Criterio de estabilidad de Nyquist

Método gráfico para determinar la estabilidad de un sistema dinámico

El diagrama de Nyquist para con s = jω . ${\displaystyle G(s)={\frac {1}{s^{2}+s+1}}}$

En teoría de control y teoría de estabilidad , el criterio de estabilidad de Nyquist o criterio de estabilidad de Strecker-Nyquist , descubierto independientemente por el ingeniero eléctrico alemán Felix Strecker  [de] en Siemens en 1930 ^{[1] [2] [3]} y el ingeniero eléctrico sueco-estadounidense Harry Nyquist en Bell Telephone Laboratories en 1932, ^[4] es una técnica gráfica para determinar la estabilidad de un sistema dinámico .

Debido a que solo analiza el diagrama de Nyquist de los sistemas de bucle abierto , se puede aplicar sin calcular explícitamente los polos y ceros del sistema de bucle cerrado o abierto (aunque se debe conocer el número de cada tipo de singularidades de semiplano derecho ). Como resultado, se puede aplicar a sistemas definidos por funciones no racionales , como sistemas con retrasos. A diferencia de los diagramas de Bode , puede manejar funciones de transferencia con singularidades de semiplano derecho. Además, existe una generalización natural a sistemas más complejos con múltiples entradas y múltiples salidas , como los sistemas de control para aviones.

El criterio de estabilidad de Nyquist se utiliza ampliamente en electrónica e ingeniería de sistemas de control , así como en otros campos, para diseñar y analizar sistemas con retroalimentación . Si bien Nyquist es una de las pruebas de estabilidad más generales, todavía está restringida a sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). Sin embargo, existen generalizaciones del criterio (y gráfico) de Nyquist para sistemas no lineales, como el criterio del círculo y el gráfico relativo escalado de un operador no lineal . ^[5] Además, otros criterios de estabilidad como los métodos de Lyapunov también se pueden aplicar para sistemas no lineales.

Aunque Nyquist es una técnica gráfica, solo proporciona una cantidad limitada de intuición sobre por qué un sistema es estable o inestable, o cómo modificar un sistema inestable para que sea estable. Técnicas como los diagramas de Bode , aunque menos generales, a veces son una herramienta de diseño más útil.

El complot de Nyquist

Diagrama de Nyquist. Aunque las frecuencias no se indican en la curva, se puede inferir que el punto de frecuencia cero está a la derecha y que la curva se mueve en espiral hacia el origen en la frecuencia alta. Esto se debe a que la ganancia en la frecuencia cero debe ser puramente real (en el eje X ) y, por lo general, no es cero, mientras que la mayoría de los procesos físicos tienen cierta cantidad de filtrado de paso bajo, por lo que la respuesta de alta frecuencia es cero.

Un diagrama de Nyquist es un diagrama paramétrico de una respuesta de frecuencia que se utiliza en el control automático y el procesamiento de señales . El uso más común de los diagramas de Nyquist es para evaluar la estabilidad de un sistema con retroalimentación . En coordenadas cartesianas , la parte real de la función de transferencia se traza en el eje X , mientras que la parte imaginaria se traza en el eje Y. La frecuencia se barre como parámetro, lo que da como resultado un punto por frecuencia. El mismo diagrama se puede describir utilizando coordenadas polares , donde la ganancia de la función de transferencia es la coordenada radial y la fase de la función de transferencia es la coordenada angular correspondiente. El diagrama de Nyquist recibe su nombre de Harry Nyquist , un ex ingeniero de Bell Laboratories .

La evaluación de la estabilidad de un sistema de retroalimentación negativa de bucle cerrado se realiza aplicando el criterio de estabilidad de Nyquist al diagrama de Nyquist del sistema de bucle abierto (es decir, el mismo sistema sin su bucle de retroalimentación ). Este método es fácilmente aplicable incluso para sistemas con retrasos y otras funciones de transferencia no racionales, que pueden parecer difíciles de analizar con otros métodos. La estabilidad se determina observando el número de circunvalaciones del punto (−1, 0). El rango de ganancias en el que el sistema será estable se puede determinar observando los cruces del eje real.

