Curva de ancho constante

Forma con ancho independiente de la orientación.

Medir el ancho de un triángulo de Reuleaux como la distancia entre líneas de soporte paralelas . Como esta distancia no depende de la dirección de las líneas, el triángulo de Reuleaux es una curva de ancho constante.

En geometría , una curva de ancho constante es una curva simple cerrada en el plano cuyo ancho (la distancia entre líneas de apoyo paralelas ) es el mismo en todas las direcciones. La forma delimitada por una curva de ancho constante es un cuerpo de ancho constante o un orbiforme , nombre dado a estas formas por Leonhard Euler . ^[1] Ejemplos estándar son el círculo y el triángulo de Reuleaux . Estas curvas también se pueden construir utilizando arcos circulares centrados en los cruces de una disposición de líneas , como las involutas de ciertas curvas, o mediante círculos que se cruzan y centrados en una curva parcial.

Todo cuerpo de ancho constante es un conjunto convexo , su límite es atravesado como máximo dos veces por una línea cualquiera, y si la línea se cruza perpendicularmente lo hace en ambos cruces, separados por el ancho. Según el teorema de Barbier , el perímetro del cuerpo es exactamente π veces su ancho, pero su área depende de su forma, teniendo el triángulo de Reuleaux el área más pequeña posible para su ancho y el círculo la más grande. Cada superconjunto de un cuerpo de ancho constante incluye pares de puntos que están más separados que el ancho, y cada curva de ancho constante incluye al menos seis puntos de curvatura extrema. Aunque el triángulo de Reuleaux no es suave, las curvas de ancho constante siempre pueden aproximarse arbitrariamente mediante curvas suaves del mismo ancho constante.

Los cilindros con sección transversal de ancho constante se pueden utilizar como rodillos para soportar una superficie nivelada. Otra aplicación de curvas de ancho constante es para formas de acuñación , donde los polígonos regulares de Reuleaux son una opción común. La posibilidad de que curvas distintas de los círculos puedan tener un ancho constante hace que sea más complicado comprobar la redondez de un objeto .

Las curvas de ancho constante se han generalizado de varias maneras a dimensiones superiores y a geometría no euclidiana .

Definiciones

El ancho y el ancho constante se definen en términos de las líneas de curvas de soporte; son líneas que tocan una curva sin cruzarla. Cada curva compacta en el plano tiene dos líneas de apoyo en cualquier dirección dada, con la curva intercalada entre ellas. La distancia euclidiana entre estas dos líneas es el ancho de la curva en esa dirección, y una curva tiene un ancho constante si esta distancia es la misma para todas las direcciones de las líneas. El ancho de un conjunto convexo acotado se puede definir de la misma manera que para las curvas, por la distancia entre pares de líneas paralelas que tocan el conjunto sin cruzarlo, y un conjunto convexo es un cuerpo de ancho constante cuando esta distancia es distinta de cero y No depende de la dirección de las líneas. Todo cuerpo de ancho constante tiene una curva de ancho constante como límite, y cada curva de ancho constante tiene un cuerpo de ancho constante como casco convexo . ^{[2] [3]}

Otra forma equivalente de definir el ancho de una curva compacta o de un conjunto convexo es observando su proyección ortogonal sobre una recta. En ambos casos, la proyección es un segmento de recta , cuya longitud es igual a la distancia entre líneas de apoyo que son perpendiculares a la recta. Entonces, una curva o un conjunto convexo tiene ancho constante cuando todas sus proyecciones ortogonales tienen la misma longitud. ^{[2] [3]}

Ejemplos

Una curva de ancho constante definida por un polinomio de octavo grado.

