Serie armónica (matemáticas)

Suma divergente de todas las fracciones unitarias positivas

En matemáticas , la serie armónica es la serie infinita formada al sumar todas las fracciones unitarias positivas : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots .}$$

Los primeros términos de la serie suman aproximadamente , donde es el logaritmo natural y es la constante de Euler-Mascheroni . Debido a que el logaritmo tiene valores arbitrariamente grandes, la serie armónica no tiene un límite finito: es una serie divergente . Su divergencia fue demostrada en el siglo XIV por Nicole Oresme utilizando un precursor de la prueba de condensación de Cauchy para la convergencia de series infinitas. También se puede demostrar que diverge comparando la suma con una integral , de acuerdo con la prueba integral para la convergencia . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ln n+\gamma }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$

Las aplicaciones de la serie armónica y sus sumas parciales incluyen la prueba de Euler de que hay infinitos números primos , el análisis del problema del recolector de cupones sobre cuántos ensayos aleatorios se necesitan para proporcionar un rango completo de respuestas, los componentes conectados de gráficos aleatorios , el problema de apilamiento de bloques sobre qué tan lejos del borde de una mesa se puede colocar en voladizo una pila de bloques , y el análisis del caso promedio del algoritmo de ordenamiento rápido .

Historia

Una onda y sus armónicos, con longitudes de onda ${\displaystyle 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots }$

El nombre de la serie armónica deriva del concepto de sobretonos o armónicos en música : las longitudes de onda de los sobretonos de una cuerda vibrante son , , , etc., de la longitud de onda fundamental de la cuerda . ^{[1] [2]} Cada término de la serie armónica después del primero es la media armónica de los términos vecinos, por lo que los términos forman una progresión armónica ; las frases media armónica y progresión armónica también derivan de la música. ^[2] Más allá de la música, las secuencias armónicas también han tenido cierta popularidad entre los arquitectos. Esto fue así particularmente en el período barroco , cuando los arquitectos las usaron para establecer las proporciones de los planos de planta , de los alzados y para establecer relaciones armónicas entre los detalles arquitectónicos interiores y exteriores de iglesias y palacios. ^[3] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

La divergencia de la serie armónica fue demostrada por primera vez en 1350 por Nicole Oresme . ^{[2] [4]} El trabajo de Oresme, y el trabajo contemporáneo de Richard Swineshead sobre una serie diferente, marcaron la primera aparición de series infinitas distintas de las series geométricas en matemáticas. ^[5] Sin embargo, este logro cayó en el olvido. ^[6] Demostraciones adicionales fueron publicadas en el siglo XVII por Pietro Mengoli ^{[2] [7]} y por Jacob Bernoulli . ^{[8] [9] [10]} Bernoulli atribuyó a su hermano Johann Bernoulli el hallazgo de la prueba, ^[10] y más tarde se incluyó en las obras completas de Johann Bernoulli. ^[11]

Las sumas parciales de las series armónicas fueron denominadas números armónicos y se les dio su notación habitual en 1968 por Donald Knuth . ^[12] ${\displaystyle H_{n}}$

Definición y divergencia

La serie armónica es la serie infinita en la que los términos son todas las fracciones unitarias positivas . Es una serie divergente : a medida que se incluyen más términos de la serie en las sumas parciales de la serie, los valores de estas sumas parciales crecen arbitrariamente grandes, más allá de cualquier límite finito. Debido a que es una serie divergente, debe interpretarse como una suma formal, una expresión matemática abstracta que combina las fracciones unitarias, en lugar de como algo que se puede evaluar como un valor numérico. Hay muchas pruebas diferentes de la divergencia de la serie armónica, analizadas en un artículo de 2006 de SJ Kifowit y TA Stamps. ^[13] Dos de las más conocidas ^{[1] [13]} se enumeran a continuación. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }$$

Prueba de comparación

Hay infinitos rectángulos azules, cada uno con un área de 1/2, pero su área total es superada por la de las barras grises que denotan la serie armónica.

