Función cuadrática

Función polinómica de grado dos

En matemáticas , una función cuadrática de una sola variable es una función de la forma ^[1]

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0,}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ es su variable, y ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ , y ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ son coeficientes . La expresión ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c}$ , especialmente cuando se trata como un objeto en sí mismo en lugar de como una función, es un polinomio cuadrático , un polinomio de grado dos. En matemáticas elementales, un polinomio y su función polinómica asociada rara vez se distinguen y los términos función cuadrática y polinomio cuadrático son casi sinónimos y a menudo se abrevian como cuadrático .

Un polinomio cuadrático con dos raíces reales (cruces del eje x ).

La gráfica de una función cuadrática real de una sola variable es una parábola . Si una función cuadrática se iguala a cero, entonces el resultado es una ecuación cuadrática . Las soluciones de una ecuación cuadrática son los ceros (o raíces ) de la función cuadrática correspondiente, de las cuales puede haber dos, uno o cero. Las soluciones se describen mediante la fórmula cuadrática .

Un polinomio cuadrático o una función cuadrática pueden involucrar más de una variable. Por ejemplo, una función cuadrática de dos variables de las variables ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle y}$ tiene la forma

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f,}$

con al menos uno de ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ , y ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ distinto de cero. En general, los ceros de dicha función cuadrática describen una sección cónica (un círculo u otra elipse , una parábola o una hipérbola ) en el plano ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ – ⁠ ⁠ ${\displaystyle y}$ . Una función cuadrática puede tener un número arbitrario de variables. El conjunto de sus ceros forma una cuádrica , que es una superficie en el caso de tres variables y una hipersuperficie en el caso general.

Etimología

El adjetivo cuadrático proviene de la palabra latina quadrātum (" cuadrado "). Un término elevado a la segunda potencia como ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x^{2}}$ se llama cuadrado en álgebra porque es el área de un cuadrado con lado ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ .

Terminología

Coeficientes

Los coeficientes de una función cuadrática a menudo se toman como números reales o complejos , pero pueden tomarse en cualquier anillo , en cuyo caso el dominio y el codominio son este anillo (ver evaluación de polinomios ).

Grado

Cuando se utiliza el término "polinomio cuadrático", los autores a veces quieren decir "que tiene un grado exactamente 2" y a veces "que tiene un grado como máximo de 2". Si el grado es menor que 2, esto puede llamarse un " caso degenerado ". Por lo general, el contexto establecerá a cuál de los dos se refiere.

A veces, la palabra "orden" se utiliza con el significado de "grado", por ejemplo, un polinomio de segundo orden. Sin embargo, cuando el "grado de un polinomio" se refiere al grado más alto de un término distinto de cero del polinomio, lo más habitual es que "orden" se refiera al grado más bajo de un término distinto de cero de una serie de potencias .

Variables

Un polinomio cuadrático puede involucrar una sola variable x (el caso univariado) o múltiples variables como x , y y z (el caso multivariado).

El caso de una variable

Cualquier polinomio cuadrático de una sola variable puede escribirse como

${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$

donde x es la variable y a , b y c representan los coeficientes . Dichos polinomios surgen a menudo en una ecuación cuadrática. Las soluciones de esta ecuación se denominan raíces y se pueden expresar en términos de los coeficientes como la fórmula cuadrática . Cada polinomio cuadrático tiene una función cuadrática asociada, cuyo gráfico es una parábola . ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

Casos bivariados y multivariados

Cualquier polinomio cuadrático con dos variables puede escribirse como

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,}$

donde x e y son las variables y a , b , c , d , e , f son los coeficientes, y uno de a , b y c es distinto de cero. Dichos polinomios son fundamentales para el estudio de las secciones cónicas , ya que la ecuación implícita de una sección cónica se obtiene igualando a cero un polinomio cuadrático, y los ceros de una función cuadrática forman una sección cónica (posiblemente degenerada).

De manera similar, los polinomios cuadráticos con tres o más variables corresponden a superficies cuadráticas o hipersuperficies .

Los polinomios cuadráticos que sólo tienen términos de grado dos se denominan formas cuadráticas .

Formas de una función cuadrática univariante

Una función cuadrática univariante se puede expresar en tres formatos: ^[2]

• ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ se llama forma estándar ,
• ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$se llama forma factorizada , donde r ₁ y r ₂ son las raíces de la función cuadrática y las soluciones de la ecuación cuadrática correspondiente.
• ${\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}$se llama forma de vértice , donde h y k son las coordenadas x e y del vértice, respectivamente.

