Intersección de dos conjuntos.- unión de dos conjuntos
- Diferencia simétrica de dos conjuntos.
- Complemento relativo de A (izquierda) en B (derecha)
- Complemento absoluto de A en U
Un diagrama de Venn es un estilo de diagrama ampliamente utilizado que muestra la relación lógica entre conjuntos , popularizado por John Venn (1834-1923) en la década de 1880. Los diagramas se utilizan para enseñar teoría de conjuntos elemental y para ilustrar relaciones de conjuntos simples en probabilidad , lógica , estadística , lingüística e informática . Un diagrama de Venn utiliza curvas cerradas simples dibujadas en un plano para representar conjuntos. Muy a menudo, estas curvas son círculos o elipses.
Ideas similares habían sido propuestas antes de Venn, como por ejemplo por Christian Weise en 1712 ( Núcleo Logicoe Wiesianoe ) y Leonhard Euler ( Cartas a una princesa alemana ) en 1768. La idea fue popularizada por Venn en Lógica simbólica , Capítulo V "Representación diagramamática", publicado en 1881.
Un diagrama de Venn, también llamado diagrama de conjuntos o diagrama lógico , muestra todas las relaciones lógicas posibles entre una colección finita de conjuntos diferentes. Estos diagramas representan elementos como puntos en el plano y conjuntos como regiones dentro de curvas cerradas. Un diagrama de Venn consta de múltiples curvas cerradas superpuestas, generalmente círculos, cada una de las cuales representa un conjunto. Los puntos dentro de una curva denominada S representan elementos del conjunto S , mientras que los puntos fuera del límite representan elementos que no están en el conjunto S. Esto se presta a visualizaciones intuitivas; por ejemplo, el conjunto de todos los elementos que son miembros de ambos conjuntos S y T , denotado S ∩ T y leído "la intersección de S y T ", se representa visualmente por el área de superposición de las regiones S y T. [1]
En los diagramas de Venn, las curvas se superponen de todas las formas posibles, mostrando todas las relaciones posibles entre los conjuntos. Son, por tanto, un caso especial de diagramas de Euler , que no necesariamente muestran todas las relaciones. Los diagramas de Venn fueron concebidos alrededor de 1880 por John Venn. Se utilizan para enseñar teoría de conjuntos elemental, así como para ilustrar relaciones de conjuntos simples en probabilidad, lógica, estadística, lingüística e informática.
Un diagrama de Venn en el que el área de cada forma es proporcional al número de elementos que contiene se llama diagrama de Venn proporcional al área (o escalado ) .
Este ejemplo involucra dos conjuntos de criaturas, representadas aquí como círculos de colores. El círculo naranja representa todo tipo de criaturas que tienen dos patas. El círculo azul representa criaturas que pueden volar. Cada tipo de criatura por separado puede imaginarse como un punto en algún lugar del diagrama. Los seres vivos que tienen dos patas y pueden volar (por ejemplo, los loros) están entonces en ambos conjuntos, por lo que corresponden a puntos en la región donde se superponen los círculos azul y naranja. Esta región superpuesta solo contendría aquellos elementos (en este ejemplo, criaturas) que son miembros tanto del conjunto naranja (criaturas de dos patas) como del conjunto azul (criaturas voladoras).
Los humanos y los pingüinos son bípedos, y también lo son en el círculo naranja, pero como no pueden volar, aparecen en la parte izquierda del círculo naranja, donde no se superpone con el círculo azul. Los mosquitos pueden volar, pero tienen seis patas, no dos, por lo que el punto para los mosquitos está en la parte del círculo azul que no se superpone con el naranja. Las criaturas que no tienen dos piernas ni pueden volar (por ejemplo, ballenas y arañas) estarían representadas por puntos fuera de ambos círculos.
