Estadísticas de Bose-Einstein

Descripción del comportamiento de los bosones

En estadística cuántica , la estadística de Bose-Einstein ( estadística B–E ) describe una de las dos formas posibles en las que una colección de partículas idénticas que no interactúan puede ocupar un conjunto de estados de energía discretos disponibles en equilibrio termodinámico . La agregación de partículas en el mismo estado, que es una característica de las partículas que obedecen a la estadística de Bose-Einstein, explica la transmisión cohesiva de la luz láser y el deslizamiento sin fricción del helio superfluido . La teoría de este comportamiento fue desarrollada (1924-25) por Satyendra Nath Bose , quien reconoció que una colección de partículas idénticas e indistinguibles puede distribuirse de esta manera. La idea fue adoptada y ampliada más tarde por Albert Einstein en colaboración con Bose.

Las estadísticas de Bose-Einstein se aplican únicamente a partículas que no siguen las restricciones del principio de exclusión de Pauli . Las partículas que siguen las estadísticas de Bose-Einstein se denominan bosones y tienen valores enteros de espín . Por el contrario, las partículas que siguen las estadísticas de Fermi-Dirac se denominan fermiones y tienen espines semienteros .

Distribuciones térmicas de equilibrio para partículas con espín entero (bosones), espín semientero (fermiones) y partículas clásicas (sin espín). Se muestra la ocupación promedio en función de la energía relativa al potencial químico del sistema , donde es la temperatura del sistema y es la constante de Boltzmann. ${\displaystyle \langle n\rangle }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$

Distribución de Bose-Einstein

A bajas temperaturas, los bosones se comportan de manera diferente a los fermiones (que obedecen a la estadística de Fermi-Dirac ) de manera que un número ilimitado de ellos puede "condensarse" en el mismo estado de energía. Esta propiedad aparentemente inusual también da lugar al estado especial de la materia: el condensado de Bose-Einstein . Las estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein se aplican cuando los efectos cuánticos son importantes y las partículas son " indistinguibles ". Los efectos cuánticos aparecen si la concentración de partículas satisface donde N es el número de partículas, V es el volumen y n _q es la concentración cuántica , para la cual la distancia entre partículas es igual a la longitud de onda térmica de De Broglie , de modo que las funciones de onda de las partículas apenas se superponen. $${\displaystyle {\frac {N}{V}}\geq n_{\text{q}},}$$

La estadística de Fermi-Dirac se aplica a los fermiones (partículas que obedecen al principio de exclusión de Pauli ) y la estadística de Bose-Einstein se aplica a los bosones . Como la concentración cuántica depende de la temperatura, la mayoría de los sistemas a altas temperaturas obedecen al límite clásico (Maxwell-Boltzmann), a menos que también tengan una densidad muy alta, como en el caso de una enana blanca . Tanto Fermi-Dirac como Bose-Einstein se convierten en estadísticas de Maxwell-Boltzmann a alta temperatura o a baja concentración.

La estadística de Bose-Einstein fue introducida para los fotones en 1924 por Bose y generalizada a los átomos por Einstein en 1924-25.

El número esperado de partículas en un estado de energía i para las estadísticas de Bose-Einstein es:

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}}$

con ε _i > μ y donde n _i es el número de ocupación (el número de partículas) en el estado i , es la degeneración del nivel de energía i , ε _i es la energía del estado i -ésimo, μ es el potencial químico (cero para un gas de fotones ), k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta . ${\displaystyle g_{i}}$

La varianza de esta distribución se calcula directamente a partir de la expresión anterior para el número promedio. ^[1] ${\displaystyle V(n)}$ $${\displaystyle V(n)=kT{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\bar {n}}_{i}=\langle n\rangle (1+\langle n\rangle )={\bar {n}}+{\bar {n}}^{2}}$$

A modo de comparación, el número promedio de fermiones con energía dada por la distribución de energía de partículas de Fermi-Dirac tiene una forma similar: ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ $${\displaystyle {\bar {n}}_{i}(\varepsilon _{i})={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$$

Como se mencionó anteriormente, tanto la distribución de Bose-Einstein como la distribución de Fermi-Dirac se aproximan a la distribución de Maxwell-Boltzmann en el límite de alta temperatura y baja densidad de partículas, sin necesidad de ninguna suposición ad hoc:

• En el límite de baja densidad de partículas, , por lo tanto o equivalentemente . En ese caso, , que es el resultado de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1}}\ll 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1\gg 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\gg 1}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\approx {\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}}={\frac {1}{Z}}e^{-(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}$
• En el límite de alta temperatura, las partículas se distribuyen en un amplio rango de valores de energía, por lo tanto, la ocupación en cada estado (especialmente los de alta energía con ) es nuevamente muy pequeña, . Esto nuevamente se reduce a las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. ${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg k_{\text{B}}T}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1}}\ll 1}$

Además de reducirse a la distribución de Maxwell-Boltzmann en el límite de alta y baja densidad, las estadísticas de Bose-Einstein también se reducen a la distribución de la ley de Rayleigh-Jeans para estados de baja energía con , a saber ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \ll k_{\text{B}}T}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}\\&\approx {\frac {g_{i}}{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}={\frac {g_{i}k_{\text{B}}T}{\varepsilon _{i}-\mu }}.\end{aligned}}}$$

Historia

En 1911, Władysław Natanson concluyó que la ley de Planck requiere la indistinguibilidad de "unidades de energía", aunque no lo formuló en términos de los cuantos de luz de Einstein. ^{[2] [3]}

Mientras daba una conferencia en la Universidad de Dacca (en lo que entonces era la India británica y ahora es Bangladesh ) sobre la teoría de la radiación y la catástrofe ultravioleta , Satyendra Nath Bose intentó mostrar a sus estudiantes que la teoría contemporánea era inadecuada, porque predecía resultados que no estaban de acuerdo con los resultados experimentales. Durante esta conferencia, Bose cometió un error al aplicar la teoría, que inesperadamente dio una predicción que coincidía con el experimento. El error era un error simple, similar a argumentar que lanzar dos monedas justas producirá dos caras un tercio de las veces, que parecería obviamente erróneo para cualquiera con un conocimiento básico de estadística (notablemente, este error se parecía al famoso error de d'Alembert conocido por su artículo Croix ou Pile ^{[4] [5]} ). Sin embargo, los resultados que predijo coincidían con el experimento, y Bose se dio cuenta de que podría no ser un error después de todo. Por primera vez, adoptó la posición de que la distribución de Maxwell-Boltzmann no sería verdadera para todas las partículas microscópicas en todas las escalas. Así, estudió la probabilidad de encontrar partículas en varios estados en el espacio de fases, donde cada estado es un pequeño parche que tiene un volumen de fase de ^h3 , y la posición y el momento de las partículas no se mantienen particularmente separados sino que se consideran como una variable.

Bose adaptó esta conferencia en un breve artículo llamado "La ley de Planck y la hipótesis de los cuantos de luz" ^{[6] [7]} y lo envió a la revista Philosophical Magazine . Sin embargo, el informe del árbitro fue negativo y el artículo fue rechazado. Sin desanimarse, envió el manuscrito a Albert Einstein solicitando su publicación en la Zeitschrift für Physik . Einstein aceptó de inmediato, tradujo personalmente el artículo del inglés al alemán (Bose había traducido anteriormente el artículo de Einstein sobre la teoría general de la relatividad del alemán al inglés) y se encargó de que se publicara. La teoría de Bose ganó respeto cuando Einstein envió su propio artículo en apoyo de la de Bose a la Zeitschrift für Physik , pidiendo que se publicaran juntos. El artículo se publicó en 1924. ^[8]

La razón por la que Bose produjo resultados precisos fue que, dado que los fotones son indistinguibles entre sí, no se puede tratar a dos fotones que tengan números cuánticos iguales (por ejemplo, polarización y vector de momento) como si fueran dos fotones identificables distintos. Bose originalmente tenía un factor de 2 para los posibles estados de espín, pero Einstein lo cambió a polarización. ^[9] Por analogía, si en un universo alternativo las monedas se comportaran como fotones y otros bosones, la probabilidad de producir dos caras sería de hecho un tercio, y también lo es la probabilidad de obtener una cara y una cruz, que es igual a la mitad para las monedas convencionales (clásicas, distinguibles). El "error" de Bose conduce a lo que ahora se llama estadística de Bose-Einstein.