El coeficiente a es el mismo valor en las tres formas. Para convertir la forma estándar a la forma factorizada , solo se necesita la fórmula cuadrática para determinar las dos raíces r ₁ y r ₂ . Para convertir la forma estándar a la forma de vértice , se necesita un proceso llamado completar el cuadrado . Para convertir la forma factorizada (o forma de vértice) a la forma estándar, se necesita multiplicar, expandir y/o distribuir los factores.

Gráfica de la función univariante

${\displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}}$

Independientemente del formato, el gráfico de una función cuadrática univariante es una parábola (como se muestra a la derecha). De manera equivalente, este es el gráfico de la ecuación cuadrática bivariante . ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

• Si a > 0 , la parábola se abre hacia arriba.
• Si a < 0 , la parábola se abre hacia abajo.

El coeficiente a controla el grado de curvatura del gráfico; una magnitud mayor de a le da al gráfico una apariencia más cerrada (con una curva pronunciada).

Los coeficientes b y a juntos controlan la ubicación del eje de simetría de la parábola (también la coordenada x del vértice y el parámetro h en la forma del vértice) que está en

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}$

El coeficiente c controla la altura de la parábola; más específicamente, es la altura de la parábola donde intercepta el eje y .

Vértice

El vértice de una parábola es el lugar donde gira; por lo tanto, también se le llama punto de giro . Si la función cuadrática está en forma de vértice, el vértice es ( h , k ) . Usando el método de completar el cuadrado, se puede girar la forma estándar

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

en

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}}$

Entonces el vértice, ( h , k ) , de la parábola en forma estándar es

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$^{[ cita requerida ]}

Si la función cuadrática está en forma factorizada

${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$

el promedio de las dos raíces, es decir,

${\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}}$

es la coordenada x del vértice, y por lo tanto el vértice ( h , k ) es

${\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).}$

El vértice es también el punto máximo si a < 0 , o el punto mínimo si a > 0 .

La línea vertical

${\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}$

que pasa por el vértice es también el eje de simetría de la parábola.

Puntos máximos y mínimos

Utilizando el cálculo , el punto vértice, al ser un máximo o mínimo de la función, se puede obtener encontrando las raíces de la derivada :

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b}$

x es una raíz de f '( x ) si f '( x ) = 0 resultando en

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$

con el valor de función correspondiente

${\displaystyle f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}},}$

De nuevo, las coordenadas del punto de vértice, ( h , k ) , se pueden expresar como

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$

Raíces de la función univariante

Gráfica de y = ax ² + bx + c , donde a y el discriminante b ² − 4 ac son positivos, con

• Raíces e intersección con el eje y en rojo
• Vértice y eje de simetría en azul
• Foco y directriz en color rosa

Visualización de las raíces complejas de y = ax ² + bx + c : la parábola se gira 180° alrededor de su vértice ( naranja ). Sus puntos de corte con el eje x se giran 90° alrededor de su punto medio y el plano cartesiano se interpreta como el plano complejo ( verde ). ^[3]

Raíces exactas

Las raíces (o ceros ), r ₁ y r ₂ , de la función cuadrática univariante

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}}$

son los valores de x para los cuales f ( x ) = 0 .

Cuando los coeficientes a , b y c son reales o complejos , las raíces son

${\displaystyle r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Límite superior de la magnitud de las raíces

El módulo de las raíces de una ecuación cuadrática no puede ser mayor que donde es la proporción áurea ^[4] ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle {\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

La raíz cuadrada de una función cuadrática univariante

La raíz cuadrada de una función cuadrática univariante da lugar a una de las cuatro secciones cónicas, casi siempre a una elipse o a una hipérbola .