El diagrama de Nyquist puede proporcionar cierta información sobre la forma de la función de transferencia. Por ejemplo, el diagrama proporciona información sobre la diferencia entre el número de ceros y polos de la función de transferencia ^[6] según el ángulo en el que la curva se acerca al origen.

Cuando se dibuja a mano, a veces se utiliza una versión animada del diagrama de Nyquist, que muestra la linealidad de la curva, pero donde las coordenadas se distorsionan para mostrar más detalles en las regiones de interés. Cuando se traza computacionalmente, se debe tener cuidado de cubrir todas las frecuencias de interés. Esto generalmente significa que el parámetro se barre logarítmicamente para cubrir un amplio rango de valores.

Fondo

Las matemáticas utilizan la transformada de Laplace , que transforma integrales y derivadas en el dominio del tiempo en simples multiplicaciones y divisiones en el dominio s .

Consideramos un sistema cuya función de transferencia es ; cuando se coloca en un bucle cerrado con retroalimentación negativa , la función de transferencia de bucle cerrado (CLTF) se convierte en: ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle {\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

La estabilidad se puede determinar examinando las raíces del polinomio del factor de desensibilidad , por ejemplo, utilizando la matriz de Routh , pero este método es algo tedioso. También se pueden sacar conclusiones examinando la función de transferencia de bucle abierto (OLTF) , utilizando sus diagramas de Bode o, como aquí, su diagrama polar utilizando el criterio de Nyquist, de la siguiente manera. ${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$ ${\displaystyle G(s)H(s)}$

Cualquier función de transferencia del dominio de Laplace se puede expresar como la relación de dos polinomios : ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}.}$

Las raíces de se llaman ceros de y las raíces de son los polos de . También se dice que los polos de son las raíces de la ecuación característica . ${\displaystyle N(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle D(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle D(s)=0}$

La estabilidad de está determinada por los valores de sus polos: para que sea estable, la parte real de cada polo debe ser negativa. Si se forma cerrando un bucle de retroalimentación unitario negativo alrededor de la función de transferencia de bucle abierto, ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$

${\displaystyle G(s)H(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}}$

entonces las raíces de la ecuación característica son también los ceros de , o simplemente las raíces de . ${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$ ${\displaystyle A(s)+B(s)=0}$

Principio de argumentación de Cauchy

A partir del análisis complejo , un contorno dibujado en el plano complejo, que abarca pero no pasa por cualquier número de ceros y polos de una función , puede ser mapeado a otro plano (denominado plano) por la función . Precisamente, cada punto complejo en el contorno se mapea al punto en el nuevo plano, lo que produce un nuevo contorno. ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$

El diagrama de Nyquist de , que es el contorno rodeará el punto del plano por , donde por el principio de argumento de Cauchy . Aquí y son, respectivamente, el número de ceros de y polos de dentro del contorno . Nótese que contamos las circunferencias en el plano en el mismo sentido que el contorno y que las circunferencias en la dirección opuesta son circunferencias negativas . Es decir, consideramos que las circunferencias en el sentido de las agujas del reloj son positivas y las circunferencias en el sentido contrario a las agujas del reloj son negativas. ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{F(s)}=F(\Gamma _{s})}$ ${\displaystyle s={-1/k+j0}}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=P-Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 1+kF(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$

En lugar del principio de argumento de Cauchy, el artículo original de Harry Nyquist de 1932 utiliza un enfoque menos elegante. El enfoque que se explica aquí es similar al utilizado por Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms 1945) o por Hendrik Bode (Network analysis and feedback Amplifier design 1945), quienes también trabajaron para Bell Laboratories . Este enfoque aparece en la mayoría de los libros de texto modernos sobre teoría de control.

