Doblar

Deformación causada por una carga externa.

Flexión de una viga I

En mecánica aplicada , la flexión (también conocida como flexión ) caracteriza el comportamiento de un elemento estructural esbelto sometido a una carga externa aplicada perpendicularmente a un eje longitudinal del elemento.

Se supone que el elemento estructural es tal que al menos una de sus dimensiones es una pequeña fracción, típicamente 1/10 o menos, de las otras dos. ^[1] Cuando la longitud es considerablemente mayor que el ancho y el espesor, el elemento se denomina viga . Por ejemplo, la barra de un armario que se hunde bajo el peso de la ropa en las perchas es un ejemplo de una viga que se dobla. Por otro lado, una concha es una estructura de cualquier forma geométrica donde la longitud y el ancho son del mismo orden de magnitud pero el espesor de la estructura (conocida como 'pared') es considerablemente menor. Un tubo corto de gran diámetro, pero de paredes delgadas, sostenido en sus extremos y cargado lateralmente es un ejemplo de una carcasa que experimenta flexión.

En ausencia de un calificativo, el término flexión es ambiguo porque la flexión puede ocurrir localmente en todos los objetos. Por lo tanto, para hacer más preciso el uso del término, los ingenieros se refieren a un objeto específico como; el doblado de varillas , ^[2] el doblado de vigas , ^[1] el doblado de placas , ^[3] el doblado de cáscaras ^[2] y así sucesivamente.

Flexión cuasiestática de vigas.

Una viga se deforma y se desarrollan tensiones en su interior cuando se le aplica una carga transversal. En el caso cuasiestático, se supone que la cantidad de deflexión por flexión y las tensiones que se desarrollan no cambian con el tiempo. En una viga horizontal apoyada en los extremos y cargada hacia abajo en el medio, el material en la parte superior de la viga se comprime mientras que el material en la parte inferior se estira. Hay dos formas de tensiones internas causadas por cargas laterales:

• Esfuerzo cortante paralelo a la carga lateral más esfuerzo cortante complementario en planos perpendiculares a la dirección de la carga;
• Esfuerzo de compresión directa en la región superior de la viga, aplicable principalmente a elementos hormigonados con cemento y,
• Esfuerzo de tracción directa , aplicable a elementos de acero, y se encuentra en la región inferior de la viga.

Estas dos últimas fuerzas forman un par o momento ya que son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Este momento flector resiste la deformación por hundimiento característica de una viga que experimenta flexión. La distribución de tensiones en una viga se puede predecir con bastante precisión cuando se utilizan algunas suposiciones simplificadas. ^[1]

Teoría de la flexión de Euler-Bernoulli

Elemento de una viga doblada: las fibras forman arcos concéntricos, las fibras superiores se comprimen y las inferiores se estiran.

Momentos flectores en una viga

En la teoría de Euler-Bernoulli de vigas esbeltas, una suposición importante es que "las secciones planas permanecen planas". En otras palabras, no se tiene en cuenta cualquier deformación debida al corte a través de la sección (no se tiene en cuenta la deformación por corte). Además, esta distribución lineal solo es aplicable si la tensión máxima es menor que el límite elástico del material. Para tensiones que exceden el límite elástico, consulte el artículo Doblado de plástico . En el límite elástico, la tensión máxima experimentada en la sección (en los puntos más alejados del eje neutro de la viga) se define como resistencia a la flexión .

Considere vigas donde se cumple lo siguiente:

• La viga es originalmente recta y delgada, y cualquier conicidad es leve.
• El material es isotrópico (u ortotrópico ), elástico lineal y homogéneo en cualquier sección transversal (pero no necesariamente en toda su longitud).
• Sólo se consideran pequeñas deflexiones.

En este caso, la ecuación que describe la deflexión de la viga ( ) se puede aproximar como: ${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}$

donde la segunda derivada de su forma deflectada con respecto a se interpreta como su curvatura, es el módulo de Young , es el momento de inercia del área de la sección transversal y es el momento flector interno en la viga. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M}$

Si, además, la viga también es homogénea en toda su longitud y no tiene forma cónica (es decir, sección transversal constante), y se deforma bajo una carga transversal aplicada , se puede demostrar que: ^[1] ${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}$

Esta es la ecuación de Euler-Bernoulli para la flexión de una viga.

