En geometría , una diagonal es un segmento de recta que une dos vértices de un polígono o poliedro , cuando esos vértices no están en la misma arista . Informalmente, cualquier línea inclinada se llama diagonal. La palabra diagonal deriva del griego antiguo διαγώνιος diagonios , [1] "de ángulo a ángulo" (de διά- dia- , "a través", "a través" y γωνία gonia , "ángulo", relacionado con gony "rodilla"); fue utilizado tanto por Estrabón [2] como por Euclides [3] para referirse a una línea que conecta dos vértices de un rombo o cuboide , [4] y luego adoptado en latín como diagonus ("línea inclinada").
En álgebra matricial , la diagonal de una matriz cuadrada consta de las entradas en la línea que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha. También hay muchos otros usos no matemáticos.
En ingeniería , una riostra diagonal es una viga que se utiliza para apuntalar una estructura rectangular (como un andamio ) para resistir fuertes fuerzas que empujan hacia ella; Aunque se llama diagonal, debido a consideraciones prácticas, los tirantes diagonales a menudo no están conectados a las esquinas del rectángulo.
Los alicates diagonales son alicates para cortar alambre, definidos porque los bordes cortantes de las mandíbulas cruzan el remache de unión en ángulo o "en diagonal", de ahí el nombre.
Un amarre diagonal es un tipo de amarre que se usa para unir largueros o postes y se aplica de modo que los amarres crucen los postes en ángulo.
En el fútbol asociación , el sistema diagonal de control es el método que utilizan los árbitros y árbitros asistentes para posicionarse en uno de los cuatro cuadrantes del campo.
Aplicada a un polígono , una diagonal es un segmento de línea que une dos vértices cualesquiera no consecutivos. Por tanto, un cuadrilátero tiene dos diagonales, que unen pares de vértices opuestos. Para cualquier polígono convexo , todas las diagonales están dentro del polígono, pero para los polígonos reentrantes , algunas diagonales están fuera del polígono.
Cualquier polígono de n lados ( n ≥ 3), convexo o cóncavo , tiene diagonales totales , ya que cada vértice tiene diagonales a todos los demás vértices excepto a sí mismo y a los dos vértices adyacentes, o n − 3 diagonales, y cada diagonal es compartida por dos vértices. .
En general, un polígono regular de n lados tiene diagonales distintas de longitud, que siguen el patrón 1,1,2,2,3,3... comenzando desde un cuadrado.
En un polígono convexo , si no hay tres diagonales concurrentes en un solo punto del interior, el número de regiones en las que las diagonales dividen el interior viene dado por
Para n -gons con n =3, 4, ... el número de regiones es [5]
Esta es la secuencia OEIS A006522. [6]
Si no hay tres diagonales de un polígono convexo concurrentes en un punto interior, el número de intersecciones interiores de diagonales viene dado por . [7] [8] Esto es válido, por ejemplo, para cualquier polígono regular con un número impar de lados. La fórmula se deriva del hecho de que cada intersección está determinada únicamente por los cuatro puntos finales de las dos diagonales que se cruzan: el número de intersecciones es, por tanto, el número de combinaciones de los n vértices, cuatro a la vez.
Aunque el número de diagonales distintas en un polígono aumenta a medida que aumenta su número de lados, se puede calcular la longitud de cualquier diagonal.
En un n-gón regular con longitud de lado a , la longitud de la x-ésima diagonal distinta más corta es:
Esta fórmula muestra que a medida que el número de lados se acerca al infinito, la x-ésima diagonal más corta se acerca a la longitud (x+1)a . Además, la fórmula para la diagonal más corta se simplifica en el caso de x = 1:
Si el número de lados es par, la diagonal más larga será equivalente al diámetro del círculo circunstante del polígono porque todas las diagonales largas se cruzan entre sí en el centro del polígono.
Los casos especiales incluyen:
Un cuadrado tiene dos diagonales de igual longitud, que se cortan en el centro del cuadrado. La razón entre una diagonal y un lado es
Un pentágono regular tiene cinco diagonales, todas de la misma longitud. La proporción entre una diagonal y un lado es la proporción áurea .
