Linealidad

Propiedades de las relaciones matemáticas

En matemáticas, el término lineal se utiliza en dos sentidos distintos para dos propiedades diferentes:

• linealidad de una función (o aplicación );
• linealidad de un polinomio

Un ejemplo de función lineal es la función definida por que asigna la recta real a una recta en el plano euclidiano R ² que pasa por el origen. Un ejemplo de polinomio lineal en las variables y es ${\displaystyle f(x)=(ax,bx)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle aX+bY+cZ+d.}$

La linealidad de una aplicación está estrechamente relacionada con la proporcionalidad . Algunos ejemplos en física son la relación lineal entre el voltaje y la corriente en un conductor eléctrico ( ley de Ohm ) y la relación entre la masa y el peso . Por el contrario, las relaciones más complicadas, como la que existe entre la velocidad y la energía cinética , son no lineales .

Generalizado para funciones en más de una dimensión , la linealidad significa la propiedad de una función de ser compatible con la suma y el escalamiento , también conocido como principio de superposición .

La linealidad de un polinomio significa que su grado es menor que dos. El uso del término para los polinomios se debe al hecho de que la gráfica de un polinomio en una variable es una línea recta . En el término " ecuación lineal ", la palabra se refiere a la linealidad de los polinomios involucrados.

Dado que una función como esta se define mediante un polinomio lineal en su argumento, a veces también se la denomina "función lineal", y la relación entre el argumento y el valor de la función puede denominarse "relación lineal". Esto puede generar confusión, pero normalmente el significado pretendido quedará claro a partir del contexto. ${\displaystyle f(x)=ax+b}$

La palabra lineal viene del latín linearis , "perteneciente o parecido a una línea".

En matemáticas

Mapas lineales

En matemáticas, una función lineal o función lineal f ( x ) es una función que satisface las dos propiedades: ^[1]

• Aditividad : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) .
• Homogeneidad de grado 1: f (α x ) = α f ( x ) para todo α.

Estas propiedades se conocen como principio de superposición . En esta definición, x no es necesariamente un número real , sino que en general puede ser un elemento de cualquier espacio vectorial . En matemáticas elementales se utiliza una definición más especial de función lineal , que no coincide con la definición de aplicación lineal (véase más abajo).

La aditividad por sí sola implica homogeneidad para α racional , ya que implica para cualquier número natural n por inducción matemática , y luego implica . La densidad de los números racionales en los reales implica que cualquier función continua aditiva es homogénea para cualquier número real α y, por lo tanto, es lineal. ${\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}$ ${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$ ${\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}$ ${\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)}$

El concepto de linealidad se puede extender a los operadores lineales . Ejemplos importantes de operadores lineales incluyen la derivada considerada como un operador diferencial y otros operadores construidos a partir de ella, como del y el laplaciano . Cuando una ecuación diferencial se puede expresar en forma lineal, generalmente se puede resolver dividiendo la ecuación en partes más pequeñas, resolviendo cada una de esas partes y sumando las soluciones.

Polinomios lineales

En un uso diferente a la definición anterior, se dice que un polinomio de grado 1 es lineal, porque la gráfica de una función de esa forma es una línea recta. ^[2]

Sobre los números reales, un ejemplo sencillo de ecuación lineal viene dado por:

${\displaystyle y=mx+b\ }$

donde m a menudo se denomina pendiente o gradiente , y b intersección con el eje y , que da el punto de intersección entre la gráfica de la función y el eje y .

Obsérvese que este uso del término lineal no es el mismo que en la sección anterior, porque los polinomios lineales sobre los números reales en general no satisfacen ni la aditividad ni la homogeneidad. De hecho, lo hacen si y solo si el término constante – b en el ejemplo – es igual a 0. Si b ≠ 0 , la función se denomina función afín (véase con mayor generalidad transformación afín ).

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se ocupa de los sistemas de ecuaciones lineales.

Funciones booleanas

Diagrama de Hasse de una función booleana lineal

En álgebra de Boole , una función lineal es una función para la cual existen tales que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}$

${\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}$, dónde ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}$

Tenga en cuenta que si , la función anterior se considera afín en álgebra lineal (es decir, no lineal). ${\displaystyle a_{0}=1}$

Una función booleana es lineal si se cumple una de las siguientes condiciones para la tabla de verdad de la función :

1. En cada fila en la que el valor de verdad de la función es T , hay un número impar de T asignadas a los argumentos, y en cada fila en la que la función es F hay un número par de T asignadas a los argumentos. Específicamente, f (F, F, ..., F) = F , y estas funciones corresponden a aplicaciones lineales sobre el espacio vectorial booleano.
2. En cada fila en la que el valor de la función es T, hay un número par de T asignadas a los argumentos de la función; y en cada fila en la que el valor de verdad de la función es F, hay un número impar de T asignadas a los argumentos. En este caso, f (F, F, ..., F) = T .

