Triacontaedro de Disdyakis

Catalán macizo con 120 caras

En geometría , un triacontaedro disdyakis , hexakis icosaedro , decakis dodecaedro o triacontaedro kisrrómbico ^[1] es un sólido catalán con 120 caras y el dual del icosidodecaedro truncado de Arquímedes . Como tal, es uniforme en cuanto a caras pero con polígonos de caras irregulares . Se parece ligeramente a un triacontaedro rómbico inflado : si uno reemplaza cada cara del triacontaedro rómbico con un solo vértice y cuatro triángulos de manera regular, uno termina con un triacontaedro disdyakis. Es decir, el triacontaedro disdyakis es el Kleetope del triacontaedro rómbico. También es la subdivisión baricéntrica del dodecaedro y el icosaedro regulares . Es el sólido de Arquímedes y de Catalán que tiene más caras, ocupando el segundo lugar el dodecaedro romo , con 92 caras.

Si se excluyen las bipirámides , las bipirámides giroelongadas y los trapezoedros , el triacontaedro disdyakis tiene la mayor cantidad de caras de cualquier otro poliedro estrictamente convexo donde cada cara del poliedro tiene la misma forma.

Proyectados en una esfera , los bordes de un triacontaedro disdyakis definen 15 círculos máximos . Buckminster Fuller utilizó estos 15 círculos máximos, junto con otros 10 y 6 más en otros dos poliedros para definir sus 31 círculos máximos del icosaedro esférico .

Geometría

Al ser un sólido catalán con caras triangulares, los tres ángulos de las caras y el ángulo diedro común del triacontaedro disdyakis deben obedecer las siguientes restricciones análogas a otros sólidos catalanes: ${\displaystyle \alpha _{4},\alpha _{6},\alpha _{10}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /4)/\cos(\alpha _{4}/2)}$

${\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /6)/\cos(\alpha _{6}/2)}$

${\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /10)/\cos(\alpha _{10}/2)}$

${\displaystyle \alpha _{4}+\alpha _{6}+\alpha _{10}=\pi }$

Las cuatro ecuaciones anteriores se resuelven simultáneamente para obtener los siguientes ángulos de cara y ángulo diedro:

${\displaystyle \alpha _{4}=\arccos \left({\frac {7-4\phi }{30}}\right)\approx 88.992^{\circ }}$

${\displaystyle \alpha _{6}=\arccos \left({\frac {17-4\phi }{20}}\right)\approx 58.238^{\circ }}$

${\displaystyle \alpha _{10}=\arccos \left({\frac {2+5\phi }{12}}\right)\approx 32.770^{\circ }}$

${\displaystyle \theta =\arccos \left(-{\frac {155+48\phi }{241}}\right)\approx 164.888^{\circ }}$

¿Dónde está la proporción áurea ? ${\displaystyle \phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.618}$

Como ocurre con todos los sólidos catalanes, los ángulos diedros en todas las aristas son los mismos, aunque las aristas puedan tener longitudes diferentes.

Coordenadas cartesianas

Los dominios fundamentales de la simetría icosaédrica forman una versión esférica de un triacontaedro disdyakis. Cada triángulo puede asignarse a otro triángulo del mismo color mediante una rotación tridimensional únicamente. Los triángulos de diferentes colores pueden asignarse entre sí mediante una reflexión o inversión además de rotaciones.

Cascos del triacontaedro de Disdyakis.

Los 62 vértices de un triacontaedro disdyakis están dados por: ^[2]

• Doce vértices y sus permutaciones cíclicas, ${\displaystyle \left(0,{\frac {\pm 1}{\sqrt {\phi +2}}},{\frac {\pm \phi }{\sqrt {\phi +2}}}\right)}$

• Ocho vértices , ${\displaystyle \left(\pm R,\pm R,\pm R\right)}$

• Doce vértices y sus permutaciones cíclicas, ${\displaystyle \left(0,\pm R\phi ,\pm {\frac {R}{\phi }}\right)}$

• Seis vértices y sus permutaciones cíclicas. ${\displaystyle \left(\pm S,0,0\right)}$

• Veinticuatro vértices y sus permutaciones cíclicas, ${\displaystyle \left(\pm {\frac {S\phi }{2}},\pm {\frac {S}{2}},\pm {\frac {S}{2\phi }}\right)}$

dónde

${\displaystyle R={\frac {5}{3\phi {\sqrt {\phi +2}}}}={\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{3}}\approx 0.5415328270548438}$,

${\displaystyle S={\frac {(7\phi -6){\sqrt {\phi +2}}}{11}}={\frac {(2{\sqrt {5}}-3){\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{11}}\approx 0.9210096876986302}$, y

${\displaystyle \phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.618}$es la proporción áurea

En las coordenadas anteriores, los primeros 12 vértices forman un icosaedro regular , los siguientes 20 vértices (aquellos con R ) forman un dodecaedro regular y los últimos 30 vértices (aquellos con S ) forman un icosidodecaedro .

