Distribución de Gompertz

Distribución de probabilidad continua, llamada así en honor a Benjamin Gompertz

En probabilidad y estadística , la distribución de Gompertz es una distribución de probabilidad continua , llamada así por Benjamin Gompertz . La distribución de Gompertz se aplica a menudo para describir la distribución de la esperanza de vida de los adultos por demógrafos ^{[1] [2]} y actuarios . ^{[3] [4]} Campos relacionados de la ciencia como la biología ^[5] y la gerontología ^[6] también consideraron la distribución de Gompertz para el análisis de la supervivencia. Más recientemente, los científicos informáticos también han comenzado a modelar las tasas de falla del código informático mediante la distribución de Gompertz. ^[7] En la ciencia del marketing, se ha utilizado como una simulación a nivel individual para el modelado del valor de vida del cliente . ^[8] En la teoría de redes , particularmente el modelo Erdős–Rényi , la longitud de la caminata de un paseo aleatorio auto-evitante (SAW) se distribuye de acuerdo con la distribución de Gompertz. ^[9]

Especificación

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Gompertz es:

${\displaystyle f\left(x;\eta ,b\right)=b\eta \exp \left(\eta +bx-\eta e^{bx}\right){\text{for }}x\geq 0,\,}$

donde es el parámetro de escala y es el parámetro de forma de la distribución de Gompertz. En las ciencias actuariales y biológicas y en demografía, la distribución de Gompertz se parametriza de forma ligeramente diferente ( ley de mortalidad de Gompertz-Makeham ). ${\displaystyle b>0\,\!}$ ${\displaystyle \eta >0\,\!}$

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa de la distribución de Gompertz es:

${\displaystyle F\left(x;\eta ,b\right)=1-\exp \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right),}$

donde y ${\displaystyle \eta ,b>0,}$ ${\displaystyle x\geq 0\,.}$

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos es:

${\displaystyle {\text{E}}\left(e^{-tX}\right)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)}$

dónde

${\displaystyle {\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)=\int _{1}^{\infty }e^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\ t>0.}$

Propiedades

La distribución de Gompertz es una distribución flexible que puede estar sesgada hacia la derecha y hacia la izquierda. Su función de riesgo es una función convexa de . El modelo se puede adaptar al paradigma de innovación-imitación con como el coeficiente de innovación y como el coeficiente de imitación. Cuando se vuelve grande, se aproxima a . El modelo también puede pertenecer al paradigma de propensión a adoptar con como la propensión a adoptar y como el atractivo general de la nueva oferta. ${\displaystyle h(x)=\eta be^{bx}}$ ${\displaystyle F\left(x;\eta ,b\right)}$ ${\displaystyle p=\eta b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle z(t)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle b}$

Formas

La función de densidad de Gompertz puede adoptar diferentes formas dependiendo de los valores del parámetro de forma : ${\displaystyle \eta \,\!}$

• Cuando la función de densidad de probabilidad tiene su moda en 0. ${\displaystyle \eta \geq 1,\,}$
• Cuando la función de densidad de probabilidad tiene su moda en ${\displaystyle 0<\eta <1,\,}$

${\displaystyle x^{*}=\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right){\text{with }}0<F\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0.632121}$

Divergencia de Kullback-Leibler

Si y son las funciones de densidad de probabilidad de dos distribuciones de Gompertz, entonces su divergencia de Kullback-Leibler está dada por ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})}{f_{2}(x;b_{2},\eta _{2})}}dx\\&=\ln {\frac {e^{\eta _{1}}\,b_{1}\,\eta _{1}}{e^{\eta _{2}}\,b_{2}\,\eta _{2}}}+e^{\eta _{1}}\left[\left({\frac {b_{2}}{b_{1}}}-1\right)\,\operatorname {Ei} (-\eta _{1})+{\frac {\eta _{2}}{\eta _{1}^{\frac {b_{2}}{b_{1}}}}}\,\Gamma \left({\frac {b_{2}}{b_{1}}}+1,\eta _{1}\right)\right]-(\eta _{1}+1)\end{aligned}}}$

donde denota la integral exponencial y es la función gamma incompleta superior . ^[10] ${\displaystyle \operatorname {Ei} (\cdot )}$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot ,\cdot )}$

Distribuciones relacionadas

• Si X se define como el resultado del muestreo de una distribución de Gumbel hasta que se produce un valor negativo Y , y se establece X = − Y , entonces X tiene una distribución de Gompertz.
• La distribución gamma es un conjugado natural previo a una probabilidad de Gompertz con un parámetro de escala conocido ^[8] ${\displaystyle b\,\!.}$
• Cuando varía según una distribución gamma con parámetro de forma y parámetro de escala (media = ), la distribución de es Gamma/Gompertz. ^[8] ${\displaystyle \eta \,\!}$ ${\displaystyle \alpha \,\!}$ ${\displaystyle \beta \,\!}$ ${\displaystyle \alpha /\beta \,\!}$ ${\displaystyle x}$

