Límite de Roche

Radio orbital en el que un satélite podría desintegrarse debido a la fuerza gravitacional

En mecánica celeste , el límite de Roche , también llamado radio de Roche , es la distancia a un cuerpo celeste dentro de la cual un segundo cuerpo celeste, unido solo por su propia fuerza de gravedad , se desintegrará porque las fuerzas de marea del primer cuerpo exceden la autogravitación del segundo cuerpo . ^[1] Dentro del límite de Roche, el material en órbita se dispersa y forma anillos , mientras que fuera del límite, el material tiende a fusionarse . El radio de Roche depende del radio del primer cuerpo y de la relación de las densidades de los cuerpos.

El término recibe su nombre de Édouard Roche ( en francés: [ʁɔʃ] , en inglés: / rɒʃ / ROSH ), el astrónomo francés que calculó por primera vez este límite teórico en 1848. [ ^2]

Explicación

El cometa Shoemaker-Levy 9 fue desintegrado por las fuerzas de marea de Júpiter en una cadena de cuerpos más pequeños en 1992, antes de colisionar con el planeta en 1994.

El límite de Roche se aplica típicamente a la desintegración de un satélite debido a las fuerzas de marea inducidas por su primario , el cuerpo alrededor del cual orbita . Las partes del satélite que están más cerca del primario son atraídas con más fuerza por la gravedad del primario que las partes que están más alejadas; esta disparidad efectivamente separa las partes cercanas y lejanas del satélite entre sí, y si la disparidad (combinada con cualquier efecto centrífugo debido al giro del objeto) es mayor que la fuerza de gravedad que mantiene unido al satélite, puede separarlo. Algunos satélites reales, tanto naturales como artificiales , pueden orbitar dentro de sus límites de Roche porque se mantienen unidos por fuerzas distintas a la gravitación. Los objetos que descansan sobre la superficie de un satélite de este tipo serían levantados por las fuerzas de marea. Un satélite más débil, como un cometa , podría romperse cuando pasa dentro de su límite de Roche.

Dado que, dentro del límite de Roche, las fuerzas de marea superan a las fuerzas gravitacionales que de otro modo podrían mantener unido al satélite, ningún satélite puede fusionarse gravitacionalmente a partir de partículas más pequeñas dentro de ese límite. De hecho, casi todos los anillos planetarios conocidos se encuentran dentro de su límite de Roche. (Excepciones notables son el anillo E de Saturno y el anillo de Phoebe . Estos dos anillos posiblemente sean restos del disco de acreción protoplanetario del planeta que no logró fusionarse en pequeñas lunas, o por el contrario, se formaron cuando una luna pasó dentro de su límite de Roche y se desintegró).

Los efectos gravitacionales que ocurren por debajo del límite de Roche no son el único factor que provoca la fragmentación de los cometas. La fragmentación por estrés térmico , la presión interna del gas y la fragmentación rotacional son otras formas en que un cometa se fragmenta bajo estrés.

Ejemplos seleccionados

La siguiente tabla muestra la densidad media y el radio ecuatorial de objetos seleccionados en el Sistema Solar . ^{[ cita requerida ]}

Las ecuaciones para los límites de Roche relacionan el radio orbital mínimo sostenible con la relación entre las densidades de los dos objetos y el radio del cuerpo primario. Por lo tanto, utilizando los datos anteriores, se pueden calcular los límites de Roche para estos objetos. Esto se ha hecho dos veces para cada uno, asumiendo los extremos de los casos de cuerpo rígido y fluido. La densidad media de los cometas se considera de alrededor de 500 kg/m ³ .

