\chi _{4}''\left(1\right)+\alpha ^{2}\chi _{4}\left(1\right)\end{array}}\right|=0}$

Debe cumplirse. Se trata de una ecuación simple en la incógnita c , que puede resolverse numéricamente o por métodos asintóticos . Se puede demostrar que para un rango de números de onda y para números de Reynolds suficientemente grandes, la tasa de crecimiento es positiva. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha c_{\text{i}}}$

Véase también

• Eventos de fuerza gravitacional entre cometas y asteroides
• Onda de gravedad
• Saludos de Lee
• Ola rebelde

Referencias

1. Hooper, AP; Grimshaw, R. (1996). "Crecimiento de perturbaciones bidimensionales de flujos de cizallamiento viscosos linealmente estables". Phys. Fluids . 8 (6): 1424–1432. Bibcode :1996PhFl....8.1424H. doi :10.1063/1.868919.
2. Orszag, SA (1971). "Solución precisa de la ecuación de estabilidad de Orr–Sommerfeld". J. Fluid Mech. 50 (4): 689–703. Bibcode :1971JFM....50..689O. doi :10.1017/S0022112071002842. S2CID  6076327.
3. Drazin, PG ; Reid, WH (1981). Estabilidad hidrodinámica . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521227988.
4. Trefethen, NL; Trefethen, AE; Teddy, SC; Driscoll, TA (1993). "Estabilidad hidrodinámica sin valores propios". Science . 261 (5121): 578–584. Bibcode :1993Sci...261..578T. doi :10.1126/science.261.5121.578. PMID  17758167. S2CID  18221574.
5. Waleffe, Fabian (1995). "Transición en flujos de cizallamiento: normalidad no lineal versus linealidad no normal". Física de fluidos . 7 (12): 3060–3066. Bibcode :1995PhFl....7.3060W. doi :10.1063/1.868682.
6. Waleffe, Fabian (1995). "Estabilidad hidrodinámica y turbulencia: más allá de los transitorios hacia un proceso autosostenido". Estudios en Matemáticas Aplicadas . 95 (3): 319–343. doi :10.1002/sapm1995953319.
7. Waleffe, Fabian (1997). "Sobre un proceso autosostenible en flujos de cizallamiento". Física de fluidos . 9 (4): 883–900. Bibcode :1997PhFl....9..883W. doi :10.1063/1.869185.
8. Waleffe, Fabian (1998). "Estados coherentes tridimensionales en flujos de cizallamiento planos". Physical Review Letters . 81 (19): 4140–4143. Código Bibliográfico :1998PhRvL..81.4140W. doi :10.1103/PhysRevLett.81.4140.
9. Waleffe, Fabian (2001). "Estructuras coherentes exactas en flujo de canal". Revista de mecánica de fluidos . 435 (1): 93–102. Código Bibliográfico :2001JFM...435...93W. doi :10.1017/S0022112001004189. S2CID  119611288.
10. Waleffe, Fabian (2003). "Homotopía de estructuras coherentes exactas en flujos de cizallamiento planos". Física de fluidos . 15 (6): 1517–1534. Bibcode :2003PhFl...15.1517W. doi :10.1063/1.1566753.
11. Faisst, Holger; Eckhardt, Bruno (2003). "Ondas viajeras en el flujo de tuberías". Phys. Rev. Lett . 91 (22): 224502. arXiv : nlin/0304029 . Código Bibliográfico :2003PhRvL..91v4502F. doi :10.1103/PhysRevLett.91.224502. PMID  14683243. S2CID  37014454.
12. Wedin, H.; Kerswell, RR (2004). "Estados coherentes exactos en flujo de tuberías". Journal of Fluid Mechanics . 508 : 333–371. Bibcode :2004JFM...508..333W. CiteSeerX 10.1.1.139.8263 . doi :10.1017/S0022112004009346. S2CID  14240927. 
13. Hof, B.; van Doorne, CWH; Westerweel, J.; Nieuwstadt, FTM; Faisst, H.; Eckhardt, B.; Wedin, H.; Kerswell, RR; Waleffe, F. (2004). "Observación experimental de ondas viajeras no lineales en flujo de tubería turbulento". Ciencia . 305 (5690): 1594-1598. Código Bib : 2004 Ciencia... 305.1594H. doi :10.1126/ciencia.1100393. PMID  15361619. S2CID  7211017.
14. Avramenko, AA; Kuznetsov, AV; Basok, BI; Blinov, DG (2005). "Investigación de la estabilidad de un flujo laminar en un canal de placas paralelas lleno de un medio poroso saturado de fluido". Física de fluidos . 17 (9): 094102–094102–6. Código Bibliográfico :2005PhFl...17i4102A. doi :10.1063/1.2041607.
15. Miesen, R.; Boersma, BJ (1995). "Estabilidad hidrodinámica de una película líquida cortada". Journal of Fluid Mechanics . 301 : 175–202. Código Bibliográfico :1995JFM...301..175M. doi :10.1017/S0022112095003855. S2CID  120740556.

Lectura adicional

• Orr, W. M'F. (1907). "La estabilidad o inestabilidad de los movimientos constantes de un líquido. Parte I". Actas de la Real Academia Irlandesa . 27 : 9–68.
• Orr, W. M'F. (1907). "La estabilidad o inestabilidad de los movimientos constantes de un líquido. Parte II". Actas de la Real Academia Irlandesa . 27 : 69–138.
• Sommerfeld, A. (1908). "Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen". Actas del IV Congreso Internacional de Matemáticos . vol. III. Roma. págs. 116-124.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)