Una vez obtenida una solución para el desplazamiento de la viga, el momento flector ( ) y la fuerza cortante ( ) en la viga se pueden calcular utilizando las relaciones ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~Q(x)={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}.}$

La flexión de una viga simple a menudo se analiza con la ecuación de viga de Euler-Bernoulli. Las condiciones para utilizar la teoría de flexión simple son: ^[4]

1. La viga está sujeta a flexión pura . Esto significa que la fuerza cortante es cero y que no hay cargas axiales ni de torsión.
2. El material es isotrópico (u ortotrópico ) y homogéneo .
3. El material obedece la ley de Hooke (es linealmente elástico y no se deforma plásticamente).
4. La viga es inicialmente recta con una sección transversal constante a lo largo de toda su longitud.
5. La viga tiene un eje de simetría en el plano de flexión.
6. Las proporciones de la viga son tales que fallaría por flexión en lugar de aplastarse, arrugarse o pandearse lateralmente .
7. Las secciones transversales de la viga permanecen planas durante la flexión.

Deflexión de una viga desviada simétricamente y principio de superposición.

Bajo cargas de flexión se desarrollan fuerzas de compresión y tracción en la dirección del eje de la viga. Estas fuerzas inducen tensiones en la viga. El esfuerzo máximo de compresión se encuentra en el borde superior de la viga, mientras que el esfuerzo máximo de tracción se encuentra en el borde inferior de la viga. Dado que las tensiones entre estos dos máximos opuestos varían linealmente , existe un punto en la trayectoria lineal entre ellos donde no hay tensión de flexión. El lugar geométrico de estos puntos es el eje neutro. Debido a esta área sin tensión y las áreas adyacentes con tensión baja, el uso de vigas de sección transversal uniforme en flexión no es un medio particularmente eficiente para soportar una carga ya que no utiliza toda la capacidad de la viga hasta que está al borde de la tensión. colapsar. Las vigas de ala ancha ( vigas en I ) y las vigas de armadura abordan eficazmente esta ineficiencia, ya que minimizan la cantidad de material en esta región subestresada.

La fórmula clásica para determinar el esfuerzo de flexión en una viga bajo flexión simple es: ^[5]

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {M_{z}y}{I_{z}}}={\frac {M_{z}}{W_{z}}}}$

dónde

• ${\displaystyle {\sigma _{x}}}$es el esfuerzo de flexión
• ${\displaystyle M_{z}}$– el momento respecto al eje neutro
• ${\displaystyle y}$– la distancia perpendicular al eje neutro
• ${\displaystyle I_{z}}$– el segundo momento del área con respecto al eje neutro z .
• ${\displaystyle W_{z}}$- el momento de resistencia con respecto al eje neutro z . ${\displaystyle W_{z}=I_{z}/y}$

Extensiones de la teoría de flexión de vigas de Euler-Bernoulli

Doblado de plastico

La ecuación es válida sólo cuando la tensión en la fibra extrema (es decir, la porción de la viga más alejada del eje neutro) está por debajo del límite elástico del material con el que está construida. A cargas más altas, la distribución de tensiones se vuelve no lineal y los materiales dúctiles eventualmente entrarán en un estado de articulación plástica donde la magnitud de la tensión es igual al límite elástico en toda la viga, con una discontinuidad en el eje neutro donde la tensión cambia de de tracción a compresión. Este estado de bisagra plástica se utiliza normalmente como estado límite en el diseño de estructuras de acero. ${\displaystyle \sigma ={\tfrac {My}{I_{x}}}}$

Flexión compleja o asimétrica

La ecuación anterior sólo es válida si la sección transversal es simétrica. Para vigas homogéneas con secciones asimétricas, el esfuerzo de flexión máximo en la viga viene dado por

${\displaystyle \sigma _{x}(y,z)=-{\frac {M_{z}~I_{y}+M_{y}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}y+{\frac {M_{y}~I_{z}+M_{z}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}z}$^[6]

donde están las coordenadas de un punto en la sección transversal en el cual se va a determinar la tensión como se muestra a la derecha, y son los momentos de flexión alrededor de los ejes centroides y y z , y son los segundos momentos de área (distintos de los momentos de inercia) alrededor de los ejes y y z, y es el producto de momentos de área . Usando esta ecuación es posible calcular la tensión de flexión en cualquier punto de la sección transversal de la viga, independientemente de la orientación del momento o la forma de la sección transversal. Tenga en cuenta que no cambie de un punto a otro en la sección transversal. ${\displaystyle y,z}$ ${\displaystyle M_{y}}$ ${\displaystyle M_{z}}$ ${\displaystyle I_{y}}$ ${\displaystyle I_{z}}$ ${\displaystyle I_{yz}}$ ${\displaystyle M_{y},M_{z},I_{y},I_{z},I_{yz}}$

Gran deformación por flexión

Para grandes deformaciones del cuerpo, la tensión en la sección transversal se calcula utilizando una versión ampliada de esta fórmula. Primero se deben hacer las siguientes suposiciones:

1. Suposición de secciones planas: antes y después de la deformación, la sección considerada del cuerpo permanece plana (es decir, no está arremolinada).
2. Los esfuerzos cortantes y normales en esta sección que son perpendiculares al vector normal de la sección transversal no tienen influencia sobre los esfuerzos normales que son paralelos a esta sección.

