Ecuación de Kompaneyets

La ecuación de Kompaneyets se refiere a una ecuación cinética no relativista, de tipo Fokker-Planck , para la densidad del número de fotones con la que los fotones interactúan con un gas de electrones a través de la dispersión Compton , derivada por primera vez por Alexander Kompaneyets en 1949 y publicada en 1957 después de la desclasificación. ^{[1] [2]} La ecuación de Kompaneyets describe cómo una distribución de fotones inicial se relaja hasta la distribución de equilibrio de Bose-Einstein . Kompaneyets señaló que el campo de radiación por sí solo no puede alcanzar la distribución de equilibrio ya que las ecuaciones de Maxwell son lineales, pero necesita intercambiar energía con el gas de electrones. La ecuación de Kompaneyets se ha utilizado como base para el análisis del efecto Sunyaev-Zeldovich . ^[3]

Descripción matemática

Consideremos un baño de electrones no relativista que está a una temperatura de equilibrio , es decir, , donde es la masa del electrón. Sea un campo de radiación de baja frecuencia que satisfaga la aproximación de fotón suave, es decir, donde es la frecuencia del fotón. Entonces, el intercambio de energía en cualquier colisión entre fotón y electrón será pequeño. Suponiendo homogeneidad e isotropía y expandiendo la integral de colisión de la ecuación de Boltzmann en términos de pequeño intercambio de energía, se obtiene la ecuación de Kompaneyets. ^[4] ${\displaystyle T_{e}}$ ${\displaystyle k_{B}T_{e}\ll m_{e}c^{2}}$ ${\displaystyle m_{e}}$ ${\displaystyle \hbar \omega \ll m_{e}c^{2}}$ ${\displaystyle \omega }$

La ecuación de Kompaneyets para la densidad numérica de fotones se lee ^{[5] [6]} ${\displaystyle n(\omega ,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}={\frac {\sigma _{T}n_{e}\hbar }{m_{e}c}}{\frac {1}{\omega ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left[\omega ^{4}\left({\frac {k_{B}T_{e}}{\hbar }}{\frac {\partial n}{\partial \omega }}+n^{2}+n\right)\right]}$

donde es la sección eficaz total de Thomson y es la densidad numérica electrónica; es el rango Compton o el camino libre medio de dispersión. Como es evidente, la ecuación puede escribirse en forma de ecuación de continuidad. ${\displaystyle \sigma _{T}}$ ${\displaystyle n_{e}}$ ${\displaystyle \lambda _{e}=1/(n_{e}\sigma _{T})}$

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \omega }}(\omega ^{2}j)=0,\quad j=-{\frac {\sigma _{T}n_{e}\hbar }{m_{e}c}}\omega ^{2}\left({\frac {k_{B}T_{e}}{\hbar }}{\frac {\partial n}{\partial \omega }}+n^{2}+n\right).}$

Si introducimos los reescalamientos

${\displaystyle \tau ={\frac {\sigma _{T}n_{e}k_{B}T_{e}}{m_{e}c}}t,\quad x={\frac {\hbar \omega }{k_{B}T_{e}}}}$

La ecuación se puede llevar a la forma

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \tau }}={\frac {1}{x^{2}}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left[x^{4}\left({\frac {\partial n}{\partial x}}+n^{2}+n\right)\right].}$

La ecuación de Kompaneyets conserva el número de fotones.

${\displaystyle N={\frac {Vk_{B}^{3}T_{e}^{3}}{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }n\,x^{2}dx}$

donde es un volumen suficientemente grande, ya que el intercambio de energía entre el fotón y el electrón es pequeño. Además, la distribución de equilibrio de la ecuación de Kompaneyets es la distribución de Bose-Einstein para el gas de fotones, ${\displaystyle V}$

${\displaystyle n_{\mathrm {eq} }={\frac {1}{e^{x}-1}}.}$

Referencias

1. Kompaneets, A. (1957). El establecimiento del equilibrio térmico entre cuantos y electrones. Revista soviética de física experimental y teórica, 4(5), 730-737.
2. Oliveira, GEF, Maes, C., & Meerts, K. (2021). Sobre la derivación de la ecuación de Kompaneets. Astroparticle Physics, 133, 102644.
3. Sunyaev, RA y Zeldovich, YB (1970). Fluctuaciones a pequeña escala de la radiación relicta. Astrofísica y ciencia espacial, 7, 3-19.
4. Bernstein, J., y Dodelson, S. (1990). Aspectos del mecanismo de Zel'dovich-Sunyaev. Physical Review D, 41(2), 354.
5. Zel'dovich, YB, y Syunyaev, RA (1972). Estructura de la onda de choque en el espectro de radiación durante la condensación de Bose de fotones. Revista soviética de física experimental y teórica, vol. 35, pág. 81, 35, 81.
6. Milonni, PW (2021). Derivación simplificada de la ecuación de Kompaneets. Física de plasmas, 28(9).