Bose y Einstein extendieron la idea a los átomos y esto condujo a la predicción de la existencia de un fenómeno que se conoció como condensado de Bose-Einstein, una densa colección de bosones (que son partículas con espín entero, llamadas así en honor a Bose), cuya existencia se demostró experimentalmente en 1995.

Derivación

Derivación del conjunto microcanónico

En el conjunto microcanónico se considera un sistema con energía, volumen y número de partículas fijos. Tomamos un sistema compuesto por bosones idénticos, de los cuales 1 tienen energía y están distribuidos en niveles o estados con la misma energía , es decir, es la degeneración asociada a la energía de la energía total . El cálculo del número de disposiciones de partículas distribuidas entre estados es un problema de combinatoria . Dado que las partículas son indistinguibles en el contexto de la mecánica cuántica, el número de formas de organizar las partículas en cajas (para el ésimo nivel de energía) sería (ver imagen): ${\textstyle N=\sum _{i}n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\textstyle E=\sum _{i}n_{i}\varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle i}$

La imagen representa una posible distribución de partículas bosónicas en diferentes cajas. Las particiones de las cajas (verdes) se pueden mover para cambiar el tamaño de las cajas y, como resultado, la cantidad de bosones que cada caja puede contener.

$${\displaystyle w_{i,{\text{BE}}}={\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}=C_{n_{i}}^{n_{i}+g_{i}-1},}$$donde es la k -combinación de un conjunto con m elementos. El número total de disposiciones en un conjunto de bosones es simplemente el producto de los coeficientes binomiales anteriores sobre todos los niveles de energía, es decir ${\displaystyle C_{k}^{m}}$ ${\displaystyle C_{n_{i}}^{n_{i}+g_{i}-1}}$ $${\displaystyle W_{\text{BE}}=\prod _{i}w_{i,{\text{BE}}}=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{(g_{i}-1)!n_{i}!}},}$$

El número máximo de arreglos que determina el número de ocupación correspondiente se obtiene maximizando la entropía o, equivalentemente, estableciendo y teniendo en cuenta las condiciones subsidiarias (como multiplicadores de Lagrange ). ^[10] El resultado para , , es la distribución de Bose-Einstein. ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} (\ln W_{\text{BE}})=0}$ ${\textstyle N=\sum n_{i},E=\sum _{i}n_{i}\varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$ ${\displaystyle g_{i}\gg 1}$ ${\displaystyle n_{i}/g_{i}=O(1)}$

Derivación del gran conjunto canónico

La distribución de Bose-Einstein, que se aplica únicamente a un sistema cuántico de bosones que no interactúan, se deriva naturalmente del gran conjunto canónico sin ninguna aproximación. ^[11] En este conjunto, el sistema es capaz de intercambiar energía e intercambiar partículas con un reservorio (temperatura T y potencial químico μ fijados por el reservorio).

Debido a la cualidad de no interacción, cada nivel de partícula individual disponible (con nivel de energía ϵ ) forma un sistema termodinámico separado en contacto con el yacimiento. Es decir, el número de partículas dentro del sistema general que ocupan un estado de partícula individual dado forman un subconjunto que también es un conjunto gran canónico; por lo tanto, se puede analizar mediante la construcción de una función de partición general .

Cada estado de partícula individual tiene una energía fija, . Como el subconjunto asociado con un estado de partícula individual varía solo según el número de partículas, es evidente que la energía total del subconjunto también es directamente proporcional al número de partículas en el estado de partícula individual; donde es el número de partículas, la energía total del subconjunto será entonces . Comenzando con la expresión estándar para una función de partición general y reemplazando con , la función de partición general toma la forma ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\varepsilon }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N\varepsilon }$ $${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{N}\exp((N\mu -N\varepsilon )/k_{\text{B}}T)=\sum _{N}\exp(N(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)}$$

