El punto de Longchamps

Ortocentro del triángulo anticomplementario de un triángulo

El punto de Longchamps L del triángulo △ ABC , formado como la reflexión del ortocentro H alrededor del circuncentro O o como el ortocentro del triángulo anticomplementario △ A'B'C'

En geometría , el punto de Longchamps de un triángulo es el centro del triángulo que recibe su nombre del matemático francés Gaston Albert Gohierre de Longchamps . Es la reflexión del ortocentro del triángulo respecto del circuncentro . ^[1]

Definición

Sea el triángulo dado con vértices , , y , opuestos a los lados respectivos , , y , como es la notación estándar en geometría de triángulos. En el artículo de 1886 en el que introdujo este punto, de Longchamps lo definió inicialmente como el centro de un círculo ortogonal a los tres círculos , , y , donde está centrado en con radio y los otros dos círculos están definidos simétricamente. De Longchamps luego también demostró que el mismo punto, ahora conocido como el punto de de Longchamps, puede definirse de manera equivalente como el ortocentro del triángulo anticomplementario de , y que es la reflexión del ortocentro de alrededor del circuncentro. ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta _{a}}$ ${\displaystyle \Delta _{b}}$ ${\displaystyle \Delta _{c}}$ ${\displaystyle \Delta _{a}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle ABC}$

El círculo de Steiner de un triángulo es concéntrico con el círculo de nueve puntos y tiene un radio de 3/2 del radio circunscrito del triángulo; el punto de Longchamps es el centro homotético del círculo de Steiner y del círculo circunscrito. ^[3]

Propiedades adicionales

Como reflexión del ortocentro alrededor del circuncentro, el punto de Longchamps pertenece a la línea que pasa por ambos puntos, que es la línea de Euler del triángulo dado. Por lo tanto, es colineal con todos los demás centros del triángulo en la línea de Euler, que junto con el ortocentro y el circuncentro incluyen el baricentro y el centro del círculo de nueve puntos . ^{[1] [3] [4]}

El punto de Longchamp también es colineal, a lo largo de una línea diferente, con el incentro y el punto de Gergonne de su triángulo. ^{[1] [5]} Los tres círculos centrados en , , y , con radios , , y respectivamente (donde es el semiperímetro ) son mutuamente tangentes, y hay dos círculos más tangentes a los tres, los círculos Soddy interno y externo; los centros de estos dos círculos también se encuentran en la misma línea con el punto de Longchamp y el incentro. ^{[1] [3]} El punto de Longchamp es el punto de coincidencia de esta línea con la línea de Euler, y con otras tres líneas definidas de manera similar a la línea que pasa por el incentro pero utilizando en su lugar los tres excentros del triángulo. ^{[3] [5]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s-a}$ ${\displaystyle s-b}$ ${\displaystyle s-c}$ ${\displaystyle s}$

La cúbica de Darboux puede definirse a partir del punto de Longchamps como el lugar geométrico de los puntos tales que , el conjugado isogonal de , y el punto de Longchamps son colineales. Es la única curva cúbica invariante de un triángulo que es a la vez isogonalmente autoconjugada y centralmente simétrica; su centro de simetría es el circuncentro del triángulo. ^[6] El punto de Longchamps se encuentra en esta curva, al igual que su reflexión, el ortocentro. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Referencias

1. Kimberling, Clark , "X(20) = punto de Longchamps", Enciclopedia de centros de triángulos.
2. de Longchamps, G. (1886), "Sur un nouveau cercle remarquable du plan du Triangle", Journal de Mathématiques spéciales , 2. Sér. (en francés), 5 : 57–60. Véase especialmente la sección 4, "détermination du centre de Δ", págs. 58 y 59.
3. Vandeghen, A. (1964), "Notas matemáticas: los círculos de Soddy y el punto De Longchamps de un triángulo", The American Mathematical Monthly , 71 (2): 176–179, doi :10.2307/2311750, JSTOR  2311750, MR  1532529.
4. Coxeter, HSM (1995), "Algunas aplicaciones de coordenadas trilineales", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 226/228: 375–388, doi : 10.1016/0024-3795(95)00169-R , MR  1344576. Véase en particular la Sección 5, "Seis puntos notables en la línea de Euler", págs. 380-383.
5. Longuet-Higgins, Michael (2000), "Un punto de concurrencia cuádruple que se encuentra en la línea de Euler de un triángulo", The Mathematical Intelligencer , 22 (1): 54–59, doi :10.1007/BF03024448, MR  1745563, S2CID  123022896.
6. Gibert, Bernard, "K004 Darboux cubic = pK(X6,X20)", Cúbicas en el plano del triángulo , consultado el 6 de septiembre de 2012.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Punto de Longchamps". MathWorld .