Se deben implementar grandes consideraciones de flexión cuando el radio de flexión es menor que diez alturas de sección h: ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho <10h.}$

Con esos supuestos, la tensión en flexión grande se calcula como:

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}+{\frac {M}{\rho A}}+{\frac {M}{{I_{x}}'}}y{\frac {\rho }{\rho +y}}}$

dónde

${\displaystyle F}$es la fuerza normal

${\displaystyle A}$es el área de la sección

${\displaystyle M}$es el momento flector

${\displaystyle \rho }$es el radio de curvatura local (el radio de curvatura en la sección actual)

${\displaystyle {{I_{x}}'}}$es el momento de inercia del área a lo largo del eje x , en el lugar (ver teorema de Steiner ) ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y}$es la posición a lo largo del eje y en el área de la sección en la que se calcula la tensión. ${\displaystyle \sigma }$

Cuando el radio de curvatura se acerca al infinito y , la fórmula original vuelve: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle y\ll \rho }$

${\displaystyle \sigma ={F \over A}\pm {\frac {My}{I}}}$.

Teoría de la flexión de Timoshenko

Deformación de una viga de Timoshenko. Lo normal gira en una cantidad que no es igual a . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle dw/dx}$

En 1921, Timoshenko mejoró la teoría de vigas de Euler-Bernoulli agregando el efecto de corte a la ecuación de la viga. Los supuestos cinemáticos de la teoría de Timoshenko son:

• Las normales al eje de la viga permanecen rectas después de la deformación.
• No hay cambios en el espesor de la viga después de la deformación.

Sin embargo, no es necesario que las normales al eje permanezcan perpendiculares al eje después de la deformación.

La ecuación para la flexión cuasiestática de una viga lineal, elástica, isotrópica y homogénea de sección transversal constante bajo estos supuestos es ^[7]

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

donde es el momento de inercia del área de la sección transversal, es el área de la sección transversal, es el módulo de corte , es un factor de corrección de corte y es una carga transversal aplicada. Para materiales con índices de Poisson ( ) cercanos a 0,3, el factor de corrección de cortante para una sección transversal rectangular es aproximadamente ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle k={\cfrac {5+5\nu }{6+5\nu }}}$

La rotación ( ) de la normal se describe mediante la ecuación ${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {q(x)}{kAG}}}$

El momento flector ( ) y la fuerza cortante ( ) están dados por ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}~;~~Q(x)=kAG\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}-\varphi \right)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x^{2}}}={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}}$

Vigas sobre cimentaciones elásticas.

Según Euler-Bernoulli, Timoshenko u otras teorías de la flexión, se pueden explicar las vigas sobre cimientos elásticos. En algunas aplicaciones, como vías de ferrocarril, cimientos de edificios y máquinas, barcos sobre el agua, raíces de plantas, etc., la viga sometida a cargas se soporta sobre cimientos elásticos continuos (es decir, las reacciones continuas debidas a la carga externa se distribuyen a lo largo de la longitud de la viga) ^{[8] [9] [10] [11]}

Coche cruzando un puente (Viga parcialmente apoyada sobre una base elástica, Distribución del momento flector)

Flexión dinámica de vigas.

La flexión dinámica de vigas, ^[12] también conocida como vibraciones de flexión de vigas, fue investigada por primera vez por Daniel Bernoulli a finales del siglo XVIII. La ecuación de movimiento de un haz vibratorio de Bernoulli tendía a sobreestimar las frecuencias naturales de los haces y Rayleigh la mejoró marginalmente en 1877 añadiendo una rotación en el plano medio. En 1921, Stephen Timoshenko mejoró aún más la teoría incorporando el efecto del corte en la respuesta dinámica de las vigas en flexión. Esto permitió que la teoría se utilizara para problemas que involucran altas frecuencias de vibración donde la teoría dinámica de Euler-Bernoulli es inadecuada. Los ingenieros siguen utilizando ampliamente las teorías de Euler-Bernoulli y Timoshenko para la flexión dinámica de vigas.