Los círculos tienen un ancho constante, igual a su diámetro . Por otro lado, los cuadrados no: las líneas de soporte paralelas a dos lados opuestos del cuadrado están más juntas que las líneas de soporte paralelas a una diagonal. De manera más general, ningún polígono puede tener un ancho constante. Sin embargo, existen otras formas de ancho constante. Un ejemplo estándar es el triángulo de Reuleaux , la intersección de tres círculos, cada uno centrado donde se cruzan los otros dos círculos. ^[2] Su curva límite consta de tres arcos de estos círculos, que se encuentran en ángulos de 120°, por lo que no es suave y, de hecho, estos ángulos son los más agudos posibles para cualquier curva de ancho constante. ^[3]

Otras curvas de ancho constante pueden ser suaves pero no circulares, y ni siquiera tienen arcos circulares en sus límites. Por ejemplo, el conjunto cero del polinomio siguiente forma una curva algebraica suave no circular de ancho constante: ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)={}&(x^{2}+y^{2})^{4}-45(x^{2}+y^{2})^{3}-41283(x^{2}+y^{2})^{2}\\&+7950960(x^{2}+y^{2})+16(x^{2}-3y^{2})^{3}+48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}\\&+x(x^{2}-3y^{2})\left(16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382\right)-720^{3}.\end{aligned}}}$$

Su grado , ocho, es el mínimo grado posible para un polinomio que define una curva no circular de ancho constante. ^[5]

Construcciones

Un polígono irregular de Reuleaux

Aplicar el método de líneas cruzadas a un arreglo de cuatro líneas . Los límites del cuerpo azul de ancho constante son arcos circulares de cuatro pares de círculos anidados (círculos interiores de color rojo oscuro y círculos exteriores de color rojo claro).

Cuerpo de ancho constante (amarillo) formado por discos que se cruzan (azul) centrados en una semielipse (negro). El círculo rojo muestra un círculo tangente a una línea de soporte, en un punto de mínima curvatura de la semielipse. La excentricidad de la semielipse de la figura es la máxima posible para esta construcción.

Todo polígono regular de número impar de lados da lugar a una curva de anchura constante, un polígono de Reuleaux , formado a partir de arcos circulares centrados en sus vértices que pasan por los dos vértices más alejados del centro. Por ejemplo, esta construcción genera un triángulo de Reuleaux a partir de un triángulo equilátero. Algunos polígonos irregulares también generan polígonos de Reuleaux. ^{[6] [7]} En una construcción estrechamente relacionada, llamada por Martin Gardner el "método de líneas cruzadas", una disposición de líneas en el plano (no hay dos paralelas sino arbitrarias) se clasifica en orden cíclico según las pendientes de las líneas. . Luego, las líneas se conectan mediante una curva formada a partir de una secuencia de arcos circulares; cada arco conecta dos líneas consecutivas en el orden ordenado y está centrado en su cruce. El radio del primer arco debe elegirse lo suficientemente grande como para que todos los arcos sucesivos terminen en el lado correcto del siguiente punto de cruce; sin embargo, todos los radios suficientemente grandes funcionan. Para dos líneas, esto forma un círculo; para tres rectas en los lados de un triángulo equilátero, con el mínimo radio posible, forma un triángulo de Reuleaux, y para las rectas de un polígono estrellado regular puede formar un polígono de Reuleaux. ^{[2] [6]}

Leonhard Euler construyó curvas de ancho constante a partir de involutas de curvas con un número impar de singularidades de cúspides , teniendo solo una línea tangente en cada dirección (es decir, erizos proyectivos ). ^{[1] [8]} Una forma intuitiva de describir la construcción de la involuta es hacer rodar un segmento de línea alrededor de dicha curva, manteniéndolo tangente a la curva sin deslizarse a lo largo de ella, hasta que regrese a su punto inicial de tangencia. El segmento de línea debe ser lo suficientemente largo para alcanzar las cúspides de la curva, de modo que pueda pasar cada cúspide hasta la siguiente parte de la curva, y su posición inicial debe elegirse cuidadosamente de modo que al final del proceso de laminación está en la misma posición desde la que empezó. Cuando eso sucede, la curva trazada por los puntos finales del segmento de recta es una involuta que encierra la curva dada sin cruzarla, con un ancho constante igual a la longitud del segmento de recta. ^[9] Si la curva inicial es suave (excepto en las cúspides), la curva resultante de ancho constante también será suave. ^{[1] [8]} Un ejemplo de una curva inicial con las propiedades correctas para esta construcción es la curva deltoides , y las involutas del deltoides que la encierran forman curvas suaves de ancho constante, que no contienen ningún arco circular. ^{[10] [11]}

