Un deltaedro es un poliedro cuyas caras son todas triángulos equiláteros . El deltaedro recibe su nombre de Martyn Cundy , en honor a la letra mayúscula griega delta que se asemeja a una forma triangular Δ. [1] El deltaedro se puede clasificar por la propiedad de convexidad . Hay ocho deltaedros convexos, que se pueden utilizar en aplicaciones de la química, como en la teoría de pares de electrones esqueléticos poliédricos y en compuestos químicos . Omitir la propiedad convexa deja los resultados en infinitos deltaedros junto con el reconocimiento de sus subclases.
prisma triangular triaumentado , construido uniendo tres pirámides cuadradas a la cara cuadrada de un prisma triangular, de modo que tenga catorce caras triangulares.
disfenoide romo , con doce caras triangulares, construido uniendo dos hexágonos regulares en el orden siguiente: estos hexágonos pueden formar una bipirámide en degeneración , separándolos en dos partes a lo largo de una diagonal coincidente, presionando hacia dentro el extremo de la diagonal, girando uno de ellos 90° y volviéndolos a unir.
El número de deltaedros convexos posibles fue dado por Rausenberger (1915), utilizando el hecho de que multiplicando el número de caras por tres resulta que cada arista es compartida por dos caras, por lo que sustituyendo esto a la fórmula del poliedro de Euler . Además, puede demostrarse que un poliedro con dieciocho triángulos equiláteros es matemáticamente posible, aunque es imposible construirlo geométricamente. Rausenberger nombró a estos sólidos como los poliedros pseudoregulares convexos . [3]
Resumiendo los ejemplos anteriores, los deltaedros pueden definirse de manera concluyente como la clase de poliedros cuyas caras son triángulos equiláteros . [4] Se dice que un poliedro es convexo si una línea entre dos de sus vértices se encuentra dentro de su interior o en su límite, y además, si no hay dos caras coplanares (que se encuentren en el mismo) y no hay dos aristas colineales (segmentos de la misma línea). [5] Otra definición de Bernal (1964) es similar a la anterior, en la que se interesaba por las formas de los agujeros que quedan en arreglos irregulares y compactos de esferas. Se plantea como un poliedro convexo con caras triangulares equiláteras que puede formarse por los centros de una colección de esferas congruentes, cuyas tangencias representan aristas del poliedro, y tal que no hay espacio para empaquetar otra esfera dentro de la jaula creada por este sistema de esferas. Debido a esta restricción, algunos poliedros no pueden incluirse como deltaedro: la bipirámide triangular (ya que forma dos agujeros tetraédricos en lugar de un solo agujero), la bipirámide pentagonal (porque las esferas de sus vértices se interpenetran, por lo que no puede presentarse en empaquetamientos de esferas) y el icosaedro regular (porque tiene espacio interior para otra esfera). [6]
Un deltaedro no convexo es un deltaedro que no posee convexidad, es decir, no tiene caras coplanares ni aristas colineales. Hay una cantidad infinita de deltaedros no convexos. [9] Algunos ejemplos son la stella octangula , la tercera estelación de un icosaedro regular, y la hélice de Boerdijk–Coxeter . [10]
Existen subclases de deltaedros no convexos. Cundy (1952) demuestra que pueden descubrirse hallando el número de tipos de vértices variables . Un conjunto de vértices se considera del mismo tipo siempre que existan subgrupos del mismo grupo del poliedro transitivos en el conjunto. Cundy demuestra que el gran icosaedro es el único deltaedro no convexo con un único tipo de vértice. Existen diecisiete deltaedros no convexos con dos tipos de vértice, y poco después Olshevsky añadió los otros once deltaedros [11] . Otras subclases son el deltaedro isoédrico , que más tarde descubrieron McNeill y Shephard (2000), [12] y el deltaedro espiral construido con tiras de triángulos equiláteros, descubierto por Trigg (1978). [13]
Referencias
Notas al pie
^
Cundy (1952)
Cromwell (1997), pág. 75
Trigg (1978)
^
Trigg (1978)
Litchenberg (1988), pág. 263
Freudenthal y van der Waerden (1947)
^
Rausenberger (1915)
Litchenberg (1988), pág. 263
^
Cundy (1952)
Cromwell (1997), pág. 75
Trigg (1978)
^
Litchenberg (1988), pág. 262
Boissonnat y Yvinec (1989)
^ Bernal (1964).