Teoría de Euler-Bernoulli

La ecuación de Euler-Bernoulli para la flexión dinámica de vigas delgadas, isotrópicas y homogéneas de sección transversal constante bajo una carga transversal aplicada es ^[7] ${\displaystyle q(x,t)}$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=q(x,t)}$

donde es el módulo de Young, es el momento de inercia del área de la sección transversal, es la deflexión del eje neutro de la viga y es la masa por unidad de longitud de la viga. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle w(x,t)}$ ${\displaystyle m}$

vibraciones libres

Para la situación en la que no hay carga transversal sobre la viga, la ecuación de flexión toma la forma

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=0}$

Las vibraciones libres y armónicas del haz se pueden expresar como

${\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)}$

y la ecuación de flexión se puede escribir como

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-m\omega ^{2}{\hat {w}}=0}$

La solución general de la ecuación anterior es

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)}$

donde estan las constantes y ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$ ${\displaystyle \beta :=\left({\cfrac {m}{EI}}~\omega ^{2}\right)^{1/4}}$

Teoría de Timoshenko-Rayleigh

En 1877, Rayleigh propuso una mejora de la teoría dinámica de la viga de Euler-Bernoulli al incluir el efecto de la inercia rotacional de la sección transversal de la viga. Timoshenko mejoró esa teoría en 1922 añadiendo el efecto de corte a la ecuación de la viga. En la teoría de Timoshenko-Rayleigh se permiten deformaciones por corte de la normal a la superficie media de la viga.

La ecuación para la flexión de una viga lineal, elástica, isotrópica y homogénea de sección transversal constante bajo estos supuestos es ^{[7] [13]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG}}\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

donde es el momento polar de inercia de la sección transversal, es la masa por unidad de longitud de la viga, es la densidad de la viga, es el área de la sección transversal, es el módulo de corte y es un factor de corrección de corte . Para materiales con índices de Poisson ( ) cercanos a 0,3, el factor de corrección de corte es aproximadamente ${\displaystyle J={\tfrac {mI}{A}}}$ ${\displaystyle m=\rho A}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{rectangular cross-section}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{circular cross-section}}\end{aligned}}}$

vibraciones libres

Para vibraciones armónicas libres, las ecuaciones de Timoshenko-Rayleigh toman la forma

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)~{\hat {w}}=0}$

Esta ecuación se puede resolver observando que todas las derivadas de deben tener la misma forma para cancelarse y, por lo tanto, se puede esperar una solución de la forma. Esta observación conduce a la ecuación característica. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e^{kx}}$

${\displaystyle \alpha ~k^{4}+\beta ~k^{2}+\gamma =0~;~~\alpha :=EI~,~~\beta :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right)~,~~\gamma :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)}$

Las soluciones de esta ecuación de cuarto grado son

${\displaystyle k_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}~,~~k_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}}$

dónde

${\displaystyle z_{+}:={\cfrac {-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}~,~~z_{-}:={\cfrac {-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}}$

La solución general de la ecuación del haz de Timoshenko-Rayleigh para vibraciones libres se puede escribir como

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}~e^{k_{1}x}+A_{2}~e^{-k_{1}x}+A_{3}~e^{k_{3}x}+A_{4}~e^{-k_{3}x}}$

Curvado cuasiestático de placas.

Deformación de una placa delgada resaltando el desplazamiento, la superficie media (rojo) y la normal a la superficie media (azul)

La característica definitoria de las vigas es que una de las dimensiones es mucho mayor que las otras dos. Una estructura se llama placa cuando es plana y una de sus dimensiones es mucho menor que las otras dos. Existen varias teorías que intentan describir la deformación y la tensión en una placa bajo cargas aplicadas, dos de las cuales se han utilizado ampliamente. Estos son

• la teoría de las placas de Kirchhoff-Love (también llamada teoría clásica de las placas)
• la teoría de placas de Mindlin -Reissner (también llamada teoría de corte de placas de primer orden)

Kirchhoff-Teoría del amor de las placas

Los supuestos de la teoría de Kirchhoff-Amor son

• Las líneas rectas normales a la mitad de la superficie permanecen rectas después de la deformación.
• Las líneas rectas normales a la mitad de la superficie permanecen normales a la mitad de la superficie después de la deformación.
• el espesor de la placa no cambia durante una deformación.

