Función propia

Función matemática de un operador lineal

Esta solución del problema del tambor vibrante es, en cualquier momento, una función propia del operador de Laplace en un disco.

En matemáticas , una función propia de un operador lineal D definido en algún espacio de funciones es cualquier función distinta de cero en ese espacio que, cuando actúa sobre D , solo se multiplica por algún factor de escala llamado valor propio . Como ecuación, esta condición se puede escribir como para algún valor propio escalar ^{[1] [2] [3]} Las soluciones de esta ecuación también pueden estar sujetas a condiciones de contorno que limitan los valores propios y las funciones propias permitidos. ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle Df=\lambda f}$$ ${\displaystyle \lambda .}$

Una función propia es un tipo de vector propio .

Funciones propias

En general, un vector propio de un operador lineal D definido en algún espacio vectorial es un vector distinto de cero en el dominio de D que, cuando D actúa sobre él, simplemente se escala mediante algún valor escalar llamado valor propio. En el caso especial en el que D está definido en un espacio de funciones, los vectores propios se denominan funciones propias . Es decir, una función f es una función propia de D si satisface la ecuación

donde λ es un escalar. ^{[1] [2] [3]} Las soluciones de la ecuación ( 1 ) también pueden estar sujetas a condiciones de contorno. Debido a las condiciones de contorno, los posibles valores de λ están generalmente limitados, por ejemplo a un conjunto discreto λ ₁ , λ ₂ , … o a un conjunto continuo en algún rango. El conjunto de todos los posibles valores propios de D a veces se denomina su espectro , que puede ser discreto, continuo o una combinación de ambos. ^[1]

Cada valor de λ corresponde a una o más funciones propias. Si varias funciones propias linealmente independientes tienen el mismo valor propio, se dice que el valor propio está degenerado y el número máximo de funciones propias linealmente independientes asociadas con el mismo valor propio es el grado de degeneración o multiplicidad geométrica del valor propio . ^{[4] [5]}

Ejemplo derivado

Una clase ampliamente utilizada de operadores lineales que actúan en espacios de dimensión infinita son los operadores diferenciales en el espacio C ^∞ de funciones reales o complejas infinitamente diferenciables de un argumento real o complejo t . Por ejemplo, considere el operador de derivada con ecuación de valor propio ${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$$

Esta ecuación diferencial se puede resolver multiplicando ambos lados por e integrando. Su solución, la función exponencial , es la función propia del operador derivada, donde f ₀ es un parámetro que depende de las condiciones de contorno. Nótese que en este caso la función propia es en sí misma una función de su valor propio asociado λ, que puede tomar cualquier valor real o complejo. En particular, nótese que para λ = 0 la función propia f ( t ) es una constante. ${\textstyle {\frac {dt}{f(t)}}}$ $${\displaystyle f(t)=f_{0}e^{\lambda t},}$$

Supongamos en el ejemplo que f ( t ) está sujeta a las condiciones de contorno f (0) = 1 y . Entonces encontramos que donde λ = 2 es el único valor propio de la ecuación diferencial que también satisface la condición de contorno. ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$ $${\displaystyle f(t)=e^{2t},}$$

Enlace a valores propios y vectores propios de matrices

Las funciones propias se pueden expresar como vectores columna y los operadores lineales como matrices, aunque pueden tener dimensiones infinitas. Como resultado, muchos de los conceptos relacionados con los vectores propios de matrices se trasladan al estudio de las funciones propias.

Defina el producto interno en el espacio de funciones en el que D se define como integrado en un rango de interés para t llamado Ω. El * denota el conjugado complejo . $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }\ f^{*}(t)g(t)dt,}$$

Supóngase que el espacio de funciones tiene una base ortonormal dada por el conjunto de funciones { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, u _n ( t )}, donde n puede ser infinito. Para la base ortonormal, donde δ _ij es el delta de Kronecker y se puede pensar en ellos como los elementos de la matriz identidad . $${\displaystyle \langle u_{i},u_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt=\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}},}$$

Las funciones pueden escribirse como una combinación lineal de las funciones base, por ejemplo, mediante una expansión de Fourier de f ( t ). Los coeficientes b _j pueden apilarse en un vector columna de n por 1 b = [ b ₁ b ₂ … b _n ] ^T . En algunos casos especiales, como los coeficientes de la serie de Fourier de una función sinusoidal, este vector columna tiene dimensión finita. $${\displaystyle f(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}(t),}$$

Además, defina una representación matricial del operador lineal D con elementos $${\displaystyle A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt.}$$

Podemos escribir la función Df ( t ) como una combinación lineal de las funciones base o como D actuando sobre la expansión de f ( t ), $${\displaystyle Df(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}Du_{j}(t).}$$

Tomando el producto interno de cada lado de esta ecuación con una función base arbitraria u _i ( t ), $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\\c_{i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aligned}}}$$

Esta es la multiplicación de matrices Ab = c escrita en notación de suma y es un equivalente matricial del operador D que actúa sobre la función f ( t ) expresada en la base ortonormal. Si f ( t ) es una función propia de D con valor propio λ, entonces Ab = λb .