Esta fórmula se aplica tanto a los sistemas fermiónicos como a los bosónicos. La estadística de Fermi-Dirac surge al considerar el efecto del principio de exclusión de Pauli : mientras que el número de fermiones que ocupan el mismo estado de partícula única solo puede ser 1 o 0, el número de bosones que ocupan un estado de partícula única puede ser cualquier número entero. Por lo tanto, la función de partición general para bosones puede considerarse una serie geométrica y puede evaluarse como tal: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\sum _{N=0}^{\infty }\exp(N(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)=\sum _{N=0}^{\infty }[\exp((\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)]^{N}\\&={\frac {1}{1-\exp((\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)}}.\end{aligned}}}$$

Obsérvese que la serie geométrica es convergente solo si , incluido el caso en que . Esto implica que el potencial químico para el gas de Bose debe ser negativo, es decir, , mientras que el gas de Fermi puede tomar valores tanto positivos como negativos para el potencial químico. ^[12] ${\displaystyle e^{(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T}<1}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \mu <0}$

El número promedio de partículas para ese subestado de partícula única está dado por Este resultado se aplica para cada nivel de partícula única y, por lo tanto, forma la distribución de Bose-Einstein para todo el estado del sistema. ^{[13] [14]} $${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\text{B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)-1}}}$$

La varianza en el número de partículas, , es: ${\textstyle \sigma _{N}^{2}=\langle N^{2}\rangle -\langle N\rangle ^{2}}$ $${\displaystyle \sigma _{N}^{2}=k_{\text{B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}={\frac {\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)}{(\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)-1)^{2}}}=\langle N\rangle (1+\langle N\rangle ).}$$

Como resultado, para estados altamente ocupados la desviación estándar del número de partículas de un nivel de energía es muy grande, ligeramente mayor que el número de partículas en sí: . Esta gran incertidumbre se debe al hecho de que la distribución de probabilidad para el número de bosones en un nivel de energía dado es una distribución geométrica ; de manera un tanto contraintuitiva, el valor más probable para N es siempre 0. (En cambio, las partículas clásicas tienen una distribución de Poisson en el número de partículas para un estado dado, con una incertidumbre mucho menor de , y con el valor N más probable estando cerca de ). ${\displaystyle \sigma _{N}\approx \langle N\rangle }$ ${\textstyle \sigma _{N,{\rm {classical}}}={\sqrt {\langle N\rangle }}}$ ${\displaystyle \langle N\rangle }$

Derivación en el enfoque canónico

También es posible derivar estadísticas aproximadas de Bose-Einstein en el conjunto canónico . Estas derivaciones son largas y solo producen los resultados anteriores en el límite asintótico de un gran número de partículas. La razón es que el número total de bosones es fijo en el conjunto canónico. La distribución de Bose-Einstein en este caso se puede derivar como en la mayoría de los textos por maximización, pero la mejor derivación matemática es por el método de valores medios de Darwin-Fowler como lo enfatiza Dingle. ^[15] Véase también Müller-Kirsten. ^[10] Sin embargo, las fluctuaciones del estado fundamental en la región condensada son marcadamente diferentes en los conjuntos canónicos y grancanónicos. ^[16]

Derivación

Supongamos que tenemos varios niveles de energía, etiquetados por el índice , cada nivel tiene energía y contiene un total de partículas. Supongamos que cada nivel contiene subniveles distintos, todos los cuales tienen la misma energía y que son distinguibles. Por ejemplo, dos partículas pueden tener diferentes momentos, en cuyo caso son distinguibles entre sí, pero aún pueden tener la misma energía. El valor de asociado con el nivel se llama "degeneración" de ese nivel de energía. Cualquier número de bosones puede ocupar el mismo subnivel. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Sea el número de formas de distribución de partículas entre los subniveles de un nivel de energía. Solo hay una forma de distribución de partículas con un subnivel, por lo tanto . Es fácil ver que hay formas de distribución de partículas en dos subniveles que escribiremos como: ${\displaystyle w(n,g)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w(n,1)=1}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle w(n,2)={\frac {(n+1)!}{n!1!}}.}$$

Con un poco de reflexión (ver Notas a continuación) se puede ver que el número de formas de distribuir partículas en tres subniveles es tal que hemos utilizado el siguiente teorema que involucra coeficientes binomiales : ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle w(n,3)=w(n,2)+w(n-1,2)+\cdots +w(1,2)+w(0,2)}$$ $${\displaystyle w(n,3)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,2)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n-k+1)!}{(n-k)!1!}}={\frac {(n+2)!}{n!2!}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {(k+a)!}{k!a!}}={\frac {(n+a+1)!}{n!(a+1)!}}.}$$

