Anillo noetheriano

Anillo matemático con ideales bien comportados

En matemáticas , un anillo noetheriano es un anillo que satisface la condición de cadena ascendente en ideales izquierdos y derechos ; si la condición de cadena se satisface solo para ideales izquierdos o para ideales derechos, entonces el anillo se dice noetheriano-izquierdo o noetheriano-derecho respectivamente. Es decir, toda secuencia creciente de ideales izquierdos (o derechos) tiene un elemento mayor; es decir, existe un n tal que: ${\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots .}$

De manera equivalente, un anillo es noetheriano por izquierda (o por derecha, respectivamente) si cada ideal por izquierda (o ideal por derecha, respectivamente) se genera de manera finita . Un anillo es noetheriano si es tanto noetheriano por izquierda como por derecha.

Los anillos noetherianos son fundamentales tanto en la teoría de anillos conmutativos como en la no conmutativa , ya que muchos anillos que se encuentran en matemáticas son noetherianos (en particular, el anillo de números enteros , los anillos polinomiales y los anillos de números enteros algebraicos en cuerpos numéricos ), y muchos teoremas generales sobre anillos dependen en gran medida de la propiedad noetheriana (por ejemplo, el teorema de Lasker-Noether y el teorema de intersección de Krull ).

Los anillos noetherianos reciben su nombre de Emmy Noether , pero la importancia del concepto fue reconocida anteriormente por David Hilbert , con la prueba del teorema de la base de Hilbert (que afirma que los anillos polinomiales son noetherianos) y el teorema de sicigia de Hilbert .

Caracterizaciones

Para los anillos no conmutativos , es necesario distinguir tres conceptos muy similares:

• Un anillo es noetheriano-izquierdista si satisface la condición de cadena ascendente en ideales izquierdos.
• Un anillo es noetheriano derecho si satisface la condición de cadena ascendente en ideales rectos.
• Un anillo es noetheriano si es noetheriano tanto izquierdo como derecho.

En el caso de los anillos conmutativos , los tres conceptos coinciden, pero en general son diferentes. Hay anillos que son noetherianos por la izquierda y no por la derecha, y viceversa.

Existen otras definiciones equivalentes para que un anillo R sea noetheriano por la izquierda:

• Todo ideal izquierdo I en R es finitamente generado , es decir, existen elementos en I tales que . ^[1] ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}}$
• Todo conjunto no vacío de ideales izquierdos de R , parcialmente ordenado por inclusión, tiene un elemento máximo . ^[1]

Se obtienen resultados similares para los anillos noetherianos derechos.

La siguiente condición también es una condición equivalente para que un anillo R sea noetheriano por izquierda y es la formulación original de Hilbert : ^[2]

• Dada una secuencia de elementos en R , existe un entero tal que cada uno es una combinación lineal finita con coeficientes en R . ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\textstyle f_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{j}f_{j}}$ ${\displaystyle r_{j}}$

Para que un anillo conmutativo sea noetheriano basta con que cada ideal primo del anillo sea finitamente generado. ^[3] Sin embargo, no basta con pedir que todos los ideales máximos sean finitamente generados, pues existe un anillo local no noetheriano cuyo ideal máximo es principal (véase un contraejemplo del teorema de intersección de Krull en Anillo local#Caso conmutativo ).