Un hexágono regular tiene nueve diagonales: las seis más cortas son iguales en longitud; los tres más largos son iguales en longitud y se cruzan en el centro del hexágono. La razón entre una diagonal larga y un lado es 2 y la razón entre una diagonal corta y un lado es .
Un heptágono regular tiene 14 diagonales. Los siete más cortos son iguales entre sí y los siete más largos son iguales entre sí. El recíproco del lado es igual a la suma de los recíprocos de una diagonal corta y una larga.
Un poliedro (un objeto sólido en un espacio tridimensional , delimitado por caras bidimensionales ) puede tener dos tipos diferentes de diagonales: diagonales de caras en las distintas caras, que conectan vértices no adyacentes en una misma cara; y diagonales espaciales, enteramente en el interior del poliedro (excepto los puntos finales de los vértices).
Las longitudes de las diagonales de un hipercubo de n dimensiones se pueden calcular mediante inducción matemática . La diagonal más larga de un n-cubo es . Además, existen las de la xésima diagonal más corta. Como ejemplo, un cubo de 5 tendría las diagonales:
Su número total de diagonales es 416. En general, un n-cubo tiene un total de diagonales. Esto se desprende de la forma más general de que describe el número total de diagonales de caras y espacios en politopos convexos. [9] Aquí, v representa el número de vértices y e representa el número de aristas.
Para una matriz cuadrada , la diagonal (o diagonal principal o diagonal principal ) es la línea diagonal de entradas que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha. [10] [11] [12] Para una matriz con un índice de fila especificado por y un índice de columna especificado por , estas serían entradas con . Por ejemplo, la matriz identidad se puede definir con entradas de 1 en la diagonal principal y ceros en el resto:
La traza de una matriz es la suma de los elementos de la diagonal.
La diagonal superior derecha a inferior izquierda a veces se describe como diagonal menor o antidiagonal .
Las entradas fuera de la diagonal son aquellas que no están en la diagonal principal. Una matriz diagonal es aquella cuyas entradas fuera de la diagonal son todas cero. [13] [14]
Una entrada superdiagonal es aquella que está directamente encima y a la derecha de la diagonal principal. [15] [16] Así como las entradas diagonales son aquellas con , las entradas superdiagonales son aquellas con . Por ejemplo, todas las entradas distintas de cero de la siguiente matriz se encuentran en la superdiagonal:
Asimismo, una entrada subdiagonal es aquella que está directamente debajo y a la izquierda de la diagonal principal, es decir, una entrada con . [17] Las diagonales matriciales generales se pueden especificar mediante un índice medido con respecto a la diagonal principal: la diagonal principal tiene ; la superdiagonal tiene ; la subdiagonal tiene ; y en general, la -diagonal consta de las entradas con .
Una matriz con bandas es aquella en la que sus elementos distintos de cero están restringidos a una banda diagonal. Una matriz tridiagonal tiene sólo las entradas diagonal principal, superdiagonal y subdiagonal como distintas de cero.
Por analogía, el subconjunto del producto cartesiano X × X de cualquier conjunto X consigo mismo, que consta de todos los pares (x,x), se llama diagonal y es la gráfica de la relación de igualdad en X o, de manera equivalente, la gráfica de la función de identidad de X a X . Esto juega un papel importante en la geometría; por ejemplo, los puntos fijos de una aplicación F de X a sí mismo se pueden obtener cortando la gráfica de F con la diagonal.
En los estudios geométricos, la idea de cortar la diagonal consigo misma es común, no directamente, sino perturbándola dentro de una clase de equivalencia . Esto se relaciona en un nivel profundo con la característica de Euler y los ceros de los campos vectoriales . Por ejemplo, el círculo S 1 tiene números de Betti 1, 1, 0, 0, 0 y, por lo tanto, característica de Euler 0. Una forma geométrica de expresar esto es mirar la diagonal de los dos toros S 1 xS 1 y observar que puede alejarse de sí mismo mediante el pequeño movimiento (θ, θ) a (θ, θ + ε). En general, el número de intersección de la gráfica de una función con la diagonal se puede calcular mediante homología mediante el teorema del punto fijo de Lefschetz ; la autointersección de la diagonal es el caso especial de la función de identidad.