Valores propios y funciones propias de los operadores hermíticos

Muchos de los operadores que se encuentran en física son hermíticos . Supongamos que el operador lineal D actúa sobre un espacio de funciones que es un espacio de Hilbert con una base ortonormal dada por el conjunto de funciones { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, u _n ( t )}, donde n puede ser infinito. En esta base, el operador D tiene una representación matricial A con elementos integrados en un rango de interés para t denotado Ω. $${\displaystyle A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t).}$$

Por analogía con las matrices hermíticas , D es un operador hermítico si A _ij = A _ji *, o: ^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle u_{i},Du_{j}\rangle &=\langle Du_{i},u_{j}\rangle ,\\[-1pt]\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)&=\int _{\Omega }dt\ u_{j}(t)[Du_{i}(t)]^{*}.\end{aligned}}}$$

Consideremos el operador hermítico D con valores propios λ ₁ , λ ₂ , … y funciones propias correspondientes f ₁ ( t ), f ₂ ( t ), …. Este operador hermítico tiene las siguientes propiedades:

• Sus valores propios son reales, λ _i = λ _i * ^{[4] [6]}
• Sus funciones propias obedecen a una condición de ortogonalidad, si i ≠ j ^{[6] [7] [8]} ${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =0}$

La segunda condición siempre se cumple para λ _i ≠ λ _j . Para funciones propias degeneradas con el mismo valor propio λ _i , siempre se pueden elegir funciones propias ortogonales que abarquen el espacio propio asociado con λ _i , por ejemplo, utilizando el proceso de Gram-Schmidt . ^[5] Dependiendo de si el espectro es discreto o continuo, las funciones propias se pueden normalizar estableciendo el producto interno de las funciones propias igual a una delta de Kronecker o una función delta de Dirac , respectivamente. ^{[8] [9]}

Para muchos operadores hermíticos, en particular los operadores de Sturm-Liouville , una tercera propiedad es

• Sus funciones propias forman una base del espacio funcional en el que se define el operador ^[5]

Como consecuencia, en muchos casos importantes, las funciones propias del operador hermítico forman una base ortonormal. En estos casos, una función arbitraria puede expresarse como una combinación lineal de las funciones propias del operador hermítico.

Aplicaciones

Cuerdas vibrantes

La forma de una onda estacionaria en una cuerda fija en sus límites es un ejemplo de función propia de un operador diferencial. Los valores propios admisibles están determinados por la longitud de la cuerda y determinan la frecuencia de oscilación.

Sea h ( x , t ) el desplazamiento transversal de una cuerda elástica sometida a tensión, como las cuerdas vibrantes de un instrumento de cuerda , en función de la posición x a lo largo de la cuerda y del tiempo t . Aplicando las leyes de la mecánica a porciones infinitesimales de la cuerda, la función h satisface la ecuación diferencial parcial que se denomina ecuación de onda (unidimensional) . Aquí c es una velocidad constante que depende de la tensión y la masa de la cuerda. $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},}$$

Este problema se puede resolver mediante el método de separación de variables . Si suponemos que h ( x , t ) se puede escribir como el producto de la forma X ( x ) T ( t ) , podemos formar un par de ecuaciones diferenciales ordinarias: $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}X=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}X,\qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}T=-\omega ^{2}T.}$$

Cada una de ellas es una ecuación de valor propio con valores propios y − ω ² , respectivamente. Para cualquier valor de ω y c , las ecuaciones se satisfacen mediante las funciones donde los ángulos de fase φ y ψ son constantes reales arbitrarias. ${\textstyle -{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$ $${\displaystyle X(x)=\sin \left({\frac {\omega x}{c}}+\varphi \right),\qquad T(t)=\sin(\omega t+\psi ),}$$