Continuando con este proceso, podemos ver que es solo un coeficiente binomial (ver notas a continuación) ${\displaystyle w(n,g)}$ $${\displaystyle w(n,g)={\frac {(n+g-1)!}{n!(g-1)!}}.}$$

Por ejemplo, los números de población para dos partículas en tres subniveles son 200, 110, 101, 020, 011 o 002 para un total de seis, lo que equivale a 4!/(2!2!). La cantidad de formas en que se puede realizar un conjunto de números de ocupación es el producto de las formas en que se puede poblar cada nivel de energía individual: donde la aproximación supone que . ${\displaystyle n_{i}}$ $${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}\approx \prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i})!}{n_{i}!(g_{i})!}}}$$ ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$

Siguiendo el mismo procedimiento empleado para derivar las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , queremos encontrar el conjunto de para el que W se maximiza, sujeto a la restricción de que haya un número total fijo de partículas y una energía total fija. Los máximos de y ocurren en el mismo valor de y , dado que es más fácil de lograr matemáticamente, maximizaremos la última función en su lugar. Restringimos nuestra solución utilizando multiplicadores de Lagrange que forman la función: ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \ln(W)}$ ${\displaystyle n_{i}}$ $${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha (N-\sum n_{i})+\beta (E-\sum n_{i}\varepsilon _{i})}$$

Usando la aproximación y usando la aproximación de Stirling para los factoriales se obtiene donde K es la suma de una cantidad de términos que no son funciones de . Tomando la derivada con respecto a , y fijando el resultado en cero y resolviendo para , se obtienen los números de población de Bose-Einstein: ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$ ${\displaystyle \left(x!\approx x^{x}\,e^{-x}\,{\sqrt {2\pi x}}\right)}$ $${\displaystyle f(n_{i})=\sum _{i}(n_{i}+g_{i})\ln(n_{i}+g_{i})-n_{i}\ln(n_{i})+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right)+K,}$$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ $${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}-1}}.}$$

Mediante un proceso similar al descrito en el artículo sobre las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , se puede ver que: lo cual, utilizando la famosa relación de Boltzmann, se convierte en un enunciado de la segunda ley de la termodinámica a volumen constante, y se deduce que y donde S es la entropía , es el potencial químico , k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura , de modo que finalmente: $${\displaystyle d\ln W=\alpha \,dN+\beta \,dE}$$ ${\displaystyle S=k_{\text{B}}\,\ln W}$ ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$ ${\displaystyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\text{B}}T}}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}.}$$

Tenga en cuenta que la fórmula anterior a veces se escribe: donde es la actividad absoluta , como lo señaló McQuarrie. ^[17] $${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\varepsilon _{i}/k_{\text{B}}T}/z-1}},}$$ ${\displaystyle z=\exp(\mu /k_{\text{B}}T)}$

También hay que tener en cuenta que cuando no se conserva el número de partículas, eliminar la restricción de conservación del número de partículas equivale a establecer el potencial químico en cero. Este será el caso de los fotones y las partículas masivas en equilibrio mutuo y la distribución resultante será la distribución de Planck . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu }$

Notas

Una forma mucho más simple de pensar en la función de distribución de Bose-Einstein es considerar que n partículas se denotan por bolas idénticas y g capas están marcadas por particiones de línea g-1. Está claro que las permutaciones de estas n bolas y g − 1 particiones darán diferentes formas de organizar los bosones en diferentes niveles de energía. Digamos, para 3 (=  n ) partículas y 3 (=  g ) capas, por lo tanto ( g − 1) = 2 , la disposición podría ser |●●|● , o ||●●● , o |●|●● , etc. Por lo tanto, el número de permutaciones distintas de n + ( g − 1) objetos que tienen n elementos idénticos y ( g  − 1) elementos idénticos será: $${\displaystyle {\frac {(g-1+n)!}{(g-1)!n!}}}$$

Vea la imagen para ver una representación visual de una distribución de este tipo de n partículas en g cajas que pueden representarse como g − 1 particiones.