Otra construcción elige la mitad de la curva de ancho constante, cumpliendo ciertos requisitos, y forma a partir de ella un cuerpo de ancho constante que tiene la curva dada como parte de su límite. La construcción comienza con un arco curvo convexo, cuyos extremos están separados por la anchura prevista. Los dos puntos finales deben tocar líneas de soporte paralelas a una distancia entre sí. Además, cada línea de soporte que toque otro punto del arco debe ser tangente en ese punto a un círculo de radio que contenga todo el arco; este requisito impide que la curvatura del arco sea menor que la del círculo. El cuerpo completo de ancho constante es entonces la intersección de los interiores de una familia infinita de círculos, de dos tipos: los tangentes a las líneas de apoyo, y otros círculos del mismo radio centrados en cada punto del arco dado. Esta construcción es universal: todas las curvas de ancho constante pueden construirse de esta manera. ^[3] Victor Puiseux , un matemático francés del siglo XIX, encontró curvas de ancho constante que contienen arcos elípticos ^[12] que pueden construirse de esta manera a partir de una semielipse . Para cumplir con la condición de curvatura, la semielipse debe estar delimitada por el semieje mayor de su elipse, y la elipse debe tener excentricidad como máximo . De manera equivalente, el semieje mayor debe ser como máximo el doble del semieje menor. ^[6] ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$

Dados dos cuerpos cualesquiera de ancho constante, su suma de Minkowski forma otro cuerpo de ancho constante. ^[13] Una generalización de las sumas de Minkowski a las sumas de funciones de soporte de erizos produce una curva de ancho constante a partir de la suma de un erizo proyectivo y un círculo, siempre que el resultado sea una curva convexa. De esta manera, todas las curvas de ancho constante se pueden descomponer en una suma de erizos. ^[14]

Propiedades

El triángulo de Reuleaux rueda dentro de un cuadrado tocando en todo momento los cuatro lados.

Una curva de ancho constante puede girar entre dos líneas paralelas separadas por su ancho, tocando en todo momento esas líneas, que actúan como líneas de soporte de la curva girada. De la misma manera, una curva de ancho constante puede girar dentro de un rombo o un cuadrado, cuyos pares de lados opuestos están separados por el ancho y se encuentran sobre líneas de apoyo paralelas. ^{[2] [6] [3]} No todas las curvas de ancho constante pueden girar dentro de un hexágono regular de la misma manera, porque sus líneas de soporte pueden formar diferentes hexágonos irregulares para diferentes rotaciones en lugar de formar siempre uno regular. Sin embargo, cada curva de ancho constante puede estar encerrada por al menos un hexágono regular con lados opuestos en líneas de soporte paralelas. ^[15]

Una curva tiene ancho constante si y sólo si, por cada par de líneas de soporte paralelas, toca esas dos líneas en puntos cuya distancia es igual a la separación entre las líneas. En particular, esto implica que sólo puede tocar cada línea de soporte en un único punto. De manera equivalente, cada línea que cruza la curva perpendicularmente la cruza exactamente en dos puntos de distancia igual al ancho. Por tanto, una curva de ancho constante debe ser convexa, ya que toda curva cerrada simple no convexa tiene una línea de apoyo que la toca en dos o más puntos. ^{[3] [8]} Las curvas de ancho constante son ejemplos de curvas autoparalelas o autoparalelas, curvas trazadas por ambos puntos finales de un segmento de línea que se mueve de tal manera que ambos puntos finales se mueven perpendicularmente al segmento de línea. Sin embargo, existen otras curvas autoparalelas, como la espiral infinita formada por la involuta de un círculo, que no tienen un ancho constante. ^[dieciséis]

El teorema de Barbier afirma que el perímetro de cualquier curva de ancho constante es igual al ancho multiplicado por . Como caso especial, esta fórmula concuerda con la fórmula estándar para el perímetro de un círculo dado su diámetro. ^{[17] [18]} Según la desigualdad isoperimétrica y el teorema de Barbier, el círculo tiene el área máxima de cualquier curva de ancho constante dado. El teorema de Blaschke-Lebesgue dice que el triángulo de Reuleaux tiene el área más pequeña de cualquier curva convexa de ancho constante dado. ^[19] Cada superconjunto propio de un cuerpo de ancho constante tiene un diámetro estrictamente mayor, y cada conjunto euclidiano con esta propiedad es un cuerpo de ancho constante. En particular, no es posible que un cuerpo de ancho constante sea un subconjunto de un cuerpo diferente con el mismo ancho constante. ^{[20] [21]} Cada curva de ancho constante puede aproximarse arbitrariamente mediante una curva circular por partes o mediante una curva analítica del mismo ancho constante. ^[22] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi d}$