Una forma de demostrar la divergencia es comparar la serie armónica con otra serie divergente, donde cada denominador se reemplaza con la siguiente potencia más grande de dos : Agrupar términos iguales muestra que la segunda serie diverge (porque cada agrupación de series convergentes es solo convergente): Debido a que cada término de la serie armónica es mayor o igual que el término correspondiente de la segunda serie (y los términos son todos positivos), y dado que la segunda serie diverge, se deduce (por la prueba de comparación ) que la serie armónica también diverge. El mismo argumento demuestra con más fuerza que, para cada entero positivo , Esta es la prueba original dada por Nicole Oresme alrededor de 1350. ^[13] La prueba de condensación de Cauchy es una generalización de este argumento. ^[14] $${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{3}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{5}}&&+{\frac {1}{6}}&&+{\frac {1}{7}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{9}}&&+\cdots \\[5pt]{}\geq 1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}&&+\cdots \\[5pt]\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[5pt]{}={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots .\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}$$

Prueba integral

Rectángulos con área dada por la serie armónica y la hipérbola a través de las esquinas superiores izquierdas de estos rectángulos. ${\displaystyle y=1/x}$

Es posible demostrar que la serie armónica diverge comparando su suma con una integral impropia . Específicamente, considere la disposición de rectángulos que se muestra en la figura de la derecha. Cada rectángulo tiene 1 unidad de ancho y unidades de alto, por lo que si la serie armónica convergiera, entonces el área total de los rectángulos sería la suma de la serie armónica. La curva permanece completamente debajo del límite superior de los rectángulos, por lo que el área bajo la curva (en el rango de uno a infinito que está cubierto por rectángulos) sería menor que el área de la unión de los rectángulos. Sin embargo, el área bajo la curva está dada por una integral impropia divergente , Debido a que esta integral no converge, la suma tampoco puede converger. ^[13] ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty .}$$

En la figura de la derecha, desplazar cada rectángulo hacia la izquierda en 1 unidad produciría una secuencia de rectángulos cuyo límite se encuentra debajo de la curva en lugar de encima de ella. Esto muestra que las sumas parciales de la serie armónica difieren de la integral en una cantidad que está limitada arriba y abajo por el área unitaria del primer rectángulo: Generalizando este argumento, cualquier suma infinita de valores de una función positiva decreciente monótona de (como la serie armónica) tiene sumas parciales que están dentro de una distancia acotada de los valores de las integrales correspondientes. Por lo tanto, la suma converge si y solo si la integral en el mismo rango de la misma función converge. Cuando se utiliza esta equivalencia para comprobar la convergencia de una suma reemplazándola por una integral más sencilla, se conoce como prueba integral de convergencia . ^[15] $${\displaystyle \int _{1}^{N+1}{\frac {1}{x}}\,dx<\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{i}}<\int _{1}^{N}{\frac {1}{x}}\,dx+1.}$$ ${\displaystyle n}$

Sumas parciales

La suma de los primeros términos de la serie armónica produce una suma parcial , llamada número armónico y denotada : ^[12] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}}$ $${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$$

Índice de crecimiento

Estos números crecen muy lentamente, con un crecimiento logarítmico , como se puede ver en la prueba integral. ^[15] Más precisamente, por la fórmula de Euler-Maclaurin , donde es la constante de Euler-Mascheroni y que se acerca a 0 a medida que tiende al infinito. ^[16] $${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\varepsilon _{n}}$$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$ ${\displaystyle 0\leq \varepsilon _{n}\leq 1/8n^{2}}$ ${\displaystyle n}$

Divisibilidad

Ningún número armónico es entero excepto . ^{[17] [18]} Una forma de demostrar que no es un entero es considerar la mayor potencia de dos en el rango de 1 a . Si es el mínimo común múltiplo de los números de 1 a , entonces puede reescribirse como una suma de fracciones con denominadores iguales en la que solo uno de los numeradores, , es impar y el resto son pares, y (cuando ) es par. Por lo tanto, el resultado es una fracción con un numerador impar y un denominador par, que no puede ser un entero. ^[17] De manera más general, cualquier secuencia de números enteros consecutivos tiene un miembro único divisible por una potencia de dos mayor que todos los demás miembros de la secuencia, de lo que se sigue por el mismo argumento que no hay dos números armónicos que difieran en un entero. ^[18] ${\displaystyle H_{1}=1}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle 2^{k}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{k}}$ $${\displaystyle H_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {M/i}{M}}}$$ ${\displaystyle M/2^{k}}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle M}$