La imagen representa una posible distribución de partículas bosónicas en diferentes cajas. Las particiones de las cajas (verdes) se pueden mover para cambiar el tamaño de las cajas y, como resultado, la cantidad de bosones que cada caja puede contener.

O

El propósito de estas notas es aclarar algunos aspectos de la derivación de la distribución de Bose-Einstein para principiantes. La enumeración de casos (o formas) en la distribución de Bose-Einstein puede reformularse de la siguiente manera. Considere un juego de lanzamiento de dados en el que hay dados, y cada dado toma valores en el conjunto , para . Las restricciones del juego son que el valor de un dado , denotado por , tiene que ser mayor o igual que el valor de un dado , denotado por , en el lanzamiento anterior, es decir, . Por lo tanto, una secuencia válida de lanzamientos de dados puede describirse mediante una n -tupla , tal que . Sea n el conjunto de estas n -tuplas válidas : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,g\}}$ ${\displaystyle g\geq 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle (i-1)}$ ${\displaystyle m_{i-1}}$ ${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})}$ ${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$ ${\displaystyle S(n,g)}$

Entonces la cantidad (definida anteriormente como el número de formas de distribuir partículas entre los subniveles de un nivel de energía) es la cardinalidad de , es decir, el número de elementos (o n -tuplas válidas) en . Por lo tanto, el problema de encontrar una expresión para se convierte en el problema de contar los elementos en . ${\displaystyle w(n,g)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle w(n,g)}$ ${\displaystyle S(n,g)}$

Ejemplo n = 4, g = 3: (hay elementos en ) $${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1113)} _{(a)},\underbrace {(1122),(1123),(1133)} _{(b)},\underbrace {(1222),(1223),(1233),(1333)} _{(c)},\underbrace {(2222),(2223),(2233),(2333),(3333)} _{(d)}\right\}}$$ $${\displaystyle w(4,3)=15}$$ ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle S(4,3)}$

El subconjunto se obtiene fijando todos los índices en , excepto el último índice, , que se incrementa de a . El subconjunto se obtiene fijando , e incrementando de a . Debido a la restricción de los índices en , el índice debe tomar automáticamente valores en . La construcción de subconjuntos y sigue de la misma manera. ${\displaystyle (a)}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g=3}$ ${\displaystyle (b)}$ ${\displaystyle m_{1}=m_{2}=1}$ ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle g=3}$ ${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$ ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle m_{4}}$ ${\displaystyle \left\{2,3\right\}}$ ${\displaystyle (c)}$ ${\displaystyle (d)}$

Cada elemento de puede considerarse como un multiconjunto de cardinalidad ; los elementos de dicho multiconjunto se toman del conjunto de cardinalidad , y el número de dichos multiconjuntos es el coeficiente del multiconjunto ${\displaystyle S(4,3)}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$ ${\displaystyle g=3}$ $${\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}3\\4\end{matrix}}\right\rangle ={3+4-1 \choose 3-1}={3+4-1 \choose 4}={\frac {6!}{4!2!}}=15}$$

De manera más general, cada elemento de es un multiconjunto de cardinalidad (número de dados) con elementos tomados del conjunto de cardinalidad (número de valores posibles de cada dado), y el número de dichos multiconjuntos, es decir, es el coeficiente del multiconjunto. ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\{1,\dots ,g\right\}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle w(n,g)}$

que es exactamente la misma que la fórmula para , como se derivó anteriormente con la ayuda de un teorema que involucra coeficientes binomiales, a saber ${\displaystyle w(n,g)}$

Para entender la descomposición

o por ejemplo, y ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle g=3}$ $${\displaystyle w(4,3)=w(4,2)+w(3,2)+w(2,2)+w(1,2)+w(0,2),}$$

Reorganicemos los elementos de la siguiente manera ${\displaystyle S(4,3)}$ $${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)} _{(\alpha )},\underbrace {(111{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(112{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(122{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(222{\color {Red}{\underset {=}{3}}})} _{(\beta )},\underbrace {(11{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(12{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(22{\color {Red}{\underset {==}{33}}})} _{(\gamma )},\underbrace {(1{\color {Red}{\underset {===}{333}}}),(2{\color {Red}{\underset {===}{333}}})} _{(\delta )}\underbrace {({\color {Red}{\underset {====}{3333}}})} _{(\omega )}\right\}.}$$