Al normalizar todos los vértices a la esfera unitaria se obtiene un triacontaedro disdyakis esférico , que se muestra en la figura adyacente. Esta figura también muestra las 120 transformaciones asociadas con el grupo icosaédrico completo Ih .

Simetría

Las aristas del poliedro proyectado sobre una esfera forman 15 círculos máximos y representan los 15 planos especulares de la simetría icosaédrica reflectante I _h . La combinación de pares de triángulos claros y oscuros define los dominios fundamentales de la simetría icosaédrica no reflectante ( I ). Las aristas de un compuesto de cinco octaedros también representan los 10 planos especulares de la simetría icosaédrica.

Proyecciones ortogonales

El triacontaedro de Disdyakis tiene tres tipos de vértices que pueden centrarse en proyección ortogonal:

Usos

Rompecabezas de Big Chop

El triacontaedro de Disdyakis , un dodecaedro regular con pentágonos divididos en 10 triángulos cada uno, se considera el «santo grial» de los rompecabezas de combinación como el cubo de Rubik . Este tipo de rompecabezas no tiene actualmente un mecanismo satisfactorio. Es el problema sin resolver más importante en los rompecabezas mecánicos, a menudo llamado el problema del «gran corte». ^[3]

Esta forma se utilizó para hacer dados de 120 caras mediante impresión 3D. ^[4]

Desde 2016, el Laboratorio de Dados ha utilizado el triacontaedro de disdyakis para comercializar en masa un dado de 120 caras moldeado por inyección . ^[5] Se afirma que 120 es el mayor número posible de caras en un dado justo, además de las familias infinitas (como los prismas regulares rectos , las bipirámides y los trapezoedros ) que serían poco prácticas en la realidad debido a la tendencia a rodar durante mucho tiempo. ^[6]

Un tricontaedro disdyakis proyectado sobre una esfera se utiliza como logotipo de Brilliant , un sitio web que contiene una serie de lecciones sobre temas relacionados con STEM . ^[7]

Poliedros y teselaciones relacionados

Está relacionado topológicamente con una secuencia de poliedros definida por la configuración de caras V4.6.2n . Este grupo es especial porque tiene un número par de aristas por vértice y forma planos biseccionales a través de los poliedros y líneas infinitas en el plano, y continúa en el plano hiperbólico para cualquier n ≥ 7.

Con un número par de caras en cada vértice, estos poliedros y teselas se pueden mostrar alternando dos colores para que todas las caras adyacentes tengan colores diferentes.

Cada cara de estos dominios también corresponde al dominio fundamental de un grupo de simetría de orden 2,3, con n espejos en cada vértice de la cara del triángulo. Esto es * n 32 en notación orbifold y [ n ,3] en notación Coxeter .

Referencias

1. Conway, Simetrías de las cosas, p.284
2. Triacontaedro de Disdyakis
3. Gran tajo
4. Sitio web de Kevin Cook's Dice Collector: d120 impreso en 3D por el artista de Shapeways SirisC
5. "El laboratorio de dados". Archivado desde el original el 8 de diciembre de 2016. Consultado el 7 de abril de 2016 .
6. "Este D120 es el dado más grande posible desde el punto de vista matemático | Nerdist". Archivado desde el original el 3 de mayo de 2016.
7. "Brillante | Aprende a pensar". brilliant.org . Consultado el 1 de febrero de 2020 .
8. Symmetrohedra: Poliedros a partir de la colocación simétrica de polígonos regulares Archivado el 17 de marzo de 2017 en Wayback Machine Craig S. Kaplan

• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3-9)
• Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, Sr.  0730208(Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales, página 25, Disdyakistriacontahedron)
• Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Capítulo 21, Denominación de los poliedros y teselaciones de Arquímedes y de Catalán, página 285, kisTriacontaedro rómbico) 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Triacontaedro de Disdyakis" ("Sólido catalán") en MathWorld .
• Triacontaedro de Disdyakis (icosaedro de Hexakis): modelo poliedro interactivo