Aeroacústica

La aeroacústica es una rama de la acústica que estudia la generación de ruido a través del movimiento turbulento de fluidos o de fuerzas aerodinámicas que interactúan con superficies. La generación de ruido también puede estar asociada con flujos que varían periódicamente. Un ejemplo notable de este fenómeno son los tonos eólicos producidos por el viento que sopla sobre objetos fijos.

Aunque no se ha establecido una teoría científica completa de la generación de ruido por flujos aerodinámicos, la mayoría de los análisis aeroacústicos prácticos se basan en la llamada analogía aeroacústica , ^[1] propuesta por Sir James Lighthill en la década de 1950 mientras estaba en la Universidad de Manchester . ^{[2] [3]} mediante la cual las ecuaciones que gobiernan el movimiento del fluido se fuerzan a una forma que recuerda a la ecuación de onda de la acústica "clásica" (es decir, lineal) en el lado izquierdo con los términos restantes como fuentes en el lado derecho.

Historia

Se puede decir que la disciplina moderna de la aeroacústica se originó con la primera publicación de Lighthill ^{[2] [3]} a principios de la década de 1950, cuando la generación de ruido asociada con el motor a reacción comenzaba a ser objeto de escrutinio científico.

Ecuación de Lighthill

Lighthill ^[2] reorganizó las ecuaciones de Navier-Stokes , que gobiernan el flujo de un fluido viscoso compresible , en una ecuación de onda no homogénea , estableciendo así una conexión entre la mecánica de fluidos y la acústica . Esto a menudo se denomina "analogía de Lighthill" porque presenta un modelo para el campo acústico que no se basa, estrictamente hablando, en la física del ruido inducido/generado por el flujo, sino más bien en la analogía de cómo podrían representarse a través de las ecuaciones que gobiernan un fluido compresible.

Las ecuaciones de continuidad y de momento están dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {v} \right)&=0,\\{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \mathbf {v} \right)+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \mathbf {v} )&=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }},\end{aligned}}}$

donde es la densidad del fluido, es el campo de velocidad, es la presión del fluido y es el tensor de tensión viscosa. Nótese que es un tensor (ver también producto tensorial ). Diferenciando la ecuación de conservación de la masa con respecto al tiempo, tomando la divergencia de la última ecuación y restando esta última de la primera, llegamos a ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}=\nabla \cdot \left[\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \mathbf {v} )+\nabla p-\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}\right].}$

Restando , donde es la velocidad del sonido en el medio en su estado de equilibrio (o quietud), de ambos lados de la última ecuación se obtiene la célebre ecuación de Lighthill de aeroacústica, ${\displaystyle c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho }$ ${\displaystyle c_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho =\nabla \nabla :\mathbf {T} ,\quad \mathbf {T} =\rho \mathbf {v} \mathbf {v} +(p-c_{0}^{2}\rho )\mathbf {I} -{\boldsymbol {\tau }},}$

donde es el hessiano y es el llamado tensor de tensión de turbulencia de Lighthill para el campo acústico . La ecuación de Lighthill es una ecuación de onda no homogénea . Usando la notación de Einstein , la ecuación de Lighthill puede escribirse como ${\displaystyle \nabla \nabla }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho ={\frac {\partial ^{2}T_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad T_{ij}=\rho v_{i}v_{j}+(p-c_{0}^{2}\rho )\delta _{ij}-\tau _{ij}.}$

Cada uno de los términos de fuente acústica, es decir, los términos en , puede desempeñar un papel significativo en la generación de ruido dependiendo de las condiciones de flujo consideradas. El primer término describe el efecto inercial del flujo (o estrés de Reynolds, desarrollado por Osborne Reynolds ) mientras que el segundo término describe procesos de generación acústica no lineal y finalmente el último término corresponde a la generación/atenuación del sonido debido a fuerzas viscosas. ${\displaystyle T_{ij}}$ ${\displaystyle \rho v_{i}v_{j}}$ ${\displaystyle (p-c_{0}^{2}\rho )\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \tau _{ij}}$

En la práctica, se acostumbra a descuidar los efectos de la viscosidad en el fluido, ya que sus efectos son pequeños en problemas de generación de ruido turbulento, como el ruido de un jet. Lighthill ^[2] ofrece un análisis detallado de este tema.

En los estudios aeroacústicos, se realizan esfuerzos tanto teóricos como computacionales para resolver los términos de fuente acústica en la ecuación de Lighthill con el fin de realizar afirmaciones sobre los mecanismos relevantes de generación de ruido aerodinámico presentes. Finalmente, es importante darse cuenta de que la ecuación de Lighthill es exacta en el sentido de que no se han realizado aproximaciones de ningún tipo en su derivación.

