Ecuación de Rayleigh (dinámica de fluidos)

Ejemplo de un flujo de corte paralelo.

En dinámica de fluidos , la ecuación de Rayleigh o ecuación de estabilidad de Rayleigh es una ecuación diferencial ordinaria lineal para estudiar la estabilidad hidrodinámica de un flujo de cizallamiento paralelo, incompresible y no viscoso . La ecuación es: ^[1]

${\displaystyle (U-c)(\varphi ''-k^{2}\varphi )-U''\varphi =0,}$

con la velocidad de flujo del flujo base estacionario cuya estabilidad se va a estudiar y es la dirección transversal a la corriente (es decir, perpendicular a la dirección del flujo). Además, es la amplitud de valor complejo de las perturbaciones infinitesimales de la función de corriente aplicadas al flujo base, es el número de onda de las perturbaciones y es la velocidad de fase con la que las perturbaciones se propagan en la dirección del flujo. La prima denota diferenciación con respecto a ${\displaystyle U(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \varphi (z)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z.}$

Fondo

La ecuación recibe su nombre de Lord Rayleigh , quien la introdujo en 1880. ^[2] La ecuación de Orr-Sommerfeld (introducida más tarde para el estudio de la estabilidad del flujo viscoso paralelo ) se reduce a la ecuación de Rayleigh cuando la viscosidad es cero. ^[3]

La ecuación de Rayleigh, junto con las condiciones de contorno apropiadas , plantea con mayor frecuencia un problema de valores propios . Para un número de onda (de valor real) y una velocidad de flujo media dados, los valores propios son las velocidades de fase y las funciones propias son las amplitudes de función de corriente asociadas . En general, los valores propios forman un espectro continuo . En ciertos casos, puede haber además un espectro discreto de pares conjugados complejos de Dado que el número de onda aparece solo como un cuadrado en la ecuación de Rayleigh, una solución (es decir y ) para el número de onda es también una solución para el número de onda ^[3] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U(z),}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle \varphi (z).}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{2}}$ ${\displaystyle \varphi (z)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle +k}$ ${\displaystyle -k.}$

La ecuación de Rayleigh sólo se refiere a perturbaciones bidimensionales del flujo. Del teorema de Squire se desprende que las perturbaciones bidimensionales son menos estables que las tridimensionales.

Patrón de ojo de gato de Kelvin de líneas de corriente cerca de una capa crítica.

Si una velocidad de fase de valor real está entre el mínimo y el máximo del problema, se forman las llamadas capas críticas cerca de donde En las capas críticas, la ecuación de Rayleigh se vuelve singular . Estas fueron estudiadas por primera vez por Lord Kelvin , también en 1880. ^[4] Su solución da lugar a un llamado patrón de ojo de gato de líneas de corriente cerca de la capa crítica, cuando se observa en un marco de referencia que se mueve con la velocidad de fase ^[3] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle U(z),}$ ${\displaystyle z=z_{\mathrm {crit} }}$ ${\displaystyle U(z_{\mathrm {crit} })=c.}$ ${\displaystyle c.}$

Derivación

Considere un flujo de corte paralelo en la dirección, que varía solo en la dirección de flujo transversal ^[1] La estabilidad del flujo se estudia agregando pequeñas perturbaciones a la velocidad del flujo y en las direcciones y , respectivamente. El flujo se describe utilizando las ecuaciones de Euler incompresibles , que se convierten después de la linealización, utilizando componentes de velocidad y ${\displaystyle U(z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z.}$ ${\displaystyle u(x,z,t)}$ ${\displaystyle w(x,z,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U(z)+u(x,z,t)}$ ${\displaystyle w(x,z,t):}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}u+U\,\partial _{x}u+w\,U'=-{\frac {1}{\rho }}\partial _{x}p,\\&\partial _{t}w+U\,\partial _{x}w=-{\frac {1}{\rho }}\partial _{z}p\qquad {\text{and}}\\&\partial _{x}u+\partial _{z}w=0,\end{aligned}}}$

con el operador de derivada parcial con respecto al tiempo, y de manera similar y con respecto a y Las fluctuaciones de presión aseguran que se cumpla la ecuación de continuidad . La densidad del fluido se denota como y es una constante en el presente análisis. La prima denota la diferenciación de con respecto a su argumento ${\displaystyle \partial _{t}}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle \partial _{z}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z.}$ ${\displaystyle p(x,z,t)}$ ${\displaystyle \partial _{x}u+\partial _{z}w=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle U(z)}$ ${\displaystyle z.}$

Las oscilaciones del flujo se describen utilizando una función de corriente que garantiza que se satisface la ecuación de continuidad: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \psi (x,z,t),}$

${\displaystyle u=+\partial _{z}\psi \quad {\text{ and }}\quad w=-\partial _{x}\psi .}$

Tomando las derivadas - y - de la ecuación de - y -momentum, y luego restando las dos ecuaciones, se puede eliminar la presión: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \partial _{t}\left(\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi \right)+U\,\partial _{x}\left(\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi \right)-U''\,\partial _{x}\psi =0,}$

que es esencialmente la ecuación de transporte de vorticidad , siendo (menos) la vorticidad. ${\displaystyle \partial _{x}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi }$

A continuación se consideran las fluctuaciones sinusoidales:

${\displaystyle \psi (x,z,t)=\Re \left\{\varphi (z)\,\exp(ik(x-ct))\right\},}$

con la amplitud de valor complejo de las oscilaciones de la función de corriente, donde es la unidad imaginaria ( ) y denota la parte real de la expresión entre corchetes. Al utilizar esto en la ecuación de transporte de vorticidad, se obtiene la ecuación de Rayleigh. ${\displaystyle \varphi (z)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle \Re \left\{\cdot \right\}}$

Las condiciones de contorno para paredes impermeables planas se deducen del hecho de que la función de corriente es constante en ellas. Por lo tanto, en paredes impermeables las oscilaciones de la función de corriente son cero, es decir, para flujos ilimitados las condiciones de contorno comunes son que ${\displaystyle \varphi =0.}$ ${\displaystyle \lim _{z\to \pm \infty }\varphi (z)=0.}$

Notas

1. Craik (1988, págs. 21-27)
2. Rayleigh (1880)
3. Drazin (2002, págs. 138-154)
4. Kelvin (1880)

Referencias

• Craik, ADD (1988), Interacciones de ondas y flujos de fluidos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36829-4
• Criminale, WO; Jackson, TL; Joslin, RD (2003), Teoría y cálculo de la estabilidad hidrodinámica , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63200-3
• Drazin, PG (2002), Introducción a la estabilidad hidrodinámica , Cambridge University Press, ISBN 0-521-00965-0
• Hirota, M.; Morrison, PJ ; Hattori, Y. (2014), "Condiciones de estabilidad necesarias y suficientes variacionales para flujo de cizallamiento no viscoso", Proceedings of the Royal Society , 470 (20140322): 23 pp, arXiv : 1402.0719 , Bibcode :2014RSPSA.47040322H, doi :10.1098/rspa.2014.0322, PMC  4241005 , PMID  25484600
• Kelvin, Lord (W. Thomson) (1880), "Sobre un infinito perturbador en la solución de Lord Rayleigh para ondas en un estrato de vórtice plano", Nature , 23 (576): 45–6, Bibcode :1880Natur..23...45., doi : 10.1038/023045a0
• Rayleigh, Lord (JW Strutt) (1880), "Sobre la estabilidad o inestabilidad de ciertos movimientos de fluidos", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 11 : 57–70