Si entonces la ecuación describe una hipérbola, como se puede ver elevando al cuadrado ambos lados. Las direcciones de los ejes de la hipérbola están determinadas por la ordenada del punto mínimo de la parábola correspondiente. Si la ordenada es negativa, entonces el eje mayor de la hipérbola (a través de sus vértices) es horizontal, mientras que si la ordenada es positiva, entonces el eje mayor de la hipérbola es vertical. ${\displaystyle a>0,}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c.}$

Si la ecuación describe un círculo, una elipse o nada, si la ordenada del punto máximo de la parábola correspondiente es positiva, su raíz cuadrada describe una elipse, pero si la ordenada es negativa, describe un lugar geométrico vacío de puntos. ${\displaystyle a<0,}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c}$

Iteración

Para iterar una función , se aplica la función repetidamente, utilizando la salida de una iteración como entrada para la siguiente. ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

No siempre se puede deducir la forma analítica de , lo que significa la n ^-ésima iteración de . (El superíndice se puede extender a números negativos, haciendo referencia a la iteración de la inversa de si la inversa existe). Pero hay algunos casos analíticamente manejables . ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Por ejemplo, para la ecuación iterativa

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c}$

Uno tiene

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),}$

dónde

${\displaystyle g(x)=ax^{2}}$y ${\displaystyle h(x)=x-c.}$

Entonces, por inducción,

${\displaystyle f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))}$

se puede obtener, donde se puede calcular fácilmente como ${\displaystyle g^{(n)}(x)}$

${\displaystyle g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.}$

Finalmente, tenemos

${\displaystyle f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c}$

como la solución.

Consulte Conjugación topológica para obtener más detalles sobre la relación entre f y g . Y consulte Polinomio cuadrático complejo para conocer el comportamiento caótico en la iteración general.

El mapa logístico

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1}$

con parámetro 2< r < 4 se puede resolver en ciertos casos, uno de los cuales es caótico y otro no. En el caso caótico r = 4 la solución es

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

donde el parámetro de condición inicial está dado por . Para racional , después de un número finito de iteraciones se asigna a una secuencia periódica. Pero casi todos son irracionales y, para irracional , nunca se repite a sí mismo – es no periódico y exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales , por lo que se dice que es caótico. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{n}}$

La solución del mapa logístico cuando r = 2 es

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}}$

para . Dado que para cualquier valor de distinto del punto fijo inestable 0, el término tiende a 0 cuando n tiende a infinito, por lo que tiende al punto fijo estable ${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$ ${\displaystyle (1-2x_{0})\in (-1,1)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle (1-2x_{0})^{2^{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$

Función cuadrática bivariada (dos variables)

Una función cuadrática bivariada es un polinomio de segundo grado de la forma

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,}$

donde A, B, C, D y E son coeficientes fijos y F es el término constante. Una función de este tipo describe una superficie cuadrática . La igualación a cero describe la intersección de la superficie con el plano que es un lugar geométrico de puntos equivalente a una sección cónica . ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle z=0,}$

Mínimo/máximo

Si la función no tiene máximo ni mínimo; su gráfica forma un paraboloide hiperbólico . ${\displaystyle 4AB-E^{2}<0,}$

Si la función tiene un mínimo si A > 0 y B > 0 y un máximo si A < 0 y B < 0 su gráfica forma un paraboloide elíptico. En este caso el mínimo o máximo se da en donde: ${\displaystyle 4AB-E^{2}>0,}$ ${\displaystyle (x_{m},y_{m}),}$

${\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},}$

${\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.}$

Si y la función no tiene máximo ni mínimo; su gráfica forma un cilindro parabólico . ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0}$ ${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0,}$

Si y la función alcanza el máximo/mínimo en una línea (un mínimo si A > 0 y un máximo si A < 0); su gráfica forma un cilindro parabólico. ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0}$ ${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0,}$

Véase también

• Forma cuadrática
• Ecuación cuadrática
• Representación matricial de secciones cónicas
• Cuadrárica
• Puntos periódicos de aplicaciones cuadráticas complejas
• Lista de funciones matemáticas

Referencias

1. Weisstein, Eric Wolfgang. "Ecuación cuadrática". MathWorld . Consultado el 6 de enero de 2013 .
2. Hughes Hallett, Deborah J .; Connally, Eric; McCallum, William George (2007). Álgebra universitaria . John Wiley & Sons Inc. , pág. 205. ISBN 9780471271758.
3. "Raíces complejas hechas visibles: datos curiosos sobre matemáticas" . Consultado el 1 de octubre de 2016 .
4. Lord, Nick (1 de noviembre de 2007). «Límites áureos para las raíces de ecuaciones cuadráticas». The Mathematical Gazette . 91 (522): 549 – vía JSTOR .

• Glencoe, McGraw-Hill. Álgebra 1. ISBN 9780078250835.
• Saxon, John H. Álgebra 2 . ISBN 9780939798629.