Otra prueba de que los números armónicos no son números enteros observa que el denominador de debe ser divisible por todos los números primos mayores que y menores o iguales que , y utiliza el postulado de Bertrand para demostrar que este conjunto de primos no está vacío. El mismo argumento implica con mayor fuerza que, a excepción de , , y , ningún número armónico puede tener una representación decimal terminal . ^[17] Se ha conjeturado que cada número primo divide los numeradores de solo un subconjunto finito de los números armónicos, pero esto sigue sin demostrarse. ^[19] ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{1}=1}$ ${\displaystyle H_{2}=1.5}$ ${\displaystyle H_{6}=2.45}$

Interpolación

La función digamma en los números complejos

La función digamma se define como la derivada logarítmica de la función gamma. Así como la función gamma proporciona una interpolación continua de los factoriales , la función digamma proporciona una interpolación continua de los números armónicos, en el sentido de que . ^[20] Esta ecuación se puede utilizar para extender la definición a números armónicos con índices racionales. ^[21] $${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}$$ ${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

Aplicaciones

Muchos problemas matemáticos conocidos tienen soluciones que involucran la serie armónica y sus sumas parciales.

Cruzando un desierto

Solución al problema del jeep para , mostrando la cantidad de combustible en cada depósito y en el jeep en cada paso ${\displaystyle n=3}$

El problema del jeep o problema de cruzar el desierto está incluido en una colección de problemas del siglo IX de Alcuino , Propositiones ad Acuendos Juvenes (formulada en términos de camellos en lugar de jeeps), pero con una solución incorrecta. ^[22] El problema pregunta qué tan lejos en el desierto puede viajar y regresar un jeep, comenzando desde una base con cargas de combustible, llevando parte del combustible al desierto y dejándolo en depósitos. La solución óptima implica colocar depósitos espaciados a distancias del punto de partida y entre sí, donde es el rango de distancia que el jeep puede viajar con una sola carga de combustible. En cada viaje de ida y vuelta desde la base, el jeep coloca un depósito más, reabasteciendo combustible en los otros depósitos a lo largo del camino y colocando tanto combustible como pueda en el depósito recién colocado mientras aún deja suficiente para regresar a los depósitos anteriores y a la base. Por lo tanto, la distancia total alcanzada en el ésimo viaje es donde es el ésimo número armónico. La divergencia de la serie armónica implica que son posibles cruces de cualquier longitud con suficiente combustible. ^[23] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {r}{2n}},{\tfrac {r}{2(n-1)}},{\tfrac {r}{2(n-2)}},\dots }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\frac {r}{2n}}+{\frac {r}{2(n-1)}}+{\frac {r}{2(n-2)}}+\cdots ={\frac {r}{2}}H_{n},}$$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Por ejemplo, para la versión de Alcuino del problema, un camello puede llevar 30 medidas de grano y puede viajar una leuca mientras come una sola medida, donde una leuca es una unidad de distancia aproximadamente igual a 2,3 kilómetros (1,4 mi). El problema tiene : hay 90 medidas de grano, suficientes para abastecer tres viajes. Para la formulación estándar del problema de cruzar el desierto, sería posible que el camello viajara leucas y regresara, colocando un depósito de almacenamiento de grano a 5 leucas de la base en el primer viaje y a 12,5 leucas de la base en el segundo viaje. Sin embargo, Alcuino en cambio plantea una pregunta ligeramente diferente, cuánto grano se puede transportar una distancia de 30 leucas sin un viaje de regreso final, y o bien deja varados a algunos camellos en el desierto o no tiene en cuenta la cantidad de grano consumido por un camello en sus viajes de regreso. ^[22] ${\displaystyle r=30}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle {\tfrac {30}{2}}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{1}})=27.5}$

Apilar bloques

El problema del apilamiento de bloques : los bloques alineados según la serie armónica pueden sobresalir del borde de una tabla por los números armónicos

