Colinealidad

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En geometría , la colinealidad de un conjunto de puntos es la propiedad de que se encuentren sobre una misma línea . ^[1] Se dice que un conjunto de puntos con esta propiedad es colineal (a veces escrito como colineal ^[2] ). En términos más generales, el término se ha utilizado para objetos alineados, es decir, cosas que están "en una línea" o "en una fila".

Puntos en una línea

En cualquier geometría, se dice que el conjunto de puntos de una línea es colineal . En la geometría euclidiana, esta relación se visualiza intuitivamente mediante puntos que se encuentran en una fila sobre una "línea recta". Sin embargo, en la mayoría de las geometrías (incluida la euclidiana), una línea es típicamente un tipo de objeto primitivo (indefinido) , por lo que tales visualizaciones no serán necesariamente apropiadas. Un modelo para la geometría ofrece una interpretación de cómo los puntos, líneas y otros tipos de objetos se relacionan entre sí y una noción como la colinealidad debe interpretarse dentro del contexto de ese modelo. Por ejemplo, en la geometría esférica , donde las líneas se representan en el modelo estándar por círculos máximos de una esfera, los conjuntos de puntos colineales se encuentran en el mismo círculo máximo. Dichos puntos no se encuentran en una "línea recta" en el sentido euclidiano, y no se piensa que estén en una fila .

Una aplicación de una geometría a sí misma que envía líneas a líneas se llama colineación ; conserva la propiedad de colinealidad. Las aplicaciones lineales (o funciones lineales) de espacios vectoriales , vistas como aplicaciones geométricas, asignan líneas a líneas; es decir, asignan conjuntos de puntos colineales a conjuntos de puntos colineales y, por lo tanto, son colineaciones. En geometría proyectiva, estas aplicaciones lineales se llaman homografías y son solo un tipo de colineación.

Ejemplos de geometría euclidiana

Triángulos

En cualquier triángulo los siguientes conjuntos de puntos son colineales:

El ortocentro , el circuncentro , el centroide , el punto Exeter , el punto de Longchamps y el centro del círculo de nueve puntos son colineales y todos caen sobre una línea llamada línea de Euler .
El punto de Longchamps también tiene otras colineales .
Cualquier vértice, la tangencia del lado opuesto con un círculo extraído y el punto de Nagel son colineales en una línea llamada divisor del triángulo.
El punto medio de cualquier lado, el punto que es equidistante de él a lo largo del límite del triángulo en cualquier dirección (de modo que estos dos puntos bisecan el perímetro ) y el centro del círculo de Spieker son colineales en una línea llamada hendidura del triángulo. (El círculo de Spieker es el incírculo del triángulo medial y su centro es el centro de masa del perímetro del triángulo).
Cualquier vértice, la tangencia del lado opuesto con el círculo inscrito y el punto de Gergonne son colineales.
Desde cualquier punto del círculo circunscrito de un triángulo, los puntos más cercanos en cada uno de los tres lados extendidos del triángulo son colineales en la línea de Simson del punto del círculo circunscrito.
Las líneas que unen los pies de las alturas intersecan los lados opuestos en puntos colineales. ^[3]^{: p.199}
El incentro de un triángulo , el punto medio de una altura y el punto de contacto del lado correspondiente con el círculo extraído relativo a ese lado son colineales. ^[4]^{: p.120, #78}
El teorema de Menelao establece que tres puntos de los lados (algunos extendidos ) de un triángulo opuestos a sus vértices respectivamente son colineales si y sólo si los siguientes productos de longitudes de segmentos son iguales: ^[3]^{: p. 147} $P_{1},P_{2},P_{3}$ $Estilo de visualización A_{1},A_{2},A_{3}$

P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.

El incentro, el centroide y el centro del círculo de Spieker son colineales.
El circuncentro, el punto medio de Brocard y el punto de Lemoine de un triángulo son colineales. ^[5]
Dos líneas perpendiculares que se cortan en el ortocentro de un triángulo cortan cada uno de los lados extendidos del triángulo . Los puntos medios en los tres lados de estos puntos de intersección son colineales en la línea Droz-Farny .

Cuadriláteros

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ cuyos lados opuestos se cortan en $E$ y $F$ , los puntos medios de $AC, BD y EF$ son colineales y la línea que los pasa se llama línea de Newton . Si el cuadrilátero es tangencial , entonces su incentro también se encuentra en esta línea. ^[6]
En un cuadrilátero convexo, el cuasiortocentro $H$ , el "centroide del área" $G$ y el cuasicirconcentro $O$ son colineales en este orden, y $HG = 2 GO$ . ^[7] (Ver Cuadrilátero#Puntos y líneas notables en un cuadrilátero convexo ).

Otras colineales de un cuadrilátero tangencial se dan en Cuadrilátero tangencial#Puntos colineales .
En un cuadrilátero cíclico , el circuncentro , el centroide del vértice (la intersección de los dos bimedianos) y el anticentro son colineales. ^[8]
En un cuadrilátero cíclico, el centroide del área , el centroide del vértice y la intersección de las diagonales son colineales. ^[9]
En un trapezoide tangencial , las tangencias del círculo inscrito con las dos bases son colineales con el incentro.
En un trapezoide tangencial, los puntos medios de los catetos son colineales con el incentro.

