Ecuación de Wheeler-DeWitt

Ecuación de campo, parte de una teoría que intenta combinar la mecánica cuántica y la relatividad general.

La ecuación de Wheeler-DeWitt ^[1] para física teórica y matemáticas aplicadas , es una ecuación de campo atribuida a John Archibald Wheeler y Bryce DeWitt . La ecuación intenta combinar matemáticamente las ideas de la mecánica cuántica y la relatividad general , un paso hacia una teoría de la gravedad cuántica .

En este enfoque, el tiempo juega un papel diferente al que tiene en la mecánica cuántica no relativista, lo que conduce al llamado " problema del tiempo ". ^[2] Más específicamente, la ecuación describe la versión cuántica de la restricción hamiltoniana utilizando variables métricas. Sus relaciones de conmutación con las restricciones de difeomorfismo generan el "grupo" de Bergman-Komar (que es el grupo de difeomorfismo en la capa ).

Motivación y antecedentes

En la gravedad canónica , el espacio-tiempo se divide en subvariedades espaciales. La métrica tridimensional (es decir, la métrica en la hipersuperficie) es y está dada por En esa ecuación, los índices latinos recorren los valores 1, 2, 3, y los índices griegos recorren los valores 1, 2, 3, 4. La métrica tridimensional es el campo, y denotamos sus momentos conjugados como . El hamiltoniano es una restricción (característica de la mayoría de los sistemas relativistas) donde , y es la métrica de Wheeler-DeWitt. En notación sin índice, la métrica de Wheeler-DeWitt en el espacio de formas cuadráticas definidas positivas g en tres dimensiones es ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\,\mathrm {d} x^{\nu }=(-N^{2}+\beta _{k}\beta ^{k})\,\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{k}\,\mathrm {d} x^{k}\,\mathrm {d} t+\gamma _{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\,\mathrm {d} x^{j}.}$$ ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}G_{ijkl}\pi ^{ij}\pi ^{kl}-{\sqrt {\gamma }}\,{}^{(3)}\!R=0,}$$ ${\displaystyle \gamma =\det(\gamma _{ij})}$ ${\displaystyle G_{ijkl}=(\gamma _{ik}\gamma _{jl}+\gamma _{il}\gamma _{jk}-\gamma _{ij}\gamma _{kl})}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} ((g^{-1}dg)^{2})-(\operatorname {tr} (g^{-1}dg))^{2}.}$$

La cuantificación "pone sombreros" a las variables de momento y de campo; es decir, las funciones de números en el caso clásico se convierten en operadores que modifican la función de estado en el caso cuántico. Así obtenemos el operador Trabajando en el "espacio de posiciones", estos operadores son $${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}={\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\hat {G}}_{ijkl}{\hat {\pi }}^{ij}{\hat {\pi }}^{kl}-{\sqrt {\gamma }}\,{}^{(3)}\!{\hat {R}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\gamma }}_{ij}(t,x^{k})&\to \gamma _{ij}(t,x^{k}),\\{\hat {\pi }}^{ij}(t,x^{k})&\to -i{\frac {\delta }{\delta \gamma _{ij}(t,x^{k})}}.\end{aligned}}}$$

Se puede aplicar el operador a una función de onda general de la métrica donde , lo que daría un conjunto de restricciones entre los coeficientes . Esto significa que las amplitudes de los gravitones en ciertas posiciones están relacionadas con las amplitudes de un número diferente de gravitones en diferentes posiciones. O bien, se podría utilizar el formalismo de dos campos, tratándolos como un campo independiente, de modo que la función de onda sea . ${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}\Psi [\gamma ]=0,}$ $${\displaystyle \Psi [\gamma ]=a+\int \psi (x)\gamma (x)\,dx^{3}+\iint \psi (x,y)\gamma (x)\gamma (y)\,dx^{3}\,dy^{3}+\dots ,}$$ ${\displaystyle \psi (x,y,\dots )}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \omega (g)}$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ,\omega ]}$

Formalismo matemático

La ecuación de Wheeler-DeWitt ^[1] es una ecuación diferencial funcional . Está mal definida en el caso general, pero es muy importante en física teórica , especialmente en gravedad cuántica . Es una ecuación diferencial funcional en el espacio de métricas espaciales tridimensionales. La ecuación de Wheeler-DeWitt tiene la forma de un operador que actúa sobre un funcional de onda; el funcional se reduce a una función en cosmología. Al contrario del caso general, la ecuación de Wheeler-DeWitt está bien definida en minisuperespacios como el espacio de configuración de las teorías cosmológicas. Un ejemplo de una función de onda de este tipo es el estado de Hartle-Hawking . Bryce DeWitt publicó por primera vez esta ecuación en 1967 bajo el nombre de "ecuación de Einstein-Schrödinger"; más tarde se le cambió el nombre a "ecuación de Wheeler-DeWitt". ^[3]