En el problema de apilamiento de bloques , uno debe colocar una pila de bloques rectangulares idénticos, uno por capa, de modo que cuelguen lo más lejos posible del borde de una mesa sin caerse. El bloque superior se puede colocar con de su longitud extendiéndose más allá del siguiente bloque inferior. Si se coloca de esta manera, el siguiente bloque hacia abajo debe colocarse con como máximo su longitud extendiéndose más allá del siguiente bloque inferior, de modo que el centro de masa de los dos bloques superiores esté soportado y no se caigan. El tercer bloque debe colocarse con como máximo su longitud extendiéndose más allá del siguiente bloque inferior, y así sucesivamente. De esta manera, es posible colocar los bloques de tal manera que se extiendan longitudes más allá de la mesa, donde es el número armónico n. ^{[24] [25]} La divergencia de la serie armónica implica que no hay límite en cuanto a qué tan más allá de la mesa puede extenderse la pila de bloques. ^[25] Para pilas con un bloque por capa, no es posible una mejor solución, pero se puede lograr un voladizo significativamente mayor usando pilas con más de un bloque por capa. ^[26] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}H_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Contando primos y divisores

En 1737, Leonhard Euler observó que, como suma formal , la serie armónica es igual a un producto de Euler en el que cada término proviene de un número primo : donde denota el conjunto de números primos. La igualdad de la izquierda proviene de aplicar la ley distributiva al producto y reconocer los términos resultantes como las factorizaciones primas de los términos en la serie armónica, y la igualdad de la derecha usa la fórmula estándar para una serie geométrica . El producto es divergente, al igual que la suma, pero si convergiera se podrían tomar logaritmos y obtener Aquí, cada logaritmo se reemplaza por su serie de Taylor , y la constante de la derecha es la evaluación de la serie convergente de términos con exponente mayor que uno. De estas manipulaciones se deduce que la suma de los recíprocos de los primos, en el lado derecho de esta igualdad, debe divergir, porque si convergiera estos pasos podrían invertirse para mostrar que la serie armónica también converge, lo que no hace. Un corolario inmediato es que hay infinitos números primos , porque una suma finita no puede divergir. ^[27] Aunque el trabajo de Euler no se considera suficientemente riguroso según los estándares de las matemáticas modernas, se puede hacer riguroso teniendo más cuidado con los límites y los límites de error. ^[28] La conclusión de Euler de que las sumas parciales de los recíprocos de los primos crecen como un logaritmo doble del número de términos ha sido confirmada por matemáticos posteriores como uno de los teoremas de Mertens , ^[29] y puede verse como un precursor del teorema de los números primos . ^[28] $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-1/p}},}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ $${\displaystyle \ln \prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-1/p}}=\sum _{p\in \mathbb {P} }\ln {\frac {1}{1-1/p}}=\sum _{p\in \mathbb {P} }\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)=\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{p}}+K.}$$ ${\displaystyle K}$

Otro problema en la teoría de números estrechamente relacionado con la serie armónica se refiere al número medio de divisores de los números en un rango de 1 a , formalizado como el orden medio de la función divisor , La operación de redondear cada término en la serie armónica al siguiente múltiplo entero más pequeño de hace que este promedio difiera de los números armónicos por una pequeña constante, y Peter Gustav Lejeune Dirichlet demostró con más precisión que el número medio de divisores es (expresado en notación O grande ). Acotar el término de error final con mayor precisión sigue siendo un problema abierto, conocido como el problema del divisor de Dirichlet . ^[30] ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor \leq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {n}{i}}=H_{n}.}$$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle \ln n+2\gamma -1+O(1/{\sqrt {n}})}$

Recopilación de cupones

Gráfico del número de elementos en función del número esperado de ensayos necesarios para recolectar todos los elementos

Varios juegos o recreaciones comunes implican repetir una selección aleatoria de un conjunto de elementos hasta que se hayan seleccionado todas las opciones posibles; estos incluyen la colección de tarjetas coleccionables ^{[31] [32]} y la finalización del bingo parkrun , en el que el objetivo es obtener los 60 números posibles de segundos en los tiempos de una secuencia de eventos en ejecución. ^[33] Las aplicaciones más serias de este problema incluyen el muestreo de todas las variaciones de un producto fabricado para su control de calidad , ^[34] y la conectividad de gráficos aleatorios . ^[35] En situaciones de esta forma, una vez que quedan elementos por recolectar de un total de elementos igualmente probables, la probabilidad de recolectar un nuevo elemento en una única elección aleatoria es y el número esperado de elecciones aleatorias necesarias hasta que se recolecte un nuevo elemento es . Sumar todos los valores de desde hasta 1 muestra que el número total esperado de elecciones aleatorias necesarias para recolectar todos los elementos es , donde es el número armónico n.º. ^[36] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k/n}$ ${\displaystyle n/k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle nH_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Analizando algoritmos