La tabla siguiente muestra los límites de Roche expresados ​​en kilómetros y expresados ​​como una relación de la distancia en kilómetros dividida por el radio del cuerpo primario [Ejemplo: en el resultado Tierra-Luna que se muestra a continuación, el resultado 1,49 = 9.492/6.378, la relación del límite de Roche 9.492 km dividido por 6.378 km, el radio de la Tierra]. ^{[ cita requerida ]} El radio medio de la órbita se puede comparar con los límites de Roche. Para mayor comodidad, la tabla enumera el radio medio de la órbita de cada uno, excluyendo los cometas, cuyas órbitas son extremadamente variables y excéntricas.

Estos cuerpos están muy fuera de sus límites de Roche por varios factores, desde 21 para la Luna (por encima de su límite de Roche de cuerpo fluido) como parte del sistema Tierra-Luna, hasta cientos para la Tierra y Júpiter.

La tabla siguiente muestra el acercamiento más cercano de cada satélite en su órbita dividido por su propio límite de Roche. ^{[ cita requerida ]} Nuevamente, se dan cálculos de cuerpos rígidos y fluidos. Tenga en cuenta que Pan , Cordelia y Naiad , en particular, pueden estar bastante cerca de sus puntos de ruptura reales.

En la práctica, no se conocen las densidades de la mayoría de los satélites interiores de los planetas gigantes. En estos casos, que se muestran en cursiva , se han supuesto valores probables, pero su límite de Roche real puede variar respecto del valor mostrado.

Determinación

La distancia límite a la que un satélite puede aproximarse sin romperse depende de la rigidez del satélite. En un extremo, un satélite completamente rígido mantendrá su forma hasta que las fuerzas de marea lo rompan. En el otro extremo, un satélite muy fluido se deforma gradualmente, lo que provoca un aumento de las fuerzas de marea, lo que hace que el satélite se alargue, lo que agrava aún más las fuerzas de marea y hace que se rompa con mayor facilidad.

La mayoría de los satélites reales se encontrarían en algún punto intermedio entre estos dos extremos, y la resistencia a la tracción haría que el satélite no fuera ni perfectamente rígido ni perfectamente fluido. Por ejemplo, un asteroide formado por un montón de escombros se comportaría más como un fluido que como un asteroide rocoso sólido; un cuerpo helado se comportaría bastante rígido al principio, pero se volvería más fluido a medida que el calor de las mareas se acumulara y sus hielos comenzaran a derretirse.

Pero hay que tener en cuenta que, como se ha definido anteriormente, el límite de Roche se refiere a un cuerpo que se mantiene unido únicamente por las fuerzas gravitacionales que hacen que partículas que de otro modo no estarían conectadas se fusionen, formando así el cuerpo en cuestión. El límite de Roche también suele calcularse para el caso de una órbita circular, aunque es sencillo modificar el cálculo para aplicarlo al caso (por ejemplo) de un cuerpo que pasa por el primario en una trayectoria parabólica o hiperbólica.

Satélites rígidos

El límite de Roche para cuerpos rígidos es un cálculo simplificado para un satélite esférico . Se desprecian las formas irregulares, como las de la deformación por mareas en el cuerpo o las órbitas primarias que lo rodean. Estas suposiciones, aunque poco realistas, simplifican enormemente los cálculos.

El límite de Roche para un satélite esférico rígido es la distancia, , desde el primario en el que la fuerza gravitacional sobre una masa de prueba en la superficie del objeto es exactamente igual a la fuerza de marea que aleja la masa del objeto: ^{[3] [4]} ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d=R_{M}\left(2{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

donde es el radio del primario, es la densidad del primario y es la densidad del satélite. Esto se puede escribir de forma equivalente como ${\displaystyle R_{M}}$ ${\displaystyle \rho _{M}}$ ${\displaystyle \rho _{m}}$

${\displaystyle d=R_{m}\left(2{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

donde es el radio del secundario, es la masa del primario y es la masa del secundario. Una tercera forma equivalente utiliza solo una propiedad para cada uno de los dos cuerpos, la masa del primario y la densidad del secundario, es ${\displaystyle R_{m}}$ ${\displaystyle M_{M}}$ ${\displaystyle M_{m}}$

${\displaystyle d=0.7816\left({\frac {M_{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

Todos ellos representan la distancia orbital dentro de la cual el material suelto (por ejemplo, el regolito ) en la superficie del satélite más cercano al primario sería arrastrado, y de la misma manera el material en el lado opuesto al primario también se alejará del satélite, en lugar de acercarse a él.