Ecuación aeroacústica de Landau-Lifshitz

En su texto clásico sobre mecánica de fluidos , Landau y Lifshitz ^[4] derivan una ecuación aeroacústica análoga a la de Lighthill (es decir, una ecuación para el sonido generado por el movimiento " turbulento " de un fluido), pero para el flujo incompresible de un fluido no viscoso . La ecuación de onda no homogénea que obtienen es para la presión en lugar de para la densidad del fluido. Además, a diferencia de la ecuación de Lighthill, la ecuación de Landau y Lifshitz no es exacta; es una aproximación. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$

Si se permiten aproximaciones, una forma más sencilla (sin suponer necesariamente que el fluido es incompresible ) de obtener una aproximación a la ecuación de Lighthill es suponer que , donde y son la densidad y la presión (características) del fluido en su estado de equilibrio. Luego, al sustituir la relación supuesta entre presión y densidad en , obtenemos la ecuación (para un fluido no viscoso, σ = 0) ${\displaystyle p-p_{0}=c_{0}^{2}(\rho -\rho _{0})}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle (*)\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p={\frac {\partial ^{2}{\tilde {T}}_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad {\text{where}}\quad {\tilde {T}}_{ij}=\rho v_{i}v_{j}.}$

Y para el caso en que el fluido es de hecho incompresible, es decir (para alguna constante positiva ) en todas partes, entonces obtenemos exactamente la ecuación dada en Landau y Lifshitz, ^[4] es decir ${\displaystyle \rho =\rho _{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}{\hat {T}}_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad {\text{where}}\quad {\hat {T}}_{ij}=v_{i}v_{j}.}$

^{Lighthill [2]} sugiere una aproximación similar [en el contexto de la ecuación ], a saber , [véase la ecuación (7) en el último artículo]. ${\displaystyle (*)\,}$ ${\displaystyle T\approx \rho _{0}{\hat {T}}}$

Por supuesto, uno podría preguntarse si estamos justificados en suponer que . La respuesta es afirmativa, si el flujo satisface ciertos supuestos básicos. En particular, si y , entonces la relación supuesta se desprende directamente de la teoría lineal de las ondas sonoras (ver, por ejemplo, las ecuaciones de Euler linealizadas y la ecuación de onda acústica ). De hecho, la relación aproximada entre y que supusimos es solo una aproximación lineal a la ecuación barotrópica genérica de estado del fluido. ${\displaystyle p-p_{0}=c_{0}^{2}(\rho -\rho _{0})}$ ${\displaystyle \rho \ll \rho _{0}}$ ${\displaystyle p\ll p_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$

Sin embargo, incluso después de las deliberaciones anteriores, todavía no está claro si está justificado utilizar una relación inherentemente lineal para simplificar una ecuación de onda no lineal . No obstante, es una práctica muy común en acústica no lineal , como lo muestran los libros de texto sobre el tema: por ejemplo, Naugolnykh y Ostrovsky ^{[5] y Hamilton y Morfey [6]} .

Véase también

• Teoría acústica
• Arpa eólica
• Aeroacústica computacional

Referencias

1. Williams, JE Ffowcs, "La analogía acústica: treinta años después", IMA J. Appl. Math. 32 (1984), págs. 113-124.
2. MJ Lighthill, "Sobre el sonido generado aerodinámicamente. I. Teoría general", Proc. R. Soc. Lond. A 211 (1952) págs. 564-587.
3. MJ Lighthill, "Sobre el sonido generado aerodinámicamente. II. La turbulencia como fuente de sonido", Proc. R. Soc. Lond. A 222 (1954) págs. 1-32.
4. LD Landau y EM Lifshitz, Mecánica de fluidos 2da., Curso de Física teórica vol. 6, Butterworth-Heinemann (1987) §75.
5. K. Naugolnykh y L. Ostrovsky, Procesos de ondas no lineales en acústica , Cambridge Texts in Applied Mathematics vol. 9, Cambridge University Press (1998) cap. 1.
6. MF Hamilton y CL Morfey, "Ecuaciones modelo", Acústica no lineal , eds. MF Hamilton y DT Blackstock, Academic Press (1998) cap. 3.

Enlaces externos

• MJ Lighthill, "Sobre el sonido generado aerodinámicamente. I. Teoría general", Proc. R. Soc. Lond. A 211 (1952) págs. 564–587. Este artículo en JSTOR.
• MJ Lighthill, "Sobre el sonido generado aerodinámicamente. II. La turbulencia como fuente de sonido", Proc. R. Soc. Lond. A 222 (1954) págs. 1–32. Este artículo en JSTOR.
• LD Landau y EM Lifshitz, Mecánica de fluidos 2da., Curso de Física teórica vol. 6, Butterworth-Heinemann (1987) §75. ISBN  0-7506-2767-0 , Vista previa en Amazon.
• K. Naugolnykh y L. Ostrovsky, Procesos de ondas no lineales en acústica , Cambridge Texts in Applied Mathematics vol. 9, Cambridge University Press (1998) cap. 1. ISBN 0-521-39984-X , Vista previa de Google. 
• MF Hamilton y CL Morfey, "Model Equations", Nonlinear Acoustics , eds. MF Hamilton y DT Blackstock, Academic Press (1998), cap. 3. ISBN 0-12-321860-8 , Vista previa de Google. 
• Aeroacústica en la Universidad de Mississippi
• Aeroacústica en la Universidad de Lovaina
• Revista internacional de aeroacústica Archivado el 30 de octubre de 2005 en Wayback Machine.
• Ejemplos de aeroacústica de la NASA Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
• Aeroacústica.info