^ Kharas y Dahl (1988), pág. 8.
^
Burdett, Hoffmann y Fay (1978)
Gillespie y Hargittai (2013), pág. 152
Kepert (1982), págs. 7-21
Petrucci, Harwood y Herring (2002), pág. 413–414, Véase la tabla 11.1.
Remhov y Černý (2021), pág. 270
^
Trigg (1978)
Eppstein (2021)
^
Pedersen y Hyde (2018)
Weils (1991), pág. 78
^
Cundy (1952)
Olshevski
Tsuruta y otros (2015)
^
McNeill
Pastor (2000)
Tsuruta y otros (2015)
^
Trigg (1978)
Tsuruta y otros (2015)
Obras citadas
Bernal, JD (1964), "La conferencia Bakerian, 1962. La estructura de los líquidos", Actas de la Royal Society of London , Serie A, Ciencias matemáticas y físicas, 280 (1382): 299–322, Bibcode :1964RSPSA.280..299B, doi :10.1098/rspa.1964.0147, JSTOR 2415872, S2CID 178710030.
Boissonnat, JD; Yvinec, M. (junio de 1989), "Explorando una escena de poliedros no convexos", Actas del quinto simposio anual sobre geometría computacional : 237–246, doi :10.1145/73833.73860.
Burdett, Jeremy K.; Hoffmann, Roald; Fay, Robert C. (1978), "Ocho coordinaciones", Química inorgánica , 17 (9): 2553–2568, doi :10.1021/ic50187a041.
Eppstein, D. (2021), "Sobre la realización poliédrica con triángulos isósceles", Graphs and Combinatorics , 37 , Springer: 1247–1269, doi : 10.1007/s00373-021-02314-9
Foulds, LR; Robinson, DF (1979), "Propiedades de construcción de deltaedros combinatorios", Discrete Applied Mathematics , 1 (1–2): 75–87, doi :10.1016/0166-218X(79)90015-5.
Gardner, Martin (1992), Música fractal, hipertarjetas y más: recreaciones matemáticas de Scientific American , Nueva York: WH Freeman, págs. 40, 53 y 58-60.
Kepert, David L. (1982), "Poliedros", Conceptos de química inorgánica , vol. 6, Springer, doi :10.1007/978-3-642-68046-5_2, ISBN 978-3-642-68048-9.
Kharas, KCC; Dahl, LF (1988), "Clústeres metálicos estabilizados por ligando: estructura, enlaces, fluxionaridad y estado metálico", en Prigogine, I.; Rice, SA (eds.), Evolución de los efectos del tamaño en la dinámica química, parte 2: avances en física química, volumen LXX, John Wiley & Sons , pág. 8.
Litchenberg, DR (1988), "Pirámides, prismas, antiprismas y deltaedros", The Mathematics Teacher , 81 (4): 261–265, JSTOR 27965792
McNeill, J., Deltaedros isoédricos
Olshevsky, George, Rompiendo el récord de deltaedros de Cundy (PDF)
Pedersen, MC; Hyde, ST (2018), "Poliedros y empaquetamientos de panales hiperbólicos", Actas de la Academia Nacional de Ciencias , 115 (27): 6905–6910, doi :10.1073/pnas.1720307115, PMC 6142264
Petrucci, RH; Harwood, WS; Herring, FG (2002), Química general: principios y aplicaciones modernas (8.ª ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-014329-7
Pugh, Anthony (1976), Polihedros: un enfoque visual , California: University of California Press Berkeley, págs. 35-36, ISBN 0-520-03056-7.
Rausenberger, O. (1915), "Konvexe pseudoreguläre Polyeder", Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht , 46 : 135-142.
Remhov, Arndt; Černý, Radovan (2021), "Hidroborato como nuevo electrolito de estado sólido", en Schorr, Susan; Weidenthaler, Claudia (eds.), Cristalografía en la ciencia de los materiales: de las relaciones estructura-propiedad a la ingeniería , de Gruyter , ISBN 978-3-11-067485-9.