Claramente, el subconjunto de es el mismo que el conjunto ${\displaystyle (\alpha )}$ ${\displaystyle S(4,3)}$ $${\displaystyle S(4,2)=\left\{(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)\right\}.}$$

Al eliminar el índice (mostrado en rojo con doble subrayado ) en el subconjunto de , se obtiene el conjunto ${\displaystyle m_{4}=3}$ ${\displaystyle (\beta )}$ ${\displaystyle S(4,3)}$ $${\displaystyle S(3,2)=\left\{(111),(112),(122),(222)\right\}.}$$

En otras palabras, existe una correspondencia biunívoca entre el subconjunto de y el conjunto . Escribimos ${\displaystyle (\beta )}$ ${\displaystyle S(4,3)}$ ${\displaystyle S(3,2)}$ $${\displaystyle (\beta )\longleftrightarrow S(3,2).}$$

De manera similar, es fácil ver que $${\displaystyle (\gamma )\longleftrightarrow S(2,2)=\left\{(11),(12),(22)\right\}}$$ $${\displaystyle (\delta )\longleftrightarrow S(1,2)=\left\{(1),(2)\right\}}$$ $${\displaystyle (\omega )\longleftrightarrow S(0,2)=\{\}=\varnothing .}$$

Así podemos escribir o de manera más general, $${\displaystyle S(4,3)=\bigcup _{k=0}^{4}S(4-k,2)}$$

y como los conjuntos no se intersecan, tenemos $${\displaystyle S(i,g-1),{\text{ for }}i=0,\dots ,n}$$

con la convención de que

Continuando el proceso, llegamos a la siguiente fórmula Utilizando la convención (7) ₂ anterior, obtenemos la fórmula $${\displaystyle w(n,g)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}w(n-k_{1}-k_{2},g-2)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}\cdots \sum _{k_{g}=0}^{n-\sum _{j=1}^{g-1}k_{j}}w(n-\sum _{i=1}^{g}k_{i},0).}$$

teniendo en cuenta que para y siendo constantes, tenemos ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

Se puede verificar entonces que (8) y (2) dan el mismo resultado para , , , etc. ${\displaystyle w(4,3)}$ ${\displaystyle w(3,3)}$ ${\displaystyle w(3,2)}$

Aplicaciones interdisciplinarias

Considerada como una distribución de probabilidad pura , la distribución de Bose-Einstein ha encontrado aplicación en otros campos:

• En los últimos años, la estadística de Bose-Einstein también se ha utilizado como método para la ponderación de términos en la recuperación de información . El método forma parte de una colección de modelos DFR ("Divergencia de la aleatoriedad"), ^[18] la noción básica es que la estadística de Bose-Einstein puede ser un indicador útil en casos en los que un término particular y un documento particular tienen una relación significativa que no habría ocurrido puramente por casualidad. El código fuente para implementar este modelo está disponible en el proyecto Terrier de la Universidad de Glasgow.
• La evolución de muchos sistemas complejos, incluida la World Wide Web , las redes empresariales y de citas, está codificada en la red dinámica que describe las interacciones entre los componentes del sistema. A pesar de su naturaleza irreversible y de no equilibrio, estas redes siguen las estadísticas de Bose y pueden sufrir condensación de Bose-Einstein. El estudio de las propiedades dinámicas de estos sistemas de no equilibrio en el marco de los gases cuánticos de equilibrio predice que los fenómenos de "ventaja del primero en actuar", "enriquecimiento del primero" (FGR) y "el ganador se lo lleva todo" observados en los sistemas competitivos son fases termodinámicamente distintas de las redes evolutivas subyacentes. ^[19]

Véase también

• Correlaciones de Bose-Einstein
• Condensado de Bose-Einstein
• Gasolina Bose
• Sólido de Einstein
• Bosón de Higgs
• Paraestadística
• Ley de Planck sobre la radiación del cuerpo negro
• Superconductividad
• Estadísticas de Fermi-Dirac
• Estadísticas de Maxwell-Boltzmann
• Ecuación de Kompaneyets

