Diagonal principal

Entradas de una matriz cuyos índices de fila y columna son iguales

En álgebra lineal , la diagonal principal (a veces diagonal principal , diagonal primaria , diagonal principal , diagonal mayor o diagonal buena ) de una matriz es la lista de entradas donde . Todos los elementos fuera de la diagonal son cero en una matriz diagonal . Las siguientes cuatro matrices tienen sus diagonales principales indicadas con unas en rojo: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle i=j}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0\\0&0&\color {red}{1}\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0\\0&0&\color {red}{1}&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0\\0&0&\color {red}{1}\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0\\0&0&\color {red}{1}&0\\0&0&0&\color {red}{1}\end{bmatrix}}\qquad }$$

Matrices cuadradas

Para una matriz cuadrada , la diagonal (o diagonal principal o diagonal principal ) es la línea diagonal de entradas que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha. ^{[1] [2] [3]} Para una matriz con índice de fila especificado por e índice de columna especificado por , estas serían las entradas con . Por ejemplo, la matriz identidad se puede definir como que tiene entradas de 1 en la diagonal principal y ceros en el resto: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle i=j}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

La traza de una matriz es la suma de los elementos diagonales.

La diagonal de arriba a la derecha a abajo a la izquierda a veces se describe como diagonal menor o antidiagonal .

Las entradas fuera de la diagonal son aquellas que no están en la diagonal principal. Una matriz diagonal es aquella cuyas entradas fuera de la diagonal son todas cero. ^{[4] [5]}

Una entrada superdiagonal es aquella que se encuentra directamente encima y a la derecha de la diagonal principal. ^{[6] [7]} Así como las entradas diagonales son aquellas con , las entradas superdiagonales son aquellas con . Por ejemplo, las entradas distintas de cero de la siguiente matriz se encuentran todas en la superdiagonal: ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle j=i}$ ${\displaystyle j=i+1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

De la misma manera, una entrada subdiagonal es aquella que está directamente debajo y a la izquierda de la diagonal principal, es decir, una entrada con . ^[8] Las diagonales de matrices generales se pueden especificar mediante un índice medido en relación con la diagonal principal: la diagonal principal tiene ; la superdiagonal tiene ; la subdiagonal tiene ; y en general, la -diagonal consiste en las entradas con . ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle j=i-1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=-1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle j=i+k}$

Una matriz con bandas es aquella en la que sus elementos distintos de cero están restringidos a una banda diagonal. Una matriz tridiagonal tiene solo las entradas de la diagonal principal, la superdiagonal y la subdiagonal como distintas de cero.

Antidiagonal

La antidiagonal (a veces contradiagonal , diagonal secundaria (*), diagonal final , diagonal menor , diagonal fuera de línea o diagonal incorrecta ) de una matriz cuadrada de orden es la colección de entradas tales que para todos . Es decir, va desde la esquina superior derecha hasta la esquina inferior izquierda. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b_{i,j}}$ ${\displaystyle i+j=N+1}$ ${\displaystyle 1\leq i,j\leq N}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\color {red}{1}\\0&\color {red}{1}&0\\\color {red}{1}&0&0\end{bmatrix}}}$

(*) Las diagonales secundarias (así como las diagonales finales , menores y fuera de la diagonal ) muy a menudo también significan las diagonales (también conocidas como k -ésimas) paralelas a las diagonales principales, es decir , para algún k = 1, 2, 3, ... distinto de cero. De manera más general y universal, los elementos fuera de la diagonal de una matriz son todos los elementos que no están en la diagonal principal, es decir , con índices distintos i ≠ j . ${\displaystyle A_{i,\,i\pm k}}$

Véase también

• Rastro

Notas

1. Bronson (1970, pág. 2)
2. Herstein (1964, pág. 239)
3. Nering (1970, pág. 38)
4. Herstein (1964, pág. 239)
5. Nering (1970, pág. 38)
6. Bronson (1970, págs. 203, 205)
7. Herstein (1964, pág. 239)
8. Cullen (1966, pág. 114)

Referencias

• Bronson, Richard (1970), Métodos matriciales: una introducción , Nueva York: Academic Press , LCCN  70097490
• Cullen, Charles G. (1966), Matrices y transformaciones lineales , Lectura: Addison-Wesley , LCCN  66021267
• Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2.ª ed.), Nueva York: Wiley , LCCN  76091646
• Weisstein, Eric W. "Diagonal principal". MathWorld .