Otra forma de expresar esto es que cada variable siempre hace una diferencia en el valor de verdad de la operación o nunca hace una diferencia.

La negación , la bicondicional lógica , la o excluyente , la tautología y la contradicción son funciones lineales.

Física

En física , la linealidad es una propiedad de las ecuaciones diferenciales que gobiernan muchos sistemas; por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell o la ecuación de difusión . ^[3]

La linealidad de una ecuación diferencial homogénea significa que si dos funciones f y g son soluciones de la ecuación, entonces cualquier combinación lineal af + bg también lo es.

En instrumentación, la linealidad significa que un cambio dado en una variable de entrada produce el mismo cambio en la salida del aparato de medición: esto es muy deseable en el trabajo científico. En general, los instrumentos son casi lineales en un rango determinado y son más útiles dentro de ese rango. En cambio, los sentidos humanos son altamente no lineales: por ejemplo, el cerebro ignora por completo la luz entrante a menos que supere un cierto umbral absoluto de fotones.

El movimiento lineal traza una trayectoria en línea recta.

Electrónica

En electrónica , la región de funcionamiento lineal de un dispositivo, por ejemplo un transistor , es donde una variable dependiente de la salida (como la corriente del colector del transistor ) es directamente proporcional a una variable dependiente de la entrada (como la corriente de base). Esto garantiza que una salida analógica sea una representación precisa de una entrada, típicamente con mayor amplitud (amplificada). Un ejemplo típico de equipo lineal es un amplificador de audio de alta fidelidad , que debe amplificar una señal sin cambiar su forma de onda. Otros son los filtros lineales , y los amplificadores lineales en general.

En la mayoría de las aplicaciones científicas y tecnológicas , a diferencia de las matemáticas, algo puede describirse como lineal si la característica es aproximadamente pero no exactamente una línea recta; y la linealidad puede ser válida solo dentro de una cierta región operativa; por ejemplo, un amplificador de alta fidelidad puede distorsionar una señal pequeña, pero lo suficientemente poco como para ser aceptable (linealidad aceptable pero imperfecta); y puede distorsionar muy gravemente si la entrada excede un cierto valor. ^[4]

Linealidad integral

Para un dispositivo electrónico (u otro dispositivo físico) que convierte una cantidad en otra cantidad, Bertram S. Kolts escribe: ^{[5] [6]}

Existen tres definiciones básicas de linealidad integral de uso común: linealidad independiente, linealidad basada en cero y linealidad terminal o de punto final. En cada caso, la linealidad define qué tan bien el rendimiento real del dispositivo en un rango operativo específico se aproxima a una línea recta. La linealidad generalmente se mide en términos de desviación o no linealidad con respecto a una línea recta ideal y generalmente se expresa en términos de porcentaje de la escala completa o en ppm (partes por millón) de la escala completa. Por lo general, la línea recta se obtiene realizando un ajuste de mínimos cuadrados de los datos. Las tres definiciones varían en la forma en que se coloca la línea recta en relación con el rendimiento real del dispositivo. Además, las tres definiciones ignoran cualquier ganancia o errores de compensación que puedan estar presentes en las características de rendimiento reales del dispositivo.

Véase también

• Actuador lineal
• Elemento lineal
• Pie lineal
• Sistema lineal
• Programación lineal
• Ecuación diferencial lineal
• Bilineal
• Multilineal
• Motor lineal
• Interpolación lineal

Referencias

1. Edwards, Harold M. (1995). Álgebra lineal. Springer. pág. 78. ISBN 9780817637316.
2. Stewart, James (2008). Cálculo: trascendentales tempranos , 6.ª ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8 , Sección 1.2 
3. Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales (PDF) , Graduate Studies in Mathematics , vol. 19 (2.ª ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , doi :10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR  2597943, archivado (PDF) del original el 2022-10-09
4. Whitaker, Jerry C. (2002). Manual de sistemas de transmisión por radiofrecuencia. CRC Press. ISBN 978-0-8493-0973-1.
5. Kolts, Bertram S. (2005). "Understanding Linearity and Monotonicity" (PDF) . analogZONE. Archivado desde el original (PDF) el 4 de febrero de 2012. Consultado el 24 de septiembre de 2014 .
6. Kolts, Bertram S. (2005). "Entendiendo la linealidad y la monotonía". Tecnología de medición electrónica extranjera . 24 (5): 30–31 . Consultado el 25 de septiembre de 2014 .

Enlaces externos

• La definición del diccionario de linealidad en Wikcionario