Notas

1. Pearsall, Thomas (2020). Fotónica cuántica, 2.ª edición. Textos de posgrado en física. Springer. doi :10.1007/978-3-030-47325-9. ISBN 978-3-030-47324-2.
2. Jammer, Max (1966). El desarrollo conceptual de la mecánica cuántica . McGraw-Hill. pág. 51. ISBN 0-88318-617-9.
3. Passon, Oliver; Grebe-Ellis, Johannes (1 de mayo de 2017). "La ley de radiación de Planck, el cuanto de luz y la prehistoria de la indistinguibilidad en la enseñanza de la mecánica cuántica". Revista Europea de Física . 38 (3): 035404. arXiv : 1703.05635 . Bibcode :2017EJPh...38c5404P. doi :10.1088/1361-6404/aa6134. ISSN  0143-0807. S2CID  119091804.
4. d'Alembert, Jean (1754). "Cruz o pila". L'Encyclopédie (en francés). 4 .
5. d'Alembert, Jean (1754). "Croix ou pile" (PDF) . Universidad Xavier . Traducido por Richard J. Pulskamp . Consultado el 14 de enero de 2019 .
6. Véase p. 14, nota 3, de la tesis: Michelangeli, Alessandro (octubre de 2007). Condensación de Bose-Einstein: análisis de problemas y resultados rigurosos (PDF) (Ph.D.). Escuela Internacional de Estudios Avanzados . Archivado (PDF) del original el 3 de noviembre de 2018. Consultado el 14 de febrero de 2019 .
7. Bose (2 de julio de 1924). «La ley de Planck y la hipótesis de los cuantos de luz» (PostScript) . Universidad de Oldenburg . Consultado el 30 de noviembre de 2016 .
8. Bose (1924), "Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese", Zeitschrift für Physik (en alemán), 26 (1): 178–181, Bibcode :1924ZPhy...26..178B, doi :10.1007/BF01327326, S2CID  186235974
9. Ghose, Partha (2023). "La historia de Bose, el giro del fotón y la indistinguibilidad". arXiv : 2308.01909 [physics.hist-ph].
10. HJW Müller-Kirsten, Fundamentos de física estadística , 2.ª ed., World Scientific (2013), ISBN 978-981-4449-53-3 . 
11. Srivastava, RK; Ashok, J. (2005). "Capítulo 7". Mecánica estadística . Nueva Delhi : PHI Learning Pvt. Ltd. ISBN 9788120327825.
12. Landau, LD, Lifšic, EM, Lifshitz, EM y Pitaevskii, LP (1980). Física estadística (Vol. 5). Pergamon Press.
13. "Capítulo 6". Mecánica estadística . PHI Learning Pvt. Enero de 2005. ISBN 9788120327825.
14. La distribución BE también se puede derivar de la teoría del campo térmico.
15. RB Dingle, Expansiones asintóticas: su derivación e interpretación , Academic Press (1973), págs. 267-271.
16. Ziff RM; Kac, M.; Uhlenbeck, GE (1977). "El gas ideal de Bose-Einstein, revisado". Physics Reports 32 : 169–248.
17. Véase McQuarrie en las citas
18. Amati, G.; CJ Van Rijsbergen (2002). "Modelos probabilísticos de recuperación de información basados ​​en la medición de la divergencia de la aleatoriedad" ACM TOIS 20 (4):357–389.
19. Bianconi, G. ; Barabási, A.-L. (2001). "Condensación de Bose-Einstein en redes complejas". Physical Review Letters 86 : 5632–5635.

Referencias

• Annett, James F. (2004). Superconductividad, superfluidos y condensados . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-850755-0.
• Carter, Ashley H. (2001). Termodinámica clásica y estadística . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-779208-5.
• Griffiths, David J. (2005). Introducción a la mecánica cuántica (2.ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson, Prentice Hall. ISBN 0-13-191175-9.
• McQuarrie, Donald A. (2000). Mecánica estadística (1.ª ed.). Sausalito, CA: University Science Books. pág. 55. ISBN 1-891389-15-7.