Si imponemos condiciones de contorno, por ejemplo, que los extremos de la cuerda estén fijos en x = 0 y x = L , es decir, X (0) = X ( L ) = 0 , y que T (0) = 0 , restringimos los valores propios. Para estas condiciones de contorno, sin( φ ) = 0 y sin( ψ ) = 0 , por lo que los ángulos de fase φ = ψ = 0 , y $${\displaystyle \sin \left({\frac {\omega L}{c}}\right)=0.}$$

Esta última condición de contorno restringe a ω a tomar un valor ω _n = ⁠ncπ/yo⁠ , donde n es cualquier número entero. Por lo tanto, la cuerda sujeta soporta una familia de ondas estacionarias de la forma $${\displaystyle h(x,t)=\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin(\omega _{n}t).}$$

En el ejemplo de un instrumento de cuerda, la frecuencia ω _n es la frecuencia del n -ésimo armónico , que se llama ( n − 1) -ésimo sobretono .

Ecuación de Schrödinger

En mecánica cuántica , la ecuación de Schrödinger con el operador hamiltoniano se puede resolver mediante la separación de variables si el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo. ^[10] En ese caso, la función de onda Ψ( r , t ) = φ ( r ) T ( t ) conduce a las dos ecuaciones diferenciales, $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=H\Psi (\mathbf {r} ,t)}$$ $${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)}$$

Ambas ecuaciones diferenciales son ecuaciones de valor propio con valor propio E . Como se muestra en un ejemplo anterior, la solución de la ecuación ( 3 ) es la exponencial $${\displaystyle T(t)=e^{{-iEt}/{\hbar }}.}$$

La ecuación ( 2 ) es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Las funciones propias φ _k del operador hamiltoniano son estados estacionarios del sistema mecánico cuántico, cada uno con una energía correspondiente E _k . Representan estados de energía permisibles del sistema y pueden estar restringidos por condiciones de contorno.

El operador hamiltoniano H es un ejemplo de un operador hermítico cuyas funciones propias forman una base ortonormal. Cuando el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, las soluciones generales de la ecuación de Schrödinger son combinaciones lineales de los estados estacionarios multiplicados por la oscilatoria T ( t ) , ^[11] o, para un sistema con un espectro continuo, ${\textstyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}(\mathbf {r} )e^{{-iE_{k}t}/{\hbar }}}$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\int dE\,c_{E}\varphi _{E}(\mathbf {r} )e^{{-iEt}/{\hbar }}.}$$

El éxito de la ecuación de Schrödinger al explicar las características espectrales del hidrógeno se considera uno de los mayores triunfos de la física del siglo XX.

Señales y sistemas

En el estudio de señales y sistemas , una función propia de un sistema es una señal f ( t ) que, cuando se introduce en el sistema, produce una respuesta y ( t ) = λf ( t ) , donde λ es un valor propio escalar complejo. ^[12]

Véase también

• Valores propios y vectores propios
• Teorema de Hilbert-Schmidt
• Teoría espectral de ecuaciones diferenciales ordinarias
• Combinador de punto fijo
• Funciones propias de la transformada de Fourier

Notas

Citas

1. Davydov 1976, pág. 20.
2. Kusse y Westwig 1998, pág. 435.
3. Wasserman 2016.
4. Davydov 1976, pág. 21.
5. Kusse y Westwig 1998, pág. 437.
6. Kusse y Westwig 1998, pág. 436.
7. Davydov 1976, pág. 24.
8. Davydov 1976, pág. 29.
9. Davydov 1976, pág. 25.
10. Davydov 1976, pág. 51.
11. Davydov 1976, pág. 52.
12. Girod, Rabenstein y Stenger 2001, pág. 49.

Obras citadas

• Courant, Richard; Hilbert, David. Métodos de física matemática . Vol. 1. Wiley. ISBN 047150447-5.(Volumen 2: ISBN 047150439-4 ) 
• Davydov, AS (1976). Mecánica cuántica . Traducido, editado y con añadidos de D. ter Haar (2.ª ed.). Oxford: Pergamon Press. ISBN 008020438-4.
• Girod, Bernd ; Rabenstein, Rudolf; Stenger, Alejandro (2001). Señales y sistemas (2ª ed.). Wiley. ISBN 047198800-6.
• Kusse, Bruce; Westwig, Erik (1998). Física matemática . Nueva York: Wiley Interscience. ISBN 047115431-8.
• Wasserman, Eric W. (2016). "Eigenfunction". MathWorld . Wolfram Research . Consultado el 12 de abril de 2016 .

Enlaces externos

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