Hexágonos

El teorema de Pascal (también conocido como el teorema del Hexagrammum Mysticum) establece que si se eligen seis puntos arbitrarios en una sección cónica (es decir, elipse , parábola o hipérbola ) y se unen mediante segmentos de línea en cualquier orden para formar un hexágono , entonces los tres pares de lados opuestos del hexágono (extendidos si es necesario) se encuentran en tres puntos que se encuentran en una línea recta, llamada línea de Pascal del hexágono. Lo inverso también es cierto: el teorema de Braikenridge-Maclaurin establece que si los tres puntos de intersección de los tres pares de líneas que pasan por lados opuestos de un hexágono se encuentran en una línea, entonces los seis vértices del hexágono se encuentran en una cónica, que puede ser degenerada como en el teorema del hexágono de Pappus .

Secciones cónicas

Según el teorema de Monge , para tres círculos cualesquiera en un plano, ninguno de los cuales está completamente dentro de uno de los otros, los tres puntos de intersección de los tres pares de líneas, cada una externamente tangente a dos de los círculos, son colineales.
En una elipse , el centro, los dos focos y los dos vértices con el menor radio de curvatura son colineales, y el centro y los dos vértices con el mayor radio de curvatura son colineales.
En una hipérbola , el centro, los dos focos y los dos vértices son colineales.

Conos

El centro de masa de un sólido cónico de densidad uniforme se encuentra a un cuarto del camino desde el centro de la base hasta el vértice, en la línea recta que une ambos.

Tetraedros

El baricentro de un tetraedro es el punto medio entre su punto Monge y su circuncentro . Estos puntos definen la línea de Euler del tetraedro, que es análoga a la línea de Euler de un triángulo. El centro de la esfera de doce puntos del tetraedro también se encuentra en la línea de Euler.

Álgebra

Colinealidad de puntos cuyas coordenadas están dadas

En geometría de coordenadas , en un espacio $n$ -dimensional, un conjunto de tres o más puntos distintos son colineales si y solo si, la matriz de las coordenadas de estos vectores es de rango 1 o menor. Por ejemplo, dados tres puntos

{\begin{aligned}X&=(x_{1},\ x_{2},\ \puntos ,\ x_{n}),\\Y&=(y_{1},\ y_{2},\ \puntos ,\ y_{n}),\\Z&=(z_{1},\ z_{2},\ \puntos ,\ z_{n}),\end{aligned}}

Si la matriz

{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\puntos &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&\puntos &y_{n}\\z_{1}&z_{2}&\puntos &z_{n}\end{bmatrix}}

es de rango 1 o menos, los puntos son colineales.

De manera equivalente, para cada subconjunto de $X, Y, Z$ , si la matriz

{\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\puntos &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\puntos &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\puntos &z_{n}\end{bmatrix}}

es de rango 2 o menos, los puntos son colineales. En particular, para tres puntos en el plano ( $n = 2$ ), la matriz anterior es cuadrada y los puntos son colineales si y solo si su determinante es cero; dado que ese determinante 3 × 3 es más o menos el doble del área de un triángulo con esos tres puntos como vértices, esto es equivalente a la afirmación de que los tres puntos son colineales si y solo si el triángulo con esos puntos como vértices tiene área cero.

Colinealidad de puntos cuyas distancias por pares están dadas

Un conjunto de al menos tres puntos distintos se denomina recto , lo que significa que todos los puntos son colineales, si y solo si, para cada tres de esos puntos $A, B, C$ , el siguiente determinante de un determinante de Cayley-Menger es cero (siendo $d (AB)$ la distancia entre $A$ y $B$ , etc.):

\det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d (AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.

Este determinante es, según la fórmula de Herón , igual a -16 veces el cuadrado del área de un triángulo con lados de longitud $d (AB), d (BC), d (AC)$ ; por lo que comprobar si este determinante es igual a cero es equivalente a comprobar si el triángulo con vértices $A, B, C$ tiene área cero (por lo que los vértices son colineales).

De manera equivalente, un conjunto de al menos tres puntos distintos son colineales si y solo si, para cada tres de esos puntos $A, B, C$ con $d (AC)$ mayor o igual que cada uno de $d (AB)$ y $d (BC)$ , la desigualdad triangular $d (AC) \leq d (AB) + d (BC)$ se cumple con igualdad.

Teoría de números

Dos números $m$ y $n$ no son coprimos —es decir, comparten un factor común distinto de 1— si y solo si para un rectángulo trazado en una red cuadrada con vértices en $(0, 0), (m, 0), (m, n), (0, n)$ , al menos un punto interior es colineal con $(0, 0)$ y $(m, n)$ .