Distribución de Gompertz ajustada a las precipitaciones máximas mensuales de un día ^[11]

• Si , entonces , y por lo tanto . ^[12] ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gompertz} }$ ${\displaystyle X=\exp(Y)\sim \mathrm {Weibull} ^{-1}}$ ${\displaystyle \exp(-Y)\sim \mathrm {Weibull} }$

Aplicaciones

• En hidrología, la distribución de Gompertz se aplica a eventos extremos, como las precipitaciones máximas diarias anuales y las descargas de los ríos. La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Gompertz a las precipitaciones máximas diarias anuales clasificadas, mostrando también el cinturón de confianza del 90 % basado en la distribución binomial . Los datos de precipitaciones se representan mediante el trazado de posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .

Véase también

• Ley de mortalidad de Gompertz-Makeham
• Función de Gompertz
• Valor de vida del cliente
• Distribución de Gamma Gompertz

Notas

1. Vaupel, James W. (1986). "Cómo el cambio en la mortalidad específica por edad afecta la esperanza de vida" (PDF) . Estudios de población . 40 (1): 147–157. doi :10.1080/0032472031000141896. PMID  11611920.
2. Preston, Samuel H.; Heuveline, Patrick; Guillot, Michel (2001). Demografía: medición y modelado de procesos poblacionales . Oxford: Blackwell.
3. Benjamin, Bernard; Haycocks, HW; Pollard, J. (1980). El análisis de la mortalidad y otras estadísticas actuariales . Londres: Heinemann.
4. Willemse, WJ; Koppelaar, H. (2000). "Obtención de conocimiento de la ley de mortalidad de Gompertz". Scandinavian Actuarial Journal . 2000 (2): 168–179. doi :10.1080/034612300750066845. S2CID  122719776.
5. Economos, A. (1982). "Tasa de envejecimiento, tasa de mortalidad y mecanismo de mortalidad". Archivos de Gerontología y Geriatría . 1 (1): 46–51. doi :10.1016/0167-4943(82)90003-6. PMID  6821142.
6. Brown, K.; Forbes, W. (1974). "Un modelo matemático de los procesos de envejecimiento". Revista de Gerontología . 29 (1): 46–51. doi :10.1093/geronj/29.1.46. PMID  4809664.
7. Ohishi, K.; Okamura, H.; Dohi, T. (2009). "Modelo de confiabilidad de software de Gompertz: algoritmo de estimación y validación empírica". Journal of Systems and Software . 82 (3): 535–543. doi :10.1016/j.jss.2008.11.840.
8. Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas (2012). "Modelado del comportamiento de compra con 'muerte' súbita: un modelo flexible de vida del cliente". Management Science . 58 (5): 1012–1021. doi :10.1287/mnsc.1110.1461.
9. Tishby, Biham, Katzav (2016), La distribución de la longitud de los caminos para evitar caminatas en las redes Erdős-Rényi, arXiv :1603.06613.
10. Bauckhage, C. (2014), Caracterizaciones y divergencia de Kullback-Leibler de distribuciones de Gompertz, arXiv :1402.3193.
11. Calculadora para el ajuste de la distribución de probabilidad [1]
12. Kleiber, Christian; Kotz, Samuel (2003). Distribuciones estadísticas de tamaño en economía y ciencias actuariales. Wiley. pág. 179. doi :10.1002/0471457175. ISBN 9780471150640.

Referencias

• Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolás (2011). "Implementación del modelo Gamma/Gompertz/NBD en MATLAB" (PDF) . Cergy-Pontoise: Escuela de Negocios ESSEC.^{[ enlace muerto permanente ]}
• Gompertz, B. (1825). "Sobre la naturaleza de la función expresiva de la ley de la mortalidad humana y sobre un nuevo modo de determinar el valor de las contingencias vitales". Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 115 : 513–583. doi : 10.1098/rstl.1825.0026 . JSTOR  107756. S2CID  145157003.
• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1995). Distribuciones univariadas continuas . Vol. 2 (2.ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 25-26. ISBN. 0-471-58494-0.
• Sheikh, AK; Boah, JK; Younas, M. (1989). "Modelo de valor extremo truncado para confiabilidad de tuberías". Ingeniería de confiabilidad y seguridad del sistema . 25 (1): 1–14. doi :10.1016/0951-8320(89)90020-3.