Derivación de la fórmula

Derivación del límite de Roche

Para determinar el límite de Roche, considere una pequeña masa en la superficie del satélite más cercana al primario. Hay dos fuerzas sobre esta masa : la atracción gravitatoria hacia el satélite y la atracción gravitatoria hacia el primario. Suponga que el satélite está en caída libre alrededor del primario y que la fuerza de marea es el único término relevante de la atracción gravitatoria del primario. Esta suposición es una simplificación ya que la caída libre solo se aplica verdaderamente al centro planetario, pero será suficiente para esta derivación. ^[5] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

La atracción gravitatoria de la masa hacia el satélite con masa y radio se puede expresar de acuerdo con la ley de gravitación de Newton . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle F_{\text{G}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle F_{\text{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}$

La fuerza de marea sobre la masa hacia el primario con radio y masa , a una distancia entre los centros de los dos cuerpos, se puede expresar aproximadamente como ${\displaystyle F_{\text{T}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$.

Para obtener esta aproximación, encuentre la diferencia en la atracción gravitatoria del primario sobre el centro del satélite y sobre el borde del satélite más cercano al primario: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}$

${\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}$

${\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}$

En la aproximación donde y , se puede decir que en el numerador y cada término con en el denominador tiende a cero, lo que nos da: ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle r\ll R}$ ${\displaystyle R<d}$ ${\displaystyle r^{2}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}$

${\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$

El límite de Roche se alcanza cuando la fuerza gravitacional y la fuerza de marea se equilibran entre sí. ^[6]

${\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}$

o

${\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$,

lo que da el límite de Roche, , como ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d=r\left(2\,{\frac {M}{m}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

El radio del satélite no debe aparecer en la expresión del límite, por lo que se reescribe en términos de densidades.

Para una esfera la masa se puede escribir como ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M={\frac {4\pi \rho _{M}R^{3}}{3}}}$¿Dónde está el radio del primario? ${\displaystyle R}$

Y de igual manera

${\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}$¿Dónde está el radio del satélite? ${\displaystyle r}$

Sustituyendo las masas en la ecuación para el límite de Roche y cancelando se obtiene ${\displaystyle 4\pi /3}$

${\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}$,

que puede simplificarse al siguiente límite de Roche:

${\displaystyle d=R\left(2\,{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.26R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$.

Satélites fluidos

Un método más preciso para calcular el límite de Roche tiene en cuenta la deformación del satélite. Un ejemplo extremo sería un satélite líquido bloqueado por mareas que orbita alrededor de un planeta, donde cualquier fuerza que actúe sobre el satélite lo deformaría y lo convertiría en un esferoide alargado .

El cálculo es complejo y su resultado no se puede representar en una fórmula algebraica exacta. El propio Roche dedujo la siguiente solución aproximada para el límite de Roche:

${\displaystyle d\approx 2.44R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}$

Sin embargo, una mejor aproximación que tiene en cuenta la oblatividad del primario y la masa del satélite es:

${\displaystyle d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3M}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {m}{M}})}{1-c/R}}\right)^{1/3}}$

¿Dónde está la oblatividad de lo primario? ${\displaystyle c/R}$

La solución fluida es apropiada para cuerpos que están unidos de forma poco firme, como un cometa. Por ejemplo, la órbita en descomposición del cometa Shoemaker-Levy 9 alrededor de Júpiter pasó dentro de su límite de Roche en julio de 1992, lo que provocó que se fragmentara en varios fragmentos más pequeños. En su siguiente aproximación en 1994, los fragmentos chocaron contra el planeta. Shoemaker-Levy 9 fue observado por primera vez en 1993, pero su órbita indicaba que había sido capturado por Júpiter unas décadas antes. ^[7]