Estos supuestos implican que

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

donde es el desplazamiento de un punto de la placa y es el desplazamiento de la superficie media. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle w^{0}}$

Las relaciones deformación-desplazamiento son

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Las ecuaciones de equilibrio son

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x)=0~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}$

donde es una carga aplicada normal a la superficie de la placa. ${\displaystyle q(x)}$

En términos de desplazamientos, las ecuaciones de equilibrio para una placa elástica lineal isotrópica en ausencia de carga externa se pueden escribir como

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0}$

En notación tensorial directa,

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$

Teoría de las placas de Mindlin-Reissner

El supuesto especial de esta teoría es que las normales a la superficie media permanecen rectas e inextensibles, pero no necesariamente normales a la superficie media después de la deformación. Los desplazamientos de la placa están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

¿ Dónde están las rotaciones de la normal? ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$

Las relaciones deformación-desplazamiento que resultan de estos supuestos son

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~\varphi _{\alpha ,\beta }\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}~\kappa \left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

donde es un factor de corrección de corte. ${\displaystyle \kappa }$

Las ecuaciones de equilibrio son

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}}$

Doblado dinámico de placas.

Dinámica de placas delgadas de Kirchhoff.

La teoría dinámica de placas determina la propagación de ondas en las placas, y el estudio de las ondas estacionarias y los modos de vibración. Las ecuaciones que gobiernan la flexión dinámica de las placas de Kirchhoff son

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}}$

donde, para una placa con densidad , ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}}$

y

${\displaystyle {\ddot {w}}^{0}={\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}~;~~{\ddot {w}}_{,\alpha \beta }^{0}={\frac {\partial ^{2}{\ddot {w}}^{0}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}}$

Las siguientes figuras muestran algunos modos de vibración de una placa circular.

• 
  modo k = 0, p = 1
• 
  modo k = 0, p = 2
• 
  modo k = 1, p = 2

Ver también

• Momento de flexión
• Dobladora (dobladora de metales planos)
• Freno (doblado de chapa)
• efecto brasero
• Doblado de placas
• Doblado (metalurgia)
• Mecánica de Medios Continuos
• contraflexión
• Deflexión (ingeniería)
• Cojinete de flexión
• Lista de momentos de inercia del área.
• Doblado de tubos

• Diagrama de corte y momento.
• Resistencia a la cizalladura
• Teoría del sándwich
• Vibración
• Vibración de placas

Referencias

1. Boresi, AP y Schmidt, RJ y Sidebottom, OM, 1993, Mecánica avanzada de materiales , John Wiley and Sons, Nueva York.
2. Libai, A. y Simmonds, JG, 1998, La teoría no lineal de las capas elásticas , Cambridge University Press.
3. Timoshenko, S. y Woinowsky-Krieger, S., 1959, Teoría de placas y conchas , McGraw-Hill.
4. Shigley J, "Diseño de ingeniería mecánica", p44, edición internacional, pub McGraw Hill, 1986, ISBN  0-07-100292-8
5. Gere, JM y Timoshenko, SP, 1997, Mecánica de materiales , PWS Publishing Company.
6. Cook and Young, 1995, Mecánica avanzada de materiales, Macmillan Publishing Company: Nueva York
7. Thomson, WT, 1981, Teoría de la vibración con aplicaciones
8. HETÉNYI, Miklos (1946). Vigas sobre Cimentación Elástica . Ann Arbor, Estudios de la Universidad de Michigan, Estados Unidos.
9. MELERSKI, E., S. (2006). Análisis de diseño de vigas, placas circulares y tanques cilíndricos sobre cimentaciones elásticas (2ª ed.). Londres, Reino Unido: Taylor & Francis Group. pag. 284.ISBN _ 978-0-415-38350-9.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
10. TSUDIK, E. Análisis de vigas y pórticos sobre cimentación elástica . Estados Unidos: Trafford Publishing. pag. 248.ISBN _ 1-4120-7950-0.
11. FRYDRÝŠEK, Karel; Tvrdá, Katarína; Jančo, Roland; et al. (2013). Manual de estructuras sobre cimientos elásticos (1ª ed.). Ostrava, República Checa: VSB - Universidad Técnica de Ostrava. págs. 1–1691. ISBN 978-80-248-3238-8.
12. Han, S. M, Benaroya, H. y Wei, T., 1999, "Dinámica de vigas que vibran transversalmente utilizando cuatro teorías de ingeniería", Journal of Sound and Vibration , vol. 226, núm. 5, págs. 935–988.
13. Rosinger, HE y Ritchie, IG, 1977, Sobre la corrección de Timoshenko por corte en vigas isotrópicas vibrantes, J. Phys. D: Aplica. Física, vol. 10, págs. 1461-1466.

enlaces externos

• Fórmulas de flexión
• Esfuerzo y deflexión de vigas, tablas de deflexión de vigas