La región combinada de los dos conjuntos se llama unión , denotada por A ∪ B , donde A es el círculo naranja y B el azul. [2] La unión en este caso contiene todas las criaturas vivientes que tienen dos piernas o pueden volar (o ambas). La región incluida tanto en A como en B, donde los dos conjuntos se superponen, se llama intersección de A y B, denotada por A ∩ B . [2]
Los diagramas de Venn fueron introducidos en 1880 por John Venn en un artículo titulado "On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings" [3] en Philosophical Magazine and Journal of Science , [4] sobre las diferentes formas de representar proposiciones mediante diagramas. [5] [6] [7] El uso de este tipo de diagramas en lógica formal , según Frank Ruskey y Mark Weston, es anterior a Venn pero están "correctamente asociados" con él ya que "examinó y formalizó exhaustivamente su uso, y fue el primero en generalizarlos". [8]
Los diagramas de Venn son muy similares a los diagramas de Euler , que fueron inventados por Leonhard Euler en el siglo XVIII. [nota 1] [9] [10] Margaret Baron ha señalado que Leibniz (1646-1716) produjo diagramas similares antes de Euler en el siglo XVII, pero gran parte de ellos no estaban publicados. [11] También observa diagramas similares a los de Euler, incluso anteriores, realizados por Ramon Llull en el siglo XIII. [12]
Venn no utilizó el término "diagrama de Venn" y se refirió al concepto como "círculos eulerianos". [7] Se familiarizó con los diagramas de Euler en 1862 y escribió que los diagramas de Venn no se le ocurrieron "hasta mucho más tarde", mientras intentaba adaptar los diagramas de Euler a la lógica booleana . [13] En la frase inicial de su artículo de 1880, Venn escribió que los diagramas de Euler eran la única representación esquemática de la lógica que obtuvo "cualquier aceptación general". [5] [6]
Venn veía sus diagramas como una herramienta pedagógica, análoga a la verificación de conceptos físicos mediante experimentos. Como ejemplo de sus aplicaciones, señaló que un diagrama de tres conjuntos podría mostrar el silogismo : "Todo A es algún B" . Ningún B es cualquier C. Por tanto, ninguna A es ninguna C. ' [13]
Charles L. Dodgson (Lewis Carroll) incluye el "Método de diagramas de Venn" así como el "Método de diagramas de Euler" en un "Apéndice dirigido a los profesores" de su libro Lógica simbólica (cuarta edición publicada en 1896). El término "diagrama de Venn" fue utilizado posteriormente por Clarence Irving Lewis en 1918, en su libro A Survey of Symbolic Logic . [8] [14]
En el siglo XX, se desarrollaron aún más los diagramas de Venn. David Wilson Henderson demostró, en 1963, que la existencia de un diagrama de n -Venn con simetría rotacional de n veces implicaba que n era un número primo . [15] También demostró que tales diagramas de Venn simétricos existen cuando n es cinco o siete. En 2002, Peter Hamburger encontró diagramas de Venn simétricos para n = 11 y en 2003, Griggs, Killian y Savage demostraron que existen diagramas de Venn simétricos para todos los demás primos. Estos resultados combinados muestran que existen diagramas de Venn rotacionalmente simétricos, si y sólo si n es un número primo. [dieciséis]
Los diagramas de Venn y los diagramas de Euler se incorporaron como parte de la enseñanza de la teoría de conjuntos, como parte del nuevo movimiento matemático de la década de 1960. Desde entonces, también se han adoptado en el currículum de otros campos como la lectura. [17]
Un diagrama de Venn se construye con una colección de curvas cerradas simples dibujadas en un plano. Según Lewis, [14] el "principio de estos diagramas es que las clases [o conjuntos ] se representen mediante regiones en tal relación entre sí que todas las relaciones lógicas posibles de estas clases puedan indicarse en el mismo diagrama. Es decir, el diagrama inicialmente deja espacio para cualquier posible relación de las clases, y la relación real o dada puede luego especificarse indicando que alguna región particular es nula o no es nula". [14] : 157
Los diagramas de Venn normalmente comprenden círculos superpuestos . El interior del círculo representa simbólicamente los elementos del conjunto, mientras que el exterior representa elementos que no son miembros del conjunto. Por ejemplo, en un diagrama de Venn de dos conjuntos, un círculo puede representar el grupo de todos los objetos de madera , mientras que el otro círculo puede representar el conjunto de todas las mesas. La región superpuesta, o intersección , representaría entonces el conjunto de todas las mesas de madera. Se pueden emplear formas distintas a los círculos, como se muestra a continuación en los diagramas de conjunto superior del propio Venn. Los diagramas de Venn generalmente no contienen información sobre los tamaños relativos o absolutos ( cardinalidad ) de los conjuntos. Es decir, son diagramas esquemáticos generalmente no dibujados a escala.