Propiedades

• Si R es un anillo noetheriano, entonces el anillo polinómico es noetheriano según el teorema de la base de Hilbert . Por inducción , es un anillo noetheriano. Además, R [[ X ]] , el anillo de series de potencias , es un anillo noetheriano. ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$
• Si R es un anillo noetheriano e I es un ideal bilateral, entonces el anillo cociente R / I también es noetheriano. Dicho de otro modo, la imagen de cualquier homomorfismo de anillo sobreyectivo de un anillo noetheriano es noetheriana.
• Toda álgebra conmutativa finitamente generada sobre un anillo noetheriano conmutativo es noetheriana (esto se desprende de las dos propiedades anteriores).
• Un anillo R es noetheriano por izquierda si y solo si cada módulo R por izquierda finitamente generado es un módulo noetheriano .
• Si un anillo conmutativo admite un módulo noetheriano fiel sobre él, entonces el anillo es un anillo noetheriano. ^[4]
• ( Eakin–Nagata ) Si un anillo A es un subanillo de un anillo noetheriano conmutativo B tal que B es un módulo finitamente generado sobre A , entonces A es un anillo noetheriano. ^[5]
• De manera similar, si un anillo A es un subanillo de un anillo noetheriano conmutativo B tal que B es fielmente plano sobre A (o más generalmente exhibe a A como un subanillo puro ), entonces A es un anillo noetheriano (ver el artículo "fielmente plano" para el razonamiento).
• Cada localización de un anillo noetheriano conmutativo es noetheriana.
• Una consecuencia del teorema de Akizuki–Hopkins–Levitzki es que todo anillo artiniano izquierdo es noetheriano izquierdo. Otra consecuencia es que un anillo artiniano izquierdo es noetheriano derecho si y solo si es artiniano derecho. Las afirmaciones análogas con "derecho" e "izquierdo" intercambiados también son verdaderas.
• Un anillo noetheriano izquierdo es coherente a la izquierda y un dominio noetheriano izquierdo es un dominio de Ore izquierdo .
• (Bajo) Un anillo es noetheriano (izquierdo/derecho) si y solo si cada suma directa de módulos inyectivos (izquierdo/derecho) es inyectiva. Cada módulo inyectivo izquierdo sobre un módulo noetheriano izquierdo puede descomponerse como una suma directa de módulos inyectivos indecomponibles . ^[6] Véase también #Implicación sobre módulos inyectivos a continuación.
• En un anillo noetheriano conmutativo, solo hay un número finito de ideales primos mínimos . Además, la condición de cadena descendente se cumple para los ideales primos.
• En un dominio noetheriano conmutativo R , cada elemento puede factorizarse en elementos irreducibles (en resumen, R es un dominio de factorización ). Por lo tanto, si, además, la factorización es única hasta la multiplicación de los factores por unidades , entonces R es un dominio de factorización único .

Ejemplos

• Cualquier campo, incluidos los campos de números racionales , números reales y números complejos , es noetheriano. (Un campo solo tiene dos ideales: él mismo y (0).)
• Cualquier anillo de ideales principales , como los números enteros, es noetheriano, ya que cada ideal es generado por un único elemento. Esto incluye los dominios de ideales principales y los dominios euclidianos .
• Un dominio de Dedekind (por ejemplo, anillos de números enteros ) es un dominio noetheriano en el que cada ideal es generado por como máximo dos elementos.
• El anillo de coordenadas de una variedad afín es un anillo noetheriano, como consecuencia del teorema de la base de Hilbert.
• El álgebra envolvente U de un álgebra de Lie de dimensión finita es un anillo noetheriano tanto izquierdo como derecho; esto se desprende del hecho de que el anillo graduado asociado de U es un cociente de , que es un anillo polinomial sobre un cuerpo (el teorema PBW ); por lo tanto, noetheriano. ^[7] Por la misma razón, el álgebra de Weyl , y anillos más generales de operadores diferenciales , son noetherianos. ^[8] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}})}$
• El anillo de polinomios en un número finito de variables sobre los números enteros o un cuerpo es noetheriano.

Los anillos que no son noetherianos tienden a ser (en cierto sentido) muy grandes. A continuación se muestran algunos ejemplos de anillos no noetherianos:

• El anillo de polinomios con infinitas variables, X ₁ , X ₂ , X ₃ , etc. La secuencia de ideales ( X ₁ ), ( X ₁ , X ₂ ), ( X ₁ , X ₂ , X ₃ ), etc. es ascendente y no termina.
• El anillo de todos los números enteros algebraicos no es noetheriano. Por ejemplo, contiene la cadena infinita ascendente de ideales principales: (2), (2 ^1/2 ), (2 ^1/4 ), (2 ^1/8 ), ...
• El anillo de funciones continuas de los números reales a los números reales no es noetheriano: Sea I _n el ideal de todas las funciones continuas f tales que f ( x ) = 0 para todo x ≥ n . La sucesión de ideales I ₀ , I ₁ , I ₂ , etc., es una cadena ascendente que no termina.
• El anillo de grupos de homotopía estables de esferas no es noetheriano. ^[9]

Sin embargo, un anillo no noetheriano puede ser un subanillo de un anillo noetheriano. Dado que cualquier dominio integral es un subanillo de un cuerpo, cualquier dominio integral que no sea noetheriano proporciona un ejemplo. Para dar un ejemplo menos trivial,

• El anillo de funciones racionales generadas por x e y  / x ⁿ sobre un cuerpo k es un subanillo del campo k ( x , y ) en sólo dos variables.