Un vértice de una curva suave es un punto donde su curvatura es un máximo o mínimo local; para un arco circular, todos los puntos son vértices, pero las curvas no circulares pueden tener un conjunto finito y discreto de vértices. Para una curva que no es suave, los puntos donde no lo es también pueden considerarse como vértices, de curvatura infinita. Para una curva de ancho constante, cada vértice de curvatura localmente mínima se empareja con un vértice de curvatura localmente máxima, opuesto a él en un diámetro de la curva, y debe haber al menos seis vértices. Esto contrasta con el teorema de los cuatro vértices , según el cual toda curva simple, cerrada y suave en el plano tiene al menos cuatro vértices. Algunas curvas, como las elipses, tienen exactamente cuatro vértices, pero esto no es posible en una curva de ancho constante. ^{[14] [23]} Debido a que los mínimos locales de curvatura son máximos locales opuestos de curvatura, las únicas curvas de ancho constante con simetría central son los círculos, para los cuales la curvatura es la misma en todos los puntos. ^[13] Para cada curva de ancho constante, el círculo mínimo que rodea la curva y el círculo más grande que contiene son concéntricos, y el promedio de sus diámetros es el ancho de la curva. Estos dos círculos juntos tocan la curva en al menos tres pares de puntos opuestos, pero estos puntos no son necesariamente vértices. ^[13]

Un cuerpo convexo tiene ancho constante si y sólo si la suma de Minkowski del cuerpo y su rotación de 180° es un disco circular; si es así, el ancho del cuerpo es el radio del disco. ^{[13] [15]}

Aplicaciones

Rodillos de ancho constante

Debido a la capacidad de las curvas de ancho constante para rodar entre líneas paralelas, cualquier cilindro con una curva de ancho constante como sección transversal puede actuar como un "rodillo" , soportando un plano nivelado y manteniéndolo plano mientras rueda a lo largo de cualquier nivel. superficie. Sin embargo, el centro del rodillo se mueve hacia arriba y hacia abajo a medida que rueda, por lo que esta construcción no funcionaría para ruedas de esta forma unidas a ejes fijos. ^{[2] [6] [3]}

Algunas formas de monedas son cuerpos no circulares de ancho constante. Por ejemplo, las monedas británicas de 20 y 50 peniques son heptágonos de Reuleaux, y el dólar canadiense es un gon de Reuleaux de 11. ^[24] Estas formas permiten que las máquinas automáticas de monedas reconozcan estas monedas por su ancho, independientemente de la orientación de la moneda en la máquina. ^{[2] [6]} Por otro lado, probar el ancho es inadecuado para determinar la redondez de un objeto , porque tales pruebas no pueden distinguir círculos de otras curvas de ancho constante. ^{[2] [6]} Pasar por alto este hecho puede haber jugado un papel en el desastre del transbordador espacial Challenger , ya que la redondez de las secciones del cohete en ese lanzamiento se probó solo midiendo anchos, y las formas no redondas pueden causar tensiones inusualmente altas que podría haber sido uno de los factores que provocaron el desastre. ^[25]

Generalizaciones

Las curvas de ancho constante se pueden generalizar a ciertas curvas no convexas, las curvas que tienen dos rectas tangentes en cada dirección, con la misma separación entre estas dos rectas independientemente de su dirección. Como caso límite, los erizos proyectivos (curvas con una tangente en cada dirección) también han sido denominados "curvas de ancho cero". ^[26]