Los diagramas de Venn son similares a los diagramas de Euler. Sin embargo, un diagrama de Venn para n conjuntos de componentes debe contener las 2 n zonas hipotéticamente posibles, que corresponden a alguna combinación de inclusión o exclusión en cada uno de los conjuntos de componentes. [18] Los diagramas de Euler contienen sólo las zonas realmente posibles en un contexto dado. En los diagramas de Venn, una zona sombreada puede representar una zona vacía, mientras que en un diagrama de Euler, la zona correspondiente falta en el diagrama. Por ejemplo, si un conjunto representa productos lácteos y otro quesos , el diagrama de Venn contiene una zona para quesos que no son productos lácteos. Suponiendo que en el contexto queso signifique algún tipo de producto lácteo, el diagrama de Euler tiene la zona del queso completamente contenida dentro de la zona de productos lácteos; no hay ninguna zona para el (inexistente) queso no lácteo. Esto significa que a medida que aumenta el número de contornos, los diagramas de Euler suelen ser menos complejos visualmente que el diagrama de Venn equivalente, especialmente si el número de intersecciones no vacías es pequeño. [19]
La diferencia entre los diagramas de Euler y Venn se puede ver en el siguiente ejemplo. Tome los tres conjuntos:
Los diagramas de Euler y Venn de esos conjuntos son:
Los diagramas de Venn suelen representar dos o tres conjuntos, pero hay formas que permiten números más altos. Como se muestra a continuación, cuatro esferas que se cruzan forman el diagrama de Venn de orden más alto que tiene la simetría de un simplex y se puede representar visualmente. Las 16 intersecciones corresponden a los vértices de un teseracto (o las celdas de un 16 celdas , respectivamente).
Para un mayor número de conjuntos, es inevitable cierta pérdida de simetría en los diagramas. Venn estaba interesado en encontrar "figuras simétricas... elegantes en sí mismas" [9] que representaran un mayor número de conjuntos, e ideó un elegante diagrama de cuatro conjuntos utilizando elipses (ver más abajo). También dio una construcción para diagramas de Venn para cualquier número de conjuntos, donde cada curva sucesiva que delimita un conjunto se entrelaza con curvas anteriores, comenzando con el diagrama de tres círculos.
Anthony William Fairbank Edwards construyó una serie de diagramas de Venn para un mayor número de conjuntos segmentando la superficie de una esfera, que se conocieron como diagramas de Edwards-Venn. [20] Por ejemplo, tres conjuntos se pueden representar fácilmente tomando tres hemisferios de la esfera en ángulos rectos ( x = 0, y = 0 y z = 0). Se puede agregar un cuarto conjunto a la representación, tomando una curva similar a la costura de una pelota de tenis, que sube y baja alrededor del ecuador, y así sucesivamente. Luego, los conjuntos resultantes se pueden proyectar nuevamente a un plano, para obtener diagramas de rueda dentada con un número creciente de dientes, como se muestra aquí. Estos diagramas fueron ideados mientras se diseñaba una vidriera en memoria de Venn. [20]
Los diagramas de Edwards-Venn son topológicamente equivalentes a los diagramas ideados por Branko Grünbaum , que se basaban en la intersección de polígonos con un número creciente de lados. También son representaciones bidimensionales de hipercubos .
Henry John Stephen Smith ideó diagramas de n conjuntos similares utilizando curvas sinusoidales [20] con la serie de ecuaciones
Charles Lutwidge Dodgson (también conocido como Lewis Carroll) ideó un diagrama de cinco conjuntos conocido como cuadrado de Carroll . Joaquín y Boyles, por otra parte, propusieron reglas suplementarias para el diagrama de Venn estándar, con el fin de tener en cuenta ciertos casos problemáticos. Por ejemplo, con respecto a la cuestión de la representación de enunciados singulares, sugieren considerar el círculo del diagrama de Venn como una representación de un conjunto de cosas y utilizar la lógica de primer orden y la teoría de conjuntos para tratar enunciados categóricos como enunciados sobre conjuntos. Además, proponen tratar las declaraciones singulares como declaraciones sobre la pertenencia a un conjunto . Entonces, por ejemplo, para representar la afirmación "a es F" en este diagrama de Venn modificado, se puede colocar una letra minúscula "a" dentro del círculo que representa el conjunto F. [21]
Los diagramas de Venn corresponden a tablas de verdad para las proposiciones , , etc., en el sentido de que cada región del diagrama de Venn corresponde a una fila de la tabla de verdad. [22] [23] Este tipo también se conoce como diagrama de Johnston. Otra forma de representar conjuntos es con los diagramas R de John F. Randolph .