De hecho, hay anillos que son noetherianos derechos, pero no noetherianos izquierdistas, por lo que hay que tener cuidado al medir el "tamaño" de un anillo de esta manera. Por ejemplo, si L es un subgrupo de Q ² isomorfo a Z , sea R el anillo de homomorfismos f de Q ² a sí mismo que satisface f ( L ) ⊂ L . Eligiendo una base, podemos describir el mismo anillo R como

${\displaystyle R=\left\{\left.{\begin{bmatrix}a&\beta \\0&\gamma \end{bmatrix}}\,\right\vert \,a\in \mathbf {Z} ,\beta \in \mathbf {Q} ,\gamma \in \mathbf {Q} \right\}.}$

Este anillo es noetheriano derecho, pero no noetheriano izquierdista; el subconjunto I ⊂ R que consiste en elementos con a = 0 y γ = 0 es un ideal izquierdo que no se genera finitamente como un módulo R izquierdo .

Si R es un subanillo conmutativo de un anillo noetheriano izquierdo S , y S se genera finitamente como un R -módulo izquierdo, entonces R es noetheriano. ^[10] (En el caso especial cuando S es conmutativo, esto se conoce como el teorema de Eakin ). Sin embargo, esto no es cierto si R no es conmutativo: el anillo R del párrafo anterior es un subanillo del anillo noetheriano izquierdo S = Hom( Q ² , Q ² ), y S se genera finitamente como un R -módulo izquierdo, pero R no es noetheriano izquierdo.

Un dominio de factorización único no es necesariamente un anillo noetheriano. Satisface una condición más débil: la condición de cadena ascendente en ideales principales . Un anillo de polinomios con infinitas variables es un ejemplo de un dominio de factorización único no noetheriano.

Un anillo de valoración no es noetheriano a menos que sea un dominio ideal principal. Se trata de un ejemplo de un anillo que surge de forma natural en la geometría algebraica pero que no es noetheriano.

Anillos del grupo noetheriano

Consideremos el anillo de grupo de un grupo sobre un anillo . Es un anillo y un álgebra asociativa sobre si es conmutativo . Para un grupo y un anillo conmutativo , las dos condiciones siguientes son equivalentes. ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$

• El anillo es noetheriano-izquierdista. ${\displaystyle R[G]}$
• El anillo es de tipo noetheriano derecho. ${\displaystyle R[G]}$

Esto se debe a que existe una biyección entre los ideales izquierdo y derecho del anillo de grupo en este caso, a través del homomorfismo del álgebra asociativa . ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R[G]\to R[G]^{\operatorname {op} },}$

${\displaystyle g\mapsto g^{-1}\qquad (\forall g\in G).}$

Sea un grupo y un anillo. Si es noetheriano izquierdo/derecho/bilateral, entonces es noetheriano izquierdo/derecho/bilateral y es un grupo noetheriano . Por el contrario, si es un anillo conmutativo noetheriano y es una extensión de un grupo resoluble noetheriano (es decir, un grupo policíclico ) por un grupo finito , entonces es noetheriano bilateral. Por otro lado, sin embargo, existe un grupo noetheriano cuyo anillo de grupo sobre cualquier anillo conmutativo noetheriano no es noetheriano bilateral. ^{[11] : 423, Teorema 38.1} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle G}$

Teoremas clave

Muchos teoremas importantes en la teoría de anillos (especialmente la teoría de anillos conmutativos ) se basan en el supuesto de que los anillos son noetherianos.

Caso conmutativo

• Sobre un anillo noetheriano conmutativo, cada ideal tiene una descomposición primaria , lo que significa que puede escribirse como una intersección de un número finito de ideales primarios (cuyos radicales son todos distintos) donde un ideal Q se llama primario si es propio y siempre que xy ∈ Q , o bien x ∈ Q o bien y ⁿ ∈ Q para algún entero positivo n . Por ejemplo, si un elemento es un producto de potencias de elementos primos distintos, entonces y por tanto la descomposición primaria es una generalización directa de la factorización prima de números enteros y polinomios. ^[12] ${\displaystyle f=p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{r}^{n_{r}}}$ ${\displaystyle (f)=(p_{1}^{n_{1}})\cap \cdots \cap (p_{r}^{n_{r}})}$
• Un anillo noetheriano se define en términos de cadenas ascendentes de ideales. El lema de Artin-Rees , por otro lado, brinda cierta información sobre una cadena descendente de ideales dada por potencias de ideales . Es una herramienta técnica que se utiliza para demostrar otros teoremas clave como el teorema de intersección de Krull . ${\displaystyle I\supseteq I^{2}\supseteq I^{3}\supseteq \cdots }$
• La teoría dimensional de los anillos conmutativos se comporta mal con anillos no noetherianos; el teorema fundamental, el teorema del ideal principal de Krull , ya se basa en el supuesto "noetheriano". En este caso, de hecho, el supuesto "noetheriano" a menudo no es suficiente y, en su lugar, se utilizan a menudo anillos catenarios universales (noetherianos) , aquellos que satisfacen un cierto supuesto teórico dimensional. Los anillos noetherianos que aparecen en las aplicaciones son, en su mayoría, catenarios universales.