Restricción hamiltoniana

En términos simples, la ecuación de Wheeler-DeWitt dice

${\displaystyle {\hat {H}}(x)|\psi \rangle =0,}$

donde es la restricción hamiltoniana en la relatividad general cuantizada y representa la función de onda del universo . A diferencia de la teoría cuántica de campos ordinaria o la mecánica cuántica, el hamiltoniano es una restricción de primera clase sobre los estados físicos. También tenemos una restricción independiente para cada punto en el espacio. ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Aunque los símbolos y pueden parecer familiares, su interpretación en la ecuación de Wheeler-DeWitt es sustancialmente diferente de la mecánica cuántica no relativista. ya no es una función de onda espacial en el sentido tradicional de una función de valor complejo que se define en una superficie tridimensional similar al espacio y se normaliza a la unidad. En cambio, es una funcional de configuraciones de campo en todo el espacio-tiempo. Esta función de onda contiene toda la información sobre la geometría y el contenido de materia del universo. sigue siendo un operador que actúa sobre el espacio de Hilbert de funciones de onda, pero no es el mismo espacio de Hilbert que en el caso no relativista, y el hamiltoniano ya no determina la evolución del sistema, por lo que la ecuación de Schrödinger ya no se aplica. Esta propiedad se conoce como atemporalidad. Se han realizado varios intentos de incorporar el tiempo en un marco completamente cuántico, comenzando con el "mecanismo de Page y Wootters" y otras propuestas posteriores. ^{[4] [5]} También se propuso que el resurgimiento del tiempo surge de correlaciones cuánticas entre un sistema en evolución y un sistema de reloj cuántico de referencia; se introduce el concepto de entrelazamiento sistema-tiempo como cuantificador de la evolución distinguible real sufrida por el sistema. ^{[6] [7]} ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar \partial /\partial t|\psi \rangle }$

Restricción de momento

También necesitamos aumentar la restricción hamiltoniana con restricciones de momento.

${\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}(x)|\psi \rangle =0}$

asociado con la invariancia del difeomorfismo espacial.

En las aproximaciones del minisuperespacio , solo tenemos una restricción hamiltoniana (en lugar de infinitas).

De hecho, el principio de covarianza general en la relatividad general implica que la evolución global per se no existe; el tiempo es sólo una etiqueta que asignamos a uno de los ejes de coordenadas. Por lo tanto, lo que consideramos como evolución temporal de cualquier sistema físico es sólo una transformación de calibre , similar a la de la QED inducida por la transformación de calibre local U(1) donde desempeña el papel del tiempo local. El papel de un hamiltoniano es simplemente restringir el espacio de los estados "cinemáticos" del Universo al de los estados "físicos", los que siguen órbitas de calibre. Por esta razón lo llamamos una "restricción hamiltoniana". Tras la cuantificación, los estados físicos se convierten en funciones de onda que se encuentran en el núcleo del operador hamiltoniano. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \psi \to e^{i\theta ({\vec {r}})}\psi ,}$ ${\displaystyle \theta ({\vec {r}})}$

En general, el hamiltoniano ^{[ aclaración necesaria ]} desaparece para una teoría con covarianza general o invariancia de escala temporal.

Véase también

• Formalismo ADM
• Restricción de difeomorfismo
• Gravedad cuántica euclidiana
• Cálculo de Regge
• Gravedad cuántica canónica
• Métrica de Peres
• Gravedad cuántica de bucles

Referencias

1. DeWitt, Bryce S. (25 de agosto de 1967). "Teoría cuántica de la gravedad. I. La teoría canónica". Physical Review . 160 (5): 1113–1148. Código Bibliográfico :1967PhRv..160.1113D. doi :10.1103/PhysRev.160.1113. ISSN  0031-899X.{{cite journal}}: CS1 maint: date and year (link)
2. "Experimento cuántico muestra cómo el tiempo 'emerge' del entrelazamiento". Medium . El blog de física de arXiv. 23 de octubre de 2013.
3. Rovelli, Carlo (23 de enero de 2001). Notas para una breve historia de la gravedad cuántica. Presentado en la 9.ª reunión de Marcel Grossmann en Roma, julio de 2000. arXiv : gr-qc/0006061 .{{cite book}}: CS1 maint: location (link) CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Page, Don N.; Wootters, William K. (15 de junio de 1983). "Evolución sin evolución: dinámica descrita por observables estacionarios". Physical Review D. 27 ( 12): 2885–2892. doi :10.1103/PhysRevD.27.2885. ISSN  0556-2821.
5. Rovelli, Carlo (15 de octubre de 1990). "Mecánica cuántica sin tiempo: un modelo". Physical Review D. 42 ( 8): 2638–2646. doi :10.1103/PhysRevD.42.2638. PMID  10013133.
6. Boette, A.; Rossignoli, R.; Gigena, N.; Cerezo, M. (27 de junio de 2016). "Enredo en tiempo de sistema en un modelo de tiempo discreto". Physical Review A . 93 (6): 062127. arXiv : 1512.07313 . doi :10.1103/PhysRevA.93.062127. ISSN  2469-9926. S2CID  119245348.
7. Boette, A.; Rossignoli, R. (12 de septiembre de 2018). "Estados históricos de sistemas y operadores". Physical Review A . 98 (3): 032108. arXiv : 1806.00956 . doi :10.1103/PhysRevA.98.032108. ISSN  2469-9926. S2CID  56101730.

• Hamber, Herbert W.; Williams, Ruth M. (18 de noviembre de 2011). "Ecuación discreta de Wheeler-DeWitt". Physical Review D . 84 (10): 104033. arXiv : 1109.2530 . Código Bibliográfico :2011PhRvD..84j4033H. doi :10.1103/PhysRevD.84.104033. ISSN  1550-7998. S2CID  4812404.{{cite journal}}: CS1 maint: date and year (link)
• Hamber, Herbert W.; Toriumi, Reiko; Williams, Ruth M. (2 de octubre de 2012). "Ecuación de Wheeler-DeWitt en 2 + 1 dimensiones". Revisión física D. 86 (8): 084010. arXiv : 1207.3759 . Código Bib : 2012PhRvD..86h4010H. doi : 10.1103/PhysRevD.86.084010. ISSN  1550-7998. S2CID  119229306.{{cite journal}}: CS1 maint: date and year (link)