Ley de mortalidad de Gompertz-Makeham

Ecuación matemática relacionada con la tasa de mortalidad humana

La ley de Gompertz-Makeham establece que la tasa de mortalidad humana es la suma de un componente dependiente de la edad (la función de Gompertz , llamada así por Benjamin Gompertz ), ^[1] que aumenta exponencialmente con la edad ^[2] y un componente independiente de la edad (la Término Makeham, que lleva el nombre de William Makeham ). ^[3] En un entorno protegido donde las causas externas de muerte son raras (condiciones de laboratorio, países con baja mortalidad, etc.), el componente de mortalidad independiente de la edad es a menudo insignificante. En este caso la fórmula se simplifica a una ley de mortalidad de Gompertz. En 1825, Benjamin Gompertz propuso un aumento exponencial de las tasas de mortalidad con la edad.

La ley de mortalidad de Gompertz-Makeham describe la dinámica de la mortalidad humana con bastante precisión en la ventana de edad de aproximadamente 30 a 80 años. En edades más avanzadas, algunos estudios han encontrado que las tasas de mortalidad aumentan más lentamente –un fenómeno conocido como desaceleración de la mortalidad en la vejez ^[2] –, pero los estudios más recientes no están de acuerdo. ^[4]

Probabilidad estimada de que una persona muera en cada edad, para los EE.UU. en 2003 [1]. Las tasas de mortalidad aumentan exponencialmente con la edad después de los 30 años.

La disminución de la tasa de mortalidad humana antes de la década de 1950 se debió principalmente a una disminución del componente de mortalidad independiente de la edad (Makeham), mientras que el componente de mortalidad dependiente de la edad (Gompertz) se mantuvo sorprendentemente estable. ^{[2] [5]} Desde la década de 1950, ha comenzado una nueva tendencia de mortalidad en forma de una disminución inesperada de las tasas de mortalidad en edades avanzadas y una "rectangularización" de la curva de supervivencia. ^{[6] [7]}

La función de riesgo de la distribución de Gompertz-Makeham se caracteriza con mayor frecuencia como . La magnitud empírica del parámetro beta es de aproximadamente 0,085, lo que implica una duplicación de la mortalidad cada 0,69/0,085 = 8 años (Dinamarca, 2006). ${\displaystyle h(x)=\alpha e^{\beta x}+\lambda }$

La función cuantil se puede expresar en una expresión de forma cerrada utilizando la función Lambert W : ^[8]

${\displaystyle Q(u)={\frac {\alpha }{\beta \lambda }}-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-u)-{\frac {1}{\beta }}W_{0}\left[{\frac {\alpha e^{\alpha /\lambda }(1-u)^{-(\beta /\lambda )}}{\lambda }}\right]}$

La ley de Gompertz es la misma que la distribución de Fisher-Tippett para la edad negativa, restringida a valores negativos para la variable aleatoria (valores positivos para la edad).

El futuro de la longevidad humana

Las cohortes del año de nacimiento de los nacidos después de 1950 deberían ser las primeras en ver un retraso considerable en el curso histórico de la muerte, según un artículo de investigación de 2023 que extrae esta conclusión únicamente de las matemáticas. El estudio predice un futuro en el que los récords de longevidad se batirán con frecuencia después de 2073, y algunos gráficos de predicción llegan hasta los 140 grados. ^[9]

Ver también

• Curva de bañera
• Biodemografía
• Biodemografía de la longevidad humana.
• Gerontología
• Demografía
• tabla de vida
• Vida útil máxima
• Teoría de la confiabilidad del envejecimiento y la longevidad.

Referencias

1. Gompertz, B. (1825). "Sobre la naturaleza de la función expresiva de la ley de la mortalidad humana y sobre un nuevo modo de determinar el valor de las contingencias de la vida". Transacciones filosóficas de la Royal Society . 115 : 513–585. doi :10.1098/rstl.1825.0026. JSTOR  107756. S2CID  145157003.
2. Gavrilov, Leonid A.; Gavrilova, Natalia S. (1991), La biología de la duración de la vida: un enfoque cuantitativo. , Nueva York: Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-4983-7
3. Makeham, WM (1860). "Sobre la Ley de Mortalidad y la Construcción de Tablas de Anualidades". J.Inst. Actuarios y Assur. Mag . 8 (6): 301–310. doi :10.1017/S204616580000126X. JSTOR  41134925.
4. Gavrilov, Leonid A.; Gavrilova, Natalia S. (2011). "Medición de la mortalidad en edades avanzadas: un estudio del archivo maestro de defunciones de la Administración de la Seguridad Social" (PDF) . Revista Actuarial de América del Norte . 15 (3): 432–447. doi :10.1080/10920277.2011.10597629. PMC 3269912 . PMID  22308064. 
5. Gavrilov, LA; Gavrilova, NS; Nosov, VN (1983). "La esperanza de vida humana dejó de aumentar: ¿por qué?". Gerontología . 29 (3): 176–180. doi :10.1159/000213111. PMID  6852544.
6. Gavrilov, LA; Nosov, VN (1985). "Una nueva tendencia en la disminución de la mortalidad humana: desrectangularización de la curva de supervivencia [Resumen]". Edad . 8 (3): 93. doi :10.1007/BF02432075. S2CID  41318801.
7. Gavrilova, NS; Gavrilov, LA (2011). "Stárnutí a dlouhovekost: Zákony a prognózy úmrtnosti pro stárnoucí populace" [Envejecimiento y longevidad: leyes de mortalidad y previsiones de mortalidad para poblaciones que envejecen]. Demografía (en checo). 53 (2): 109-128. PMC 4167024 . PMID  25242821. 
8. Jodrá, P. (2009). "Una expresión de forma cerrada para la función cuantil de la distribución de Gompertz-Makeham". Matemáticas y Computación en Simulación . 79 (10): 3069–3075. doi : 10.1016/j.matcom.2009.02.002.
9. Jackson, Justin; Xpress, Médico. "Vida útil hasta los 140 años predicha por la centenaria ley de Gompertz". medicalxpress.com . Consultado el 6 de abril de 2023 .