Definición

Primero construimos el contorno de Nyquist , un contorno que abarca la mitad derecha del plano complejo:

• un camino que viaja hacia arriba del eje, desde hasta . ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle 0-j\infty }$ ${\displaystyle 0+j\infty }$
• un arco semicircular, con radio , que comienza en y viaja en el sentido de las agujas del reloj hasta . ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle 0+j\infty }$ ${\displaystyle 0-j\infty }$

El contorno de Nyquist representado mediante la función produce un gráfico de en el plano complejo. Por el principio de argumentos, el número de circunvoluciones en el sentido de las agujas del reloj del origen debe ser el número de ceros de en el plano complejo de la mitad derecha menos el número de polos de en el plano complejo de la mitad derecha. Si, en cambio, el contorno se representa mediante la función de transferencia de bucle abierto , el resultado es el gráfico de Nyquist de . Al contar las circunvoluciones del contorno resultante de −1, encontramos la diferencia entre el número de polos y ceros en el plano complejo de la mitad derecha de . Recordando que los ceros de son los polos del sistema de bucle cerrado, y notando que los polos de son los mismos que los polos de , ahora enunciamos el criterio de Nyquist : ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$

Dado un contorno de Nyquist , sea el número de polos de rodeados por , y sea el número de ceros de rodeados por . Alternativamente, y más importante, si es el número de polos del sistema de bucle cerrado en el semiplano derecho, y es el número de polos de la función de transferencia de bucle abierto en el semiplano derecho, el contorno resultante en el plano -, deberá rodear (en el sentido de las agujas del reloj) el punto veces tales que . ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{G(s)}}$ ${\displaystyle (-1+j0)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=Z-P}$

Si el sistema es originalmente inestable en lazo abierto, es necesaria la retroalimentación para estabilizarlo. Los polos del semiplano derecho (RHP) representan esa inestabilidad. Para la estabilidad en lazo cerrado de un sistema, el número de raíces de lazo cerrado en la mitad derecha del plano s debe ser cero. Por lo tanto, el número de circunvoluciones en sentido antihorario alrededor debe ser igual al número de polos en lazo abierto en el RHP. Cualquier circunvalación en sentido horario del punto crítico por la respuesta de frecuencia en lazo abierto (cuando se juzga desde baja frecuencia a alta frecuencia) indicaría que el sistema de control de retroalimentación sería desestabilizador si el lazo estuviera cerrado. (El uso de ceros RHP para "cancelar" polos RHP no elimina la inestabilidad, sino que garantiza que el sistema permanecerá inestable incluso en presencia de retroalimentación, ya que las raíces de bucle cerrado viajan entre polos y ceros de bucle abierto en presencia de retroalimentación. De hecho, el cero RHP puede hacer que el polo inestable sea inobservable y, por lo tanto, no estabilizable a través de la retroalimentación). ${\displaystyle -1+j0}$

El criterio de Nyquist para sistemas con polos en el eje imaginario

La consideración anterior se realizó con el supuesto de que la función de transferencia de lazo abierto no tiene ningún polo en el eje imaginario (es decir, polos de la forma ). Esto resulta del requisito del principio de argumento de que el contorno no puede pasar por ningún polo de la función de mapeo. El caso más común son los sistemas con integradores (polos en cero). ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle 0+j\omega }$

Para poder analizar sistemas con polos en el eje imaginario, el contorno de Nyquist puede modificarse para evitar que pase por el punto . Una forma de hacerlo es construir un arco semicircular con radio alrededor de , que comienza en y viaja en sentido antihorario hasta . Tal modificación implica que el fasor viaja a lo largo de un arco de radio infinito por , donde es la multiplicidad del polo en el eje imaginario. ${\displaystyle 0+j\omega }$ ${\displaystyle r\to 0}$ ${\displaystyle 0+j\omega }$ ${\displaystyle 0+j(\omega -r)}$ ${\displaystyle 0+j(\omega +r)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle -l\pi }$ ${\displaystyle l}$

Derivación matemática

Un sistema de retroalimentación negativa unitaria G con ganancia escalar denotada por K

Nuestro objetivo es, a través de este proceso, verificar la estabilidad de la función de transferencia de nuestro sistema de retroalimentación unitaria con ganancia k , que viene dada por

${\displaystyle T(s)={\frac {kG(s)}{1+kG(s)}}}$

Es decir, nos gustaría comprobar si la ecuación característica de la función de transferencia anterior, dada por

${\displaystyle D(s)=1+kG(s)=0}$

tiene ceros fuera del semiplano izquierdo abierto (comúnmente inicializado como OLHP).