Animación de la versión de caso promedio de quicksort, con subproblemas recursivos indicados por flechas sombreadas y con pivotes (elementos rojos y líneas azules) elegidos como el último elemento en cada subproblema

El algoritmo de ordenación rápida para ordenar un conjunto de elementos se puede analizar utilizando los números armónicos. El algoritmo funciona eligiendo un elemento como "pivote", comparándolo con todos los demás y ordenando recursivamente los dos subconjuntos de elementos cuya comparación los coloca antes del pivote y después del pivote. Ya sea en su complejidad de caso promedio (con el supuesto de que todas las permutaciones de entrada son igualmente probables) o en su análisis de tiempo esperado de las entradas del peor caso con una elección aleatoria de pivote, todos los elementos tienen la misma probabilidad de ser elegidos como pivote. Para tales casos, se puede calcular la probabilidad de que dos elementos se comparen entre sí, a lo largo de la recursión, como una función del número de otros elementos que los separan en el orden ordenado final. Si los elementos y están separados por otros elementos, entonces el algoritmo hará una comparación entre y solo cuando, a medida que avanza la recursión, elija o como pivote antes de elegir cualquiera de los otros elementos entre ellos. Debido a que cada uno de estos elementos tiene la misma probabilidad de ser elegido primero, esto sucede con la probabilidad . El número total esperado de comparaciones, que controla el tiempo total de ejecución del algoritmo, se puede calcular sumando estas probabilidades sobre todos los pares, dando ^[37] La ​​divergencia de la serie armónica corresponde en esta aplicación al hecho de que, en el modelo de comparación de clasificación utilizado para quicksort, no es posible ordenar en tiempo lineal . ^[38] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k+2}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{k+2}}}$ $${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}\sum _{k=0}^{i-2}{\frac {2}{k+2}}=\sum _{i=1}^{n-1}2H_{i}=O(n\log n).}$$

Series relacionadas

Serie armónica alternada

Las primeras catorce sumas parciales de la serie armónica alterna (segmentos de línea negra) se muestran convergiendo al logaritmo natural de 2 (línea roja).

La serie se conoce como serie armónica alternada . Es condicionalmente convergente según la prueba de series alternadas , pero no absolutamente convergente . Su suma es el logaritmo natural de 2. ^[39 ] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$$

Explícitamente, la expansión asintótica de la serie es

$${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}=H_{2n}-H_{n}=\ln 2-{\frac {1}{2n}}+O(n^{-2})}$$

El uso de signos alternados con solo fracciones unitarias impares produce una serie relacionada, la fórmula de Leibniz para π ^[40] $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$

Función zeta de Riemann

La función zeta de Riemann se define para los números reales por la serie convergente que para sería la serie armónica. Puede extenderse por continuación analítica a una función holomorfa en todos los números complejos excepto , donde la función extendida tiene un polo simple . Otros valores importantes de la función zeta incluyen , la solución al problema de Basilea , la constante de Apéry , demostrada por Roger Apéry como un número irracional , y la "línea crítica" de los números complejos con parte real , conjeturada por la hipótesis de Riemann como los únicos valores distintos de los enteros negativos donde la función puede ser cero. ^[41] ${\displaystyle x>1}$ $${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}={\frac {1}{1^{x}}}+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$ ${\displaystyle \zeta (3)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Serie armónica aleatoria

La serie armónica aleatoria es aquella en la que los valores son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que toman los dos valores y con igual probabilidad . Converge con probabilidad 1 , como se puede ver utilizando el teorema de las tres series de Kolmogorov o de la desigualdad máxima de Kolmogorov estrechamente relacionada . La suma de la serie es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad es cercana a para valores entre y , y disminuye hasta casi cero para valores mayores o menores que . Intermedio entre estos rangos, en los valores , la densidad de probabilidad es para un valor distinto de cero pero muy pequeño . ^{[42] [43]} $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}$$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle -3}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}-\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon <10^{-42}}$