Concurrencia (plano dual)

En diversas geometrías planas, la noción de intercambiar los papeles de "puntos" y "líneas" preservando la relación entre ellos se denomina dualidad plana . Dado un conjunto de puntos colineales, por dualidad plana obtenemos un conjunto de líneas que se encuentran todas en un punto común. La propiedad que tiene este conjunto de líneas (encontrarse en un punto común) se denomina concurrencia , y se dice que las líneas son líneas concurrentes . Por lo tanto, la concurrencia es la noción dual plana de colinealidad.

Gráfico de colinealidad

Dada una geometría parcial $P$ , donde dos puntos determinan como máximo una línea, un gráfico de colinealidad de $P$ es un gráfico cuyos vértices son los puntos de $P$ , donde dos vértices son adyacentes si y solo si determinan una línea en $P$ .

Uso en estadística y econometría

En estadística , la colinealidad se refiere a una relación lineal entre dos variables explicativas . Dos variables son perfectamente colineales si existe una relación lineal exacta entre las dos, por lo que la correlación entre ellas es igual a 1 o −1. Es decir, $X 1$ y $X 2$ son perfectamente colineales si existen parámetros y tales que, para todas las observaciones $i$ , tenemos $\lambda _{0}$ $\lambda _{1}$

X_{2i}=\lambda_{0}+\lambda_{1}X_{1i}.

Esto significa que si las distintas observaciones $(X 1 i, X 2 i)$ se grafican en el plano $(X 1, X 2)$ , estos puntos son colineales en el sentido definido anteriormente en este artículo.

La multicolinealidad perfecta se refiere a una situación en la que $k (k \geq 2)$ variables explicativas en un modelo de regresión múltiple están perfectamente relacionadas linealmente, según

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\puntos +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}

para todas las observaciones $i$ . En la práctica, rara vez nos enfrentamos a una multicolinealidad perfecta en un conjunto de datos. Más comúnmente, el problema de la multicolinealidad surge cuando existe una "fuerte relación lineal" entre dos o más variables independientes, lo que significa que

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\puntos +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}+\varepsilon _{i}

donde la varianza de es relativamente pequeña. $\varepsilon _ {i}$

El concepto de colinealidad lateral amplía esta visión tradicional y se refiere a la colinealidad entre variables explicativas y variables de criterio (es decir, explicadas). ^[10]

Uso en otras áreas

Conjuntos de antenas

Un mástil de antena con cuatro conjuntos direccionales colineales.

En telecomunicaciones , un conjunto de antenas colineales (o co-lineales) es un conjunto de antenas dipolo montadas de tal manera que los elementos correspondientes de cada antena son paralelos y alineados, es decir, están ubicados a lo largo de una línea o eje común.

Fotografía

Las ecuaciones de colinealidad son un conjunto de dos ecuaciones, utilizadas en fotogrametría y visión estereoscópica por computadora , para relacionar las coordenadas en un plano de imagen ( sensor ) (en dos dimensiones) con las coordenadas de un objeto (en tres dimensiones). En el ámbito de la fotografía, las ecuaciones se derivan considerando la proyección central de un punto del objeto a través del centro óptico de la cámara hacia la imagen en el plano de la imagen (sensor). Los tres puntos, punto del objeto, punto de la imagen y centro óptico, son siempre colineales. Otra forma de decir esto es que los segmentos de línea que unen los puntos del objeto con sus puntos de la imagen son todos concurrentes en el centro óptico. ^[11]

Véase también

Notas

^ El concepto se aplica en cualquier geometría Dembowski (1968, pág. 26), pero a menudo sólo se define dentro de la discusión de una geometría específica Coxeter (1969, pág. 178), Brannan, Esplen y Gray (1998, pág. 106)
^ Colineal (diccionario Merriam-Webster)
^ ab Johnson, Roger A., Geometría euclidiana avanzada , Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
^ Altshiller Court, Nathan . Geometría universitaria, 2.ª ed. Barnes & Noble, 1952 [1.ª ed., 1925].
^ Scott, JA "Algunos ejemplos del uso de coordenadas de área en geometría de triángulos", Mathematical Gazette 83, noviembre de 1999, 472–477.
^ Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, Compendio de la OMI , Springer, 2006, pág. 15.
^ Myakishev, Alexei (2006), "Sobre dos líneas notables relacionadas con un cuadrilátero" (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295.
^ Honsberger, Ross (1995), "4.2 Cuadriláteros cíclicos", Episodios en la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX , New Mathematical Library, vol. 37, Cambridge University Press, págs. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
^ Bradley, Christopher (2011), Tres centroides creados por un cuadrilátero cíclico (PDF)
^ Kock, N.; Lynn, GS (2012). "Colinealidad lateral y resultados engañosos en SEM basado en varianza: una ilustración y recomendaciones" (PDF) . Revista de la Asociación de Sistemas de Información . 13 (7): 546–580. doi :10.17705/1jais.00302. S2CID 3677154.
^ Es matemáticamente más natural referirse a estas ecuaciones como ecuaciones de concurrencia , pero la literatura sobre fotogrametría no utiliza esa terminología.

Referencias

Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), Geometría , Cambridge University Press, ISBN 0-521-59787-0
Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría , Nueva York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50458-0
Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , vol. 44, Berlín: Springer, ISBN 3-540-61786-8, Sr. 0233275