Supongamos que tenemos un contorno en el sentido de las agujas del reloj (es decir, orientado negativamente) que encierra el semiplano derecho, con sangrías según sea necesario para evitar pasar por ceros o polos de la función . El principio del argumento de Cauchy establece que ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle -{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=N=Z-P}$

Donde denota el número de ceros de encerrados por el contorno y denota el número de polos de por el mismo contorno. Reordenando, tenemos , es decir ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle D(s)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D(s)}$ ${\displaystyle Z=N+P}$

${\displaystyle Z=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds+P}$

Observamos entonces que tiene exactamente los mismos polos que . Por lo tanto, podemos encontrar contando los polos de que aparecen dentro del contorno, es decir, dentro del semiplano derecho abierto (ORHP). ${\displaystyle D(s)=1+kG(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G(s)}$

Ahora reordenaremos la integral anterior mediante sustitución. Es decir, si establecemos , tenemos ${\displaystyle u(s)=D(s)}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du}$

Luego hacemos otra sustitución, estableciendo . Esto nos da ${\displaystyle v(u)={\frac {u-1}{k}}}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{v(u(\Gamma _{s}))}{1 \over {v+1/k}}\,dv}$

Ahora observamos que nos da la imagen de nuestro contorno bajo , es decir, nuestro diagrama de Nyquist . Podemos reducir aún más la integral ${\displaystyle v(u(\Gamma _{s}))={{D(\Gamma _{s})-1} \over {k}}=G(\Gamma _{s})}$ ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{G(\Gamma _{s}))}{\frac {1}{v+1/k}}\,dv}$

Aplicando la fórmula integral de Cauchy , encontramos que la integral anterior corresponde exactamente al número de veces que el diagrama de Nyquist rodea el punto en el sentido de las agujas del reloj. Por lo tanto, podemos afirmar finalmente que ${\displaystyle -1/k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z={}&N+P\\[6pt]={}&{\text{(number of times the Nyquist plot encircles }}{-1/k}{\text{ clockwise)}}\\&{}+{\text{(number of poles of }}G(s){\text{ in ORHP)}}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, encontramos que como se definió anteriormente corresponde a un sistema de retroalimentación unitaria estable cuando , como se evaluó anteriormente, es igual a 0. ${\displaystyle T(s)}$ ${\displaystyle Z}$

Importancia

El criterio de estabilidad de Nyquist es una técnica gráfica que determina la estabilidad de un sistema dinámico, como un sistema de control por retroalimentación. Se basa en el principio de argumento y en el diagrama de Nyquist de la función de transferencia de lazo abierto del sistema. Se puede aplicar a sistemas que no están definidos por funciones racionales, como los sistemas con retardos. También puede manejar funciones de transferencia con singularidades en el semiplano derecho, a diferencia de los diagramas de Bode. El criterio de estabilidad de Nyquist también se puede utilizar para encontrar los márgenes de fase y ganancia de un sistema, que son importantes para el diseño de controladores en el dominio de la frecuencia. ^[7]