Derivación de la fórmula

Como el caso del satélite fluido es más delicado que el caso del satélite rígido, se describe el satélite con algunas suposiciones simplificadas. En primer lugar, supongamos que el objeto consiste en un fluido incompresible que tiene una densidad y un volumen constantes que no dependen de fuerzas externas o internas. ${\displaystyle \rho _{m}}$ ${\displaystyle V}$

En segundo lugar, supongamos que el satélite se mueve en una órbita circular y permanece en rotación sincrónica . Esto significa que la velocidad angular a la que gira alrededor de su centro de masas es la misma que la velocidad angular a la que se mueve alrededor del baricentro del sistema general . ${\displaystyle \omega }$

La velocidad angular viene dada por la tercera ley de Kepler : ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ^{2}=G\,{\frac {M+m}{d^{3}}}.}$

Cuando M es mucho mayor que m, esto estará cerca de

${\displaystyle \omega ^{2}=G\,{\frac {M}{d^{3}}}.}$

La rotación sincrónica implica que el líquido no se mueve y el problema puede considerarse estático. Por lo tanto, la viscosidad y la fricción del líquido en este modelo no juegan ningún papel, ya que estas magnitudes jugarían un papel solo para un fluido en movimiento.

Teniendo en cuenta estos supuestos, se deben tener en cuenta las siguientes fuerzas:

• La fuerza de gravedad debida al cuerpo principal;
• la fuerza centrífuga en el sistema de referencia rotatorio; y
• el campo de autogravitación del satélite.

Como todas estas fuerzas son conservativas, se pueden expresar mediante un potencial. Además, la superficie del satélite es equipotencial. De lo contrario, las diferencias de potencial darían lugar a fuerzas y al movimiento de algunas partes del líquido en la superficie, lo que contradice el supuesto del modelo estático. Dada la distancia desde el cuerpo principal, se debe determinar la forma de la superficie que satisface la condición equipotencial.

Distancia radial de un punto de la superficie del elipsoide al centro de masa

Como se ha supuesto que la órbita es circular, la fuerza gravitatoria total y la fuerza centrífuga orbital que actúan sobre el cuerpo principal se cancelan. Esto deja dos fuerzas: la fuerza de marea y la fuerza centrífuga rotacional. La fuerza de marea depende de la posición con respecto al centro de masa, ya considerada en el modelo rígido. Para cuerpos pequeños, la distancia de las partículas líquidas desde el centro del cuerpo es pequeña en relación con la distancia d al cuerpo principal. Por lo tanto, la fuerza de marea se puede linealizar, lo que da como resultado la misma fórmula para F _T que se indicó anteriormente.

Mientras que esta fuerza en el modelo rígido depende únicamente del radio r del satélite, en el caso del fluido se deben considerar todos los puntos de la superficie, y la fuerza de marea depende de la distancia Δd desde el centro de masas hasta una partícula dada proyectada sobre la línea que une el satélite y el cuerpo principal. Llamamos Δd a la distancia radial . Como la fuerza de marea es lineal en Δd , el potencial relacionado es proporcional al cuadrado de la variable y para tenemos ${\displaystyle m\ll M}$

${\displaystyle V_{T}=-{\frac {3GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}$

Asimismo, la fuerza centrífuga tiene un potencial

${\displaystyle V_{C}=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\Delta d^{2}=-{\frac {GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}$

para la velocidad angular rotacional . ${\displaystyle \omega }$

Queremos determinar la forma del satélite para el cual la suma del potencial de autogravitación y V _T + V _C es constante en la superficie del cuerpo. En general, un problema de este tipo es muy difícil de resolver, pero en este caso particular, se puede resolver con una suposición hábil debido a la dependencia cuadrada del potencial de marea en la distancia radial Δd . En una primera aproximación, podemos ignorar el potencial centrífugo V _C y considerar solo el potencial de marea V _T .