Una forma de generalizar estos conceptos a tres dimensiones es mediante las superficies de ancho constante . El análogo tridimensional de un triángulo de Reuleaux, el tetraedro de Reuleaux , no tiene un ancho constante, pero cambios menores producen los cuerpos de Meissner , que sí lo tienen. ^{[2] [13]} Las curvas de ancho constante también pueden generalizarse a los cuerpos de brillo constante , formas tridimensionales cuyas proyecciones bidimensionales tienen todas la misma área; estas formas obedecen a una generalización del teorema de Barbier. ^[13] Una clase diferente de generalizaciones tridimensionales, las curvas espaciales de ancho constante, se definen por las propiedades de que cada plano que cruza la curva perpendicularmente la intersecta exactamente en otro punto, donde también es perpendicular, y que todos los pares de puntos intersecados por planos perpendiculares están a la misma distancia entre sí. ^{[27] [28] [29] [30]}

También se han estudiado curvas y cuerpos de ancho constante en geometría no euclidiana ^{[31] y para} espacios vectoriales normados no euclidianos . ^[20]

Ver también

• Ancho medio , el ancho de una curva promediado en todas las direcciones posibles.
• Curva de Zindler , una curva en la que todas las cuerdas que bisectan el perímetro tienen la misma longitud

Referencias

1. Euler, Leonhard (1781). "De curvis triangularibus". Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (en latín). 1778 (II): 3–30.
2. Gardner, Martín (1991). "Capítulo 18: Curvas de ancho constante". El ahorcamiento inesperado y otras desviaciones matemáticas . Prensa de la Universidad de Chicago. págs. 212-221. ISBN 0-226-28256-2.
3. Rademacher, Hans ; Töplitz, Otto (1957). "Capítulo 25: Curvas de amplitud constante". El disfrute de las matemáticas: selecciones de matemáticas para aficionados . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 163-177.
4. Rabinowitz, Stanley (1997). "Una curva polinómica de ancho constante" (PDF) . Revista de Ciencias Matemáticas de Missouri . 9 (1): 23–27. doi : 10.35834/1997/0901023 . SEÑOR  1455287.
5. Bardet, Magali; Bayen, Terence (2013). "Sobre el grado del polinomio que define curvas algebraicas planas de ancho constante". arXiv : 1312.4358 [matemáticas.AG].
6. Bryant, John; Sangwin, Chris (2008). "Capítulo 10: ¿Qué tan redondo es tu círculo?". ¿Qué tan redondo es tu círculo? Donde se encuentran la ingeniería y las matemáticas . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 188-226. ISBN 978-0-691-13118-4.
7. Cundy, H. Martyn ; Rollett, AP (1961). Modelos matemáticos (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 212.
8. Robertson, SA (1984). "Curvas suaves de ancho constante y transnormalidad". El Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 16 (3): 264–274. doi :10.1112/blms/16.3.264. SEÑOR  0738517.
9. Lowry, HV (febrero de 1950). "2109. Curvas de diámetro constante". Apuntes matemáticos. La Gaceta Matemática . 34 (307): 43. doi : 10.2307/3610879. JSTOR  3610879. S2CID  187767688.
10. Goldberg, Michael (marzo de 1954). "Rotores dentro de rotores". Mensual Matemático Estadounidense . 61 (3): 166-171. doi :10.2307/2307215. JSTOR  2307215.
11. Burke, John F. (marzo de 1966). "Una curva de diámetro constante". Revista Matemáticas . 39 (2): 84–85. doi :10.2307/2688715. JSTOR  2688715.
12. Kearsley, MJ (septiembre de 1952). "Curvas de diámetro constante". La Gaceta Matemática . 36 (317): 176-179. doi :10.2307/3608253. JSTOR  3608253. S2CID  125468725.
13. Martini, Horst; Montejano, Luis; Oliveros, Déborah (2019). Cuerpos de ancho constante: una introducción a la geometría convexa con aplicaciones . Birkhäuser. doi :10.1007/978-3-030-03868-7. ISBN 978-3-030-03866-3. SEÑOR  3930585. S2CID  127264210.Para conocer las propiedades de curvas planas de ancho constante, véanse en particular las páginas 69 a 71. Para los cuerpos de Meissner, consulte la sección 8.3, págs. 171-178. Para cuerpos de brillo constante, consulte la sección 13.3.2, págs. 310–313.