Resumen

• Si la función de transferencia de lazo abierto tiene un polo cero de multiplicidad , entonces el diagrama de Nyquist tiene una discontinuidad en . Durante el análisis posterior se debe suponer que el fasor viaja veces en el sentido de las agujas del reloj a lo largo de un semicírculo de radio infinito. Después de aplicar esta regla, los polos cero deben ignorarse, es decir, si no hay otros polos inestables, entonces la función de transferencia de lazo abierto debe considerarse estable. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle G(s)}$
• Si la función de transferencia de bucle abierto es estable, entonces el sistema de bucle cerrado es inestable, si y solo si el diagrama de Nyquist rodea el punto −1 al menos una vez. ${\displaystyle G(s)}$
• Si la función de transferencia de bucle abierto es inestable , entonces para que el sistema de bucle cerrado sea estable, debe haber una circunferencia en sentido antihorario de −1 para cada polo en la mitad derecha del plano complejo. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$
• El número de envolventes excedentes ( N  +  P mayor que 0) es exactamente el número de polos inestables del sistema de circuito cerrado.
• Sin embargo, si el gráfico pasa por el punto , entonces decidir incluso sobre la estabilidad marginal del sistema se vuelve difícil y la única conclusión que se puede sacar del gráfico es que existen ceros en el eje. ${\displaystyle -1+j0}$ ${\displaystyle j\omega }$

Véase también

• Estabilidad BIBO
• Diagrama de Bode
• Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
• Margen de ganancia
• El complot de Nichols
• Círculos de pasillo
• Margen de fase
• Criterio de estabilidad de Barkhausen
• Criterio del círculo
• Ingeniería de control
• Valor singular de Hankel

Referencias

1. Reinschke, Kurt (2014). "Capítulo 4.3. Das Stabilitätskriterium von Strecker-Nyquist". Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie (en alemán) (2 ed.). Springer-Verlag . pag. 184.ISBN​ 978-3-64240960-8. Recuperado el 14 de junio de 2019 .
2. Bissell, Christopher C. (2001). "La invención de la 'caja negra': las matemáticas como una tecnología facilitadora desatendida en la historia de la ingeniería de comunicaciones" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 2019-06-14 . Consultado el 2019-06-14 .
3. Strecker, Felix [en alemán] (1947). Die elektrische Selbsterregung mit einer Theorie der aktiven Netzwerke (en alemán). Stuttgart, Alemania: S. Hirzel Verlag  [delaware] .(NB. Trabajos anteriores se pueden encontrar en la sección de literatura.)
4. Nyquist, Harry (enero de 1932). "Teoría de la regeneración". Bell System Technical Journal . 11 (1). EE. UU.: American Telephone and Telegraph Company (AT&T): 126–147. doi :10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x. S2CID  115002788.
5. Chaffey, Thomas; Forni, Fulvio; Sepulchre, Rodolphe (2023). "Análisis gráfico de sistemas no lineales". IEEE Transactions on Automatic Control . 68 (10): 6067–6081. arXiv : 2107.11272 . doi :10.1109/TAC.2023.3234016. ISSN  0018-9286. S2CID  236318576.
6. Tramas de Nyquist Archivado el 30 de septiembre de 2008 en Wayback Machine.
7. "12.2: Criterio de Nyquist para estabilidad". Matemáticas LibreTexts . 2017-09-05 . Consultado el 2023-12-25 .

Lectura adicional

• Faulkner, EA (1969): Introducción a la teoría de sistemas lineales ; Chapman & Hall; ISBN 0-412-09400-2 
• Pippard, AB (1985): Respuesta y estabilidad ; Cambridge University Press; ISBN 0-521-31994-3 
• Gessing, R. (2004): Fundamentos de control ; Universidad Tecnológica de Silesia; ISBN 83-7335-176-0 
• Franklin, G. (2002): Control de retroalimentación de sistemas dinámicos ; Prentice Hall, ISBN 0-13-032393-4 

Enlaces externos

• Subprogramas con parámetros modificables
• EIS Spectrum Analyser: un programa gratuito para el análisis y simulación de espectros de impedancia
• Función de MATLAB para crear un diagrama de Nyquist de una respuesta de frecuencia de un modelo de sistema dinámico.
• Modelado de diagramas de Nyquist PID: herramienta virtual interactiva gratuita, simulador de bucle de control
• Función de Mathematica para crear el diagrama de Nyquist
• Diagrama de Nyquist para circuitos eléctricos