Como el potencial V _T cambia sólo en una dirección, es decir, la dirección hacia el cuerpo principal, se puede esperar que el satélite adopte una forma axialmente simétrica. Más precisamente, podemos suponer que adopta la forma de un sólido de revolución . El potencial propio en la superficie de tal sólido de revolución sólo puede depender de la distancia radial al centro de masa. De hecho, la intersección del satélite y un plano perpendicular a la línea que une los cuerpos es un disco cuyo límite, según nuestras suposiciones, es un círculo de potencial constante. Si la diferencia entre el potencial de autogravitación y V _T es constante, ambos potenciales deben depender de la misma manera de Δd . En otras palabras, el potencial propio tiene que ser proporcional al cuadrado de Δd . Entonces se puede demostrar que la solución equipotencial es un elipsoide de revolución. Dada una densidad y un volumen constantes, el potencial propio de tal cuerpo depende sólo de la excentricidad ε del elipsoide:

${\displaystyle V_{s}=V_{s_{0}}+G\pi \rho _{m}\cdot f(\varepsilon )\cdot \Delta d^{2},}$

donde es el potencial propio constante en la intersección del borde circular del cuerpo y el plano de simetría central dado por la ecuación Δd=0 . ${\displaystyle V_{s_{0}}}$

La función adimensional f se debe determinar a partir de la solución precisa para el potencial del elipsoide.

${\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{\varepsilon ^{3}}}\cdot \left[\left(3-\varepsilon ^{2}\right)\cdot \operatorname {artanh} \varepsilon -3\varepsilon \right]}$

y, sorprendentemente, no depende del volumen del satélite.

La gráfica de la función adimensional f que indica cómo la intensidad del potencial de marea depende de la excentricidad ε del elipsoide.

Aunque la forma explícita de la función f parece complicada, está claro que podemos elegir, y de hecho lo hacemos, el valor de ε de modo que el potencial V _T sea igual a V _S más una constante independiente de la variable Δd . Por inspección, esto ocurre cuando

${\displaystyle {\frac {2G\pi \rho _{M}R^{3}}{d^{3}}}=G\pi \rho _{m}f(\varepsilon )}$

Esta ecuación se puede resolver numéricamente. El gráfico indica que hay dos soluciones y, por lo tanto, la más pequeña representa la forma de equilibrio estable (el elipsoide con la excentricidad más pequeña). Esta solución determina la excentricidad del elipsoide de marea en función de la distancia al cuerpo principal. La derivada de la función f tiene un cero donde se alcanza la excentricidad máxima. Esto corresponde al límite de Roche.

La derivada de f determina la excentricidad máxima, lo que da el límite de Roche.

Más precisamente, el límite de Roche está determinado por el hecho de que la función f , que puede considerarse como una medida no lineal de la fuerza que comprime el elipsoide hacia una forma esférica, está acotada de modo que existe una excentricidad en la que esta fuerza de contracción se vuelve máxima. Dado que la fuerza de marea aumenta cuando el satélite se acerca al cuerpo principal, está claro que existe una distancia crítica en la que el elipsoide se rompe.

La excentricidad máxima se puede calcular numéricamente como el cero de la derivada de f' . Se obtiene

${\displaystyle \varepsilon _{\text{max}}\approx 0{.}86}$

que corresponde a la relación de los ejes del elipsoide 1:1,95. Introduciendo esto en la fórmula de la función f se puede determinar la distancia mínima a la que existe el elipsoide. Este es el límite de Roche.

${\displaystyle d\approx 2{.}423\cdot R\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}}\,.}$

Sorprendentemente, incluir el potencial centrífugo hace una diferencia notablemente pequeña, aunque el objeto se convierte en un elipsoide de Roche , un elipsoide triaxial general con todos los ejes con longitudes diferentes. El potencial se convierte en una función mucho más complicada de las longitudes de los ejes, que requiere funciones elípticas . Sin embargo, la solución procede de manera muy similar al caso de solo mareas, y encontramos

${\displaystyle d\approx 2{.}455\cdot R\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}}\,.}$

Las relaciones de los ejes de dirección polar, orbital y primaria son 1:1,06:2,07.