Caso no conmutativo

• Teorema de Goldie

Implicación en módulos inyectivos

Dado un anillo, existe una estrecha relación entre los comportamientos de los módulos inyectivos sobre el anillo y si el anillo es un anillo noetheriano o no. Es decir, dado un anillo R , los siguientes son equivalentes:

• R es un anillo noetheriano izquierdo.
• (Bajo) Cada suma directa de módulos R inyectivos izquierdos es inyectiva. ^[6]
• Cada módulo R inyectivo izquierdo es una suma directa de módulos inyectivos indecomponibles . ^[13]
• (Faith–Walker) Existe un número cardinal tal que cada módulo izquierdo inyectivo sobre R es una suma directa de módulos -generados (un módulo es -generado si tiene un conjunto generador de cardinalidad como máximo ). ^[14] ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$
• Existe un módulo R izquierdo H tal que cada módulo R izquierdo se integra en una suma directa de copias de H. ^[15 ]

El anillo de endomorfismo de un módulo inyectivo indecomponible es local ^[16] y por lo tanto el teorema de Azumaya dice que, sobre un anillo noetheriano izquierdo, cada descomposición indecomponible de un módulo inyectivo es equivalente a otra (una variante del teorema de Krull-Schmidt ).

Véase también

• Esquema noetheriano
• Anillo artiniano

Notas

1. Lam (2001), pág. 19
2. Eisenbud 1995, Ejercicio 1.1.
3. Cohen, Irvin S. (1950). "Anillos conmutativos con condición mínima restringida". Duke Mathematical Journal . 17 (1): 27–42. doi :10.1215/S0012-7094-50-01704-2. ISSN  0012-7094.
4. Matsumura 1989, Teorema 3.5.
5. Matsumura 1989, Teorema 3.6.
6. Anderson & Fuller 1992, Proposición 18.13.
7. Bourbaki 1989, Cap. III, §2, núm. 10, Observaciones al final del número
8. Hotta, Takeuchi y Tanisaki (2008, §D.1, Proposición 1.4.6)
9. El anillo de grupos de homotopía estables de esferas no es noetheriano
10. Formanek y Jategaonkar 1974, Teorema 3
11. Ol'shanskiĭ, Aleksandr Yur'evich (1991). Geometría de las relaciones definitorias en grupos . Matemáticas y sus aplicaciones. Serie soviética. Vol. 70. Traducido por Bakhturin, Yu. A. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. doi :10.1007/978-94-011-3618-1. ISBN 978-0-7923-1394-6. ISSN  0169-6378. SEÑOR  1191619. Zbl  0732.20019.
12. Eisenbud 1995, Proposición 3.11.
13. Anderson y Fuller 1992, Teorema 25.6. (b)
14. Anderson y Fuller 1992, Teorema 25.8.
15. Anderson y Fuller 1992, Corolario 26.3.
16. Anderson y Fuller 1992, Lema 25.4.

Referencias

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Graduate Texts in Mathematics , vol. 13 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, Sr.  1245487
• Atiyah, MF, MacDonald, IG (1969). Introducción al álgebra conmutativa. Addison-Wesley-Longman. ISBN 978-0-201-40751-8 
• Bourbaki, Nicolás (1989). Álgebra conmutativa: capítulos 1-7. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-19371-7.
• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 150. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN . 0-387-94268-8.
• Formanek, Edward ; Jategaonkar, Arun Vinayak (1974). "Subanillos de anillos noetherianos". Actas de la American Mathematical Society . 46 (2): 181–186. doi : 10.2307/2039890 . JSTOR  2039890.
• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), Módulos D, haces perversos y teoría de la representación , Progress in Mathematics, vol. 236, Birkhäuser, doi :10.1007/978-0-8176-4523-6, ISBN 978-0-8176-4363-8, MR  2357361, Zbl  1292.00026
• Lam, Tsit Yuen (2001). Un primer curso sobre anillos no conmutativos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 131 (2.ª ed.). Nueva York: Springer. p. 19. doi :10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN . 0387951830.Señor 1838439  .
• Capítulo X de Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera edición), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6

Enlaces externos

• "Anillo noetheriano", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]