Serie armónica empobrecida

Se puede demostrar que la serie armónica empobrecida en la que se eliminan todos los términos en los que aparece el dígito 9 en cualquier parte del denominador converge al valor 22,92067 66192 64150 34816 ... . ^[44] De hecho, cuando se eliminan todos los términos que contienen cualquier cadena particular de dígitos (en cualquier base ), la serie converge. ^[45]

Referencias

1. Rice, Adrian (2011). "La serie armónica: una introducción". En Jardine, Dick; Shell-Gellasch, Amy (eds.). Cápsulas del tiempo matemático: módulos históricos para el aula de matemáticas . Notas de la MAA. Vol. 77. Washington, DC: Asociación Matemática de Estados Unidos. págs. 269–276. ISBN. 978-0-88385-984-1.
2. Kullman, David E. (mayo de 2001). "¿Qué tiene de armónico la serie armónica?". The College Mathematics Journal . 32 (3): 201–203. doi :10.2307/2687471. JSTOR  2687471.
3. Hersey, George L. (2001). Arquitectura y geometría en la era del barroco . University of Chicago Press. pp. 11-12, 37-51. ISBN 978-0-226-32783-9.
4. Oresme, Nicole (hacia 1360). Quaestiones super Geometriam Euclidis [ Cuestiones sobre la geometría de Euclides ] (en latín).
5. Stillwell, John (2010). Matemáticas y su historia . Textos de pregrado en matemáticas (3.ª ed.). Nueva York: Springer. p. 182. doi :10.1007/978-1-4419-6053-5. ISBN 978-1-4419-6052-8.Señor 2667826  .
6. Derbyshire, John (2003). La obsesión primordial: Bernhard Riemann y el mayor problema no resuelto de las matemáticas . Washington, DC: Joseph Henry Press. pág. 10. ISBN 0-309-08549-7. Sr.  1968857.
7. Mengoli, Pietro (1650). "Praefatio [Prefacio]". Novae quadraturae arithmeticae, seu De adde fraccionum [ Nueva cuadratura aritmética (es decir, integración), o Sobre la suma de fracciones ] (en latín). Bolonia: Giacomo Monti.La prueba de Mengoli es por contradicción: Sea la suma de la serie. Agrupe los términos de la serie en tripletes: . Como para , , entonces , lo cual es imposible para cualquier . Por lo tanto, la serie diverge. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=1+({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}})+({\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{7}})+\cdots }$ ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x-1}}+{\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{x+1}}>{\tfrac {3}{x}}}$ ${\displaystyle S>1+{\tfrac {3}{3}}+{\tfrac {3}{6}}+{\tfrac {3}{9}}+\cdots =1+1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\cdots =1+S}$ ${\displaystyle S}$
8. Bernoulli, Jacob (1689). Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis earumque summa finita [ Proposiciones aritméticas sobre series infinitas y sus sumas finitas ]. Basilea: J. Conrad.
9. Bernoulli, Jacob (1713). Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis [ Teoría de la inferencia, obra póstuma. Con el Tratado sobre las series infinitas… ]. Basilea: Thurneysen. págs. 250-251.
   De la pág. 250, prop. 16:

   " XVI. Summa serei infinita harmonicè progresivaalium, &c. est infinita. Id primus deprehendit Frater:… ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}}$ "

   [16. La suma de una serie infinita de progresión armónica, , es infinita. Mi hermano fue el primero en descubrir esto…] ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+\cdots }$

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11. Bernoulli, Johann (1742). "Corolario III de De seriebus varia". Ópera Omnia . Lausana y Basilea: Marc-Michel Bousquet & Co. vol. 4, pág. 8.La demostración de Johann Bernoulli también es por contradicción. Utiliza una suma telescópica para representar cada término como Cambiando el orden de la suma en la serie doble correspondiente se obtiene, en notación moderna . ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\Big (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{n+2}}-{\frac {1}{n+3}}{\Big )}\cdots }$$ $${\displaystyle ={\frac {1}{n(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+{\frac {1}{(n+2)(n+3)}}\cdots }$$ $${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{k(k+1)}}}$$ $${\displaystyle =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}=S-1}$$
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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Series armónicas". MathWorld .