14. Martínez-Maure, Yves (1996). "Una nota sobre el teorema de la pelota de tenis". Mensual Matemático Estadounidense . 103 (4): 338–340. doi :10.2307/2975192. JSTOR  2975192. SEÑOR  1383672.
15. Chakerian, GD (1966). "Conjuntos de ancho constante". Revista Pacífico de Matemáticas . 19 : 13-21. doi : 10.2140/pjm.1966.19.13 . SEÑOR  0205152.
16. Ferréol, Robert; Boureau, Samuel; Esculier, Alain (2017). "Curva autoparalela, curva de ancho constante". Encyclopédie des formes mathématiques remarquables .
17. Lay, Steven R. (2007). Conjuntos convexos y sus aplicaciones. Dover. Teorema 11.11, págs. 81–82. ISBN 9780486458038..
18. Barbier, E. (1860). "Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert" (PDF) . Journal de mathématiques pures et appliquées . 2 ^e série (en francés). 5 : 273–286.Véanse en particular las págs. 283–285.
19. Gruber, Peter M. (1983). Convexidad y sus aplicaciones. Birkhäuser. pag. 67.ISBN​ 978-3-7643-1384-5.
20. Eggleston, HG (1965). "Conjuntos de ancho constante en espacios de Banach de dimensión finita". Revista Israelí de Matemáticas . 3 (3): 163–172. doi :10.1007/BF02759749. SEÑOR  0200695. S2CID  121731141.
21. Jessen, Borge (1929). "Über konvexe Punktmengen konstanter Breite". Mathematische Zeitschrift . 29 (1): 378–380. doi :10.1007/BF03326404. SEÑOR  3108700. S2CID  122800988.
22. Wegner, B. (1977). "Aproximación analítica de óvalos continuos de ancho constante". Revista de la Sociedad Matemática de Japón . 29 (3): 537–540. doi : 10.2969/jmsj/02930537 . SEÑOR  0464076.
23. Craizer, Marcos; Teixeira, Ralph; Balestro, Vítor (2018). "Cicloides cerradas en un plano normado". Monatshefte für Mathematik . 185 (1): 43–60. arXiv : 1608.01651 . doi :10.1007/s00605-017-1030-5. SEÑOR  3745700. S2CID  119710622.
24. Chamberland, Marc (2015). Un solo dígito: elogio de los números pequeños. Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 104-105. ISBN 9781400865697.
25. Moore, Helen (2004). "Geometría del transbordador espacial". En Hayes, David F.; Shubin, Tatiana (eds.). Aventuras matemáticas para estudiantes y aficionados . Espectro MAA. Washington, DC: Asociación Matemática de América. págs. 7-16. ISBN 0-88385-548-8. SEÑOR  2085842.
26. Kelly, Paul J. (1957). "Curvas con una especie de ancho constante". Mensual Matemático Estadounidense . 64 (5): 333–336. doi :10.2307/2309594. JSTOR  2309594. SEÑOR  0092168.
27. Fujiwara, M. (1914). "Sobre curvas espaciales de amplitud constante". Revista matemática de Tohoku . 1ª serie. 5 : 180–184.
28. Cieślak, Waldemar (1988). "Sobre curvas espaciales de ancho constante". Bulletin de la Société des Sciences et des Lettres de Łódź . 38 (5): 7. SEÑOR  0995691.
29. Teufel, Eberhard (1993). "Sobre la longitud de las curvas espaciales de ancho constante". Beiträge zur Algebra und Geometrie . 34 (2): 173-176. SEÑOR  1264285.
30. Wegner, Bernd (1972). "Globale Sätze über Raumkurven konstanter Breite". Mathematische Nachrichten (en alemán). 53 (1–6): 337–344. doi :10.1002/mana.19720530126. SEÑOR  0317187.
31. Leichtweiss, K. (2005). "Curvas de ancho constante en la geometría no euclidiana". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 75 : 257–284. doi :10.1007/BF02942046. SEÑOR  2187589. S2CID  119927817.

enlaces externos

• Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra una forma irregular de ancho constante (que puedes cambiar) realizada con GeoGebra.
• Weisstein, Eric W. "Curva de ancho constante". MundoMatemático .
• Molde, Steve. "Formas y sólidos de ancho constante". Numéfilo . Brady Harán . Archivado desde el original el 19 de marzo de 2016 . Consultado el 17 de noviembre de 2013 .
• Formas de ancho constante al cortar el nudo.