Distribución de probabilidad continua, que lleva el nombre de Benjamin Gompertz
En probabilidad y estadística , la distribución de Gompertz es una distribución de probabilidad continua , llamada así en honor a Benjamin Gompertz . La distribución de Gompertz se aplica a menudo para describir la distribución de la esperanza de vida de los adultos por demógrafos [1] [2] y actuarios . [3] [4] Campos científicos relacionados como la biología [5] y la gerontología [6] también consideraron la distribución de Gompertz para el análisis de la supervivencia. Más recientemente, los informáticos también han comenzado a modelar las tasas de fallo del código informático mediante la distribución de Gompertz. [7] En Marketing Science, se ha utilizado como una simulación a nivel individual para modelar el valor de vida del cliente . [8] En la teoría de redes , particularmente en el modelo Erdős-Rényi , la longitud de la caminata de una caminata aleatoria autoevitada (SAW) se distribuye según la distribución de Gompertz. [9]
La distribución de Gompertz es una distribución flexible que puede sesgarse hacia la derecha y hacia la izquierda. Su función de riesgo es una función convexa de . El modelo puede encajarse en el paradigma de innovación-imitación con el coeficiente de innovación y el coeficiente de imitación. Cuando se hace grande, se acerca . El modelo también puede pertenecer al paradigma de la propensión a adoptar como propensión a adoptar y como atractivo general de la nueva oferta.
formas
La función de densidad de Gompertz puede adoptar diferentes formas según los valores del parámetro de forma :
Cuando la función de densidad de probabilidad tiene su moda en 0.
Cuando la función de densidad de probabilidad tiene su moda en
Divergencia Kullback-Leibler
Si y son las funciones de densidad de probabilidad de dos distribuciones de Gompertz, entonces su divergencia Kullback-Leibler viene dada por
Si X se define como el resultado del muestreo de una distribución de Gumbel hasta que se produce un valor negativo Y , y se establece X = − Y , entonces X tiene una distribución de Gompertz.
Cuando varía según una distribución gamma con parámetro de forma y parámetro de escala (media = ), la distribución es Gamma/Gompertz. [8]
Distribución de Gompertz ajustada a precipitaciones máximas mensuales de 1 día [11]
Si , entonces y por tanto . [12]
Aplicaciones
En hidrología, la distribución de Gompertz se aplica a eventos extremos como las precipitaciones máximas anuales de un día y los caudales de los ríos. La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Gompertz a las precipitaciones máximas de un día clasificadas anualmente, mostrando también el cinturón de confianza del 90% basado en la distribución binomial . Los datos de lluvia se representan trazando posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .
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Referencias
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Gompertz, B. (1825). "Sobre la naturaleza de la función expresiva de la ley de la mortalidad humana y sobre un nuevo modo de determinar el valor de las contingencias de la vida". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 115 : 513–583. doi :10.1098/rstl.1825.0026. JSTOR 107756. S2CID 145157003.
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