Véase también

• Lóbulo de Roche
• Límite de Chandrasekhar
• Espaguetificación (el caso extremo de distorsión de las mareas)
• Esfera de colina
• Esfera de influencia (agujero negro)
• Agujero negro
• Tritón (luna) (satélite de Neptuno)
• Cometa Shoemaker-Levy 9

Referencias

1. Eric W. Weisstein (2007). "El mundo de la física de Eric Weisstein - Límite de Roche". scienceworld.wolfram.com . Consultado el 5 de septiembre de 2007 .
2. NASA. «¿Cuál es el límite de Roche?». NASA – JPL. Archivado desde el original el 23 de abril de 2009. Consultado el 5 de septiembre de 2007 .
3. ver cálculo en Frank H. Shu, El universo físico: una introducción a la astronomía, pág. 431, University Science Books (1982), ISBN 0-935702-05-9 . 
4. "Límite de Roche: ¿Por qué se fragmentan los cometas?". Archivado desde el original el 15 de mayo de 2013. Consultado el 28 de agosto de 2012 .
5. Gu; et al. (2003). "El efecto de la inestabilidad de la inflación de marea en la masa y la evolución dinámica de planetas extrasolares con períodos ultracortos". Astrophysical Journal . 588 (1): 509–534. arXiv : astro-ph/0303362 . Código Bibliográfico :2003ApJ...588..509G. doi :10.1086/373920. S2CID  17422966.
6. Harko, Tiberiu (2019). Extensiones de la gravedad f(R): acoplamientos curvatura-materia y gravedad híbrida métrica-Palatini . Cambridge. ISBN 1108584578.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
7. Conferencia de la Sociedad Internacional de Planetarios, Astronaut Memorial Planetarium & Observatory, Cocoa, Florida Rob Landis 10-16 de julio de 1994 archivo 21/12/1996

Fuentes

• Roche, Édouard (1849). "La figura de una masa fluida soumise à l'attraction d'un point éloigné, parte 1". Mémoires de la sección de ciencias, Volumen 1. Académie des sciences de Montpellier. págs. 243–262.2.44 se menciona en la página 258.
• Roche, Édouard (1850). "La figura de una masa fluida soumise à l'attraction d'un point éloigné, parte 2". Mémoires de la sección de ciencias, Volumen 1. Académie des sciences de Montpellier. págs. 333–348.
• Roche, Édouard (1851). "La figura de una masa fluida soumise à l'attraction d'un point éloigné, parte 3". Mémoires de la sección de ciencias, Volumen 2. Académie des sciences de Montpellier. págs. 21–32.
• Howard Darwin, George (1910). "Sobre la figura y la estabilidad de un satélite líquido". Scientific Papers, Volumen 3. págs. 436–524.
• Hopwood Jeans, James (1919). "Capítulo III: Configuraciones elipsoidales de equilibrio". Problemas de cosmogonía y dinámica estelar.
• Chandrasekhar, Subrahmanyan (1969). Figuras elipsoidales de equilibrio. Yale University Press. ISBN 978-0-300-01116-6.
• Chandrasekhar, S. (1963). "El equilibrio y la estabilidad de los elipsoides de Roche". The Astrophysical Journal . 138 : 1182. Bibcode :1963ApJ...138.1182C. doi :10.1086/147716. ISSN  0004-637X.

Enlaces externos

• Discusión sobre el límite de Roche Archivado el 16 de septiembre de 2019 en Wayback Machine.
• Audio: Caín/Gay – La astronomía proyecta fuerzas de marea a través del universo – agosto de 2007.
• Descripción del límite de Roche de la NASA