En la teoría de conjuntos musicales , un vector de intervalos es una matriz de números naturales que resumen los intervalos presentes en un conjunto de clases de tonos (es decir, un conjunto de tonos donde no se tienen en cuenta las octavas ). Otros nombres incluyen: vector ic (o vector de clase de intervalo), vector PIC (o vector de intervalo de clase de tono) y vector APIC (o vector de intervalo de clase de tono absoluto, que Michiel Schuijer afirma que es más apropiado). [1] : 48
Aunque son principalmente una herramienta analítica, los vectores de intervalos también pueden ser útiles para los compositores, ya que muestran rápidamente las cualidades del sonido que crean diferentes conjuntos de clases de tono. Es decir, los conjuntos con altas concentraciones de intervalos convencionalmente disonantes (es decir, segundas y séptimas) suenan más disonantes, mientras que los conjuntos con un mayor número de intervalos convencionalmente consonantes (es decir, terceras y sextas) suenan más consonantes . Si bien la percepción real de la consonancia y la disonancia involucra muchos factores contextuales, como el registro , un vector de intervalos puede ser, no obstante, una herramienta útil.
En el temperamento igual de doce tonos , un vector de intervalo tiene seis dígitos, y cada dígito representa el número de veces que aparece una clase de intervalo en el conjunto. Debido a que se utilizan clases de intervalo, el vector de intervalo para un conjunto determinado permanece igual, independientemente de la permutación o la disposición vertical del conjunto. Las clases de intervalo designadas por cada dígito ascienden de izquierda a derecha. Es decir:
Se omite la clase de intervalo 0, que representa unísonos y octavas.
En su libro de 1960, The Harmonic Materials of Modern Music , Howard Hanson introdujo un método monomial de notación para este concepto, al que denominó contenido interválico : p e m d n c .s b d a t f para lo que ahora se escribiría ⟨ abcdef ⟩ . [2] [nota 1] La notación moderna, introducida por Donald Martino en 1961, tiene ventajas considerables [ especificar ] y es extensible a cualquier división igual de la octava . [3] Allen Forte en su obra de 1973 The Structure of Atonal Music anotó el vector de intervalo usando corchetes, citando a Martino; [4] : 15 autores posteriores, por ejemplo John Rahn , usan corchetes angulares. [5] : 100
Se dice que una escala cuyo vector de intervalo tiene seis dígitos únicos tiene la propiedad de escala profunda . La escala mayor y sus modos tienen esta propiedad.
Para un ejemplo práctico, el vector de intervalo para una tríada de C mayor ( 3-11B ) en la posición fundamental, {CEG} ( ), es ⟨001110⟩ . Esto significa que el conjunto tiene una tercera mayor o sexta menor (es decir, de C a E, o de E a C), una tercera menor o sexta mayor (es decir, de E a G, o de G a E), y una quinta perfecta o cuarta perfecta (es decir, de C a G, o de G a C). Como el vector de intervalo no cambia con la transposición o inversión, pertenece a toda la clase de conjunto , lo que significa que ⟨001110⟩ es el vector de todas las tríadas mayores (y menores). Algunos vectores de intervalo corresponden a más de un conjunto que no se puede transponer o invertir para producir el otro. (Estos se denominan conjuntos relacionados con Z, explicados a continuación).
Para un conjunto de n clases de tono, la suma de todos los números en el vector de intervalo del conjunto es igual al número triangular T n −1 = n ×( n −1)/2 .
Una forma expandida del vector de intervalo también se utiliza en la teoría de la transformación , como se establece en Generalized Musical Intervals and Transformations de David Lewin . [ cita completa necesaria ]
En la teoría de conjuntos musicales, una relación Z , también llamada relación isomérica , es una relación entre dos conjuntos de clases de tonos en la que los dos conjuntos tienen el mismo contenido interválico (y por lo tanto el mismo vector de intervalo) pero no están relacionados transposicionalmente (son de diferente tipo T n ) o inversamente (son de diferente tipo T n /T n I). [1] : 99 Por ejemplo, los dos conjuntos 4-z15A {0,1,4,6} y 4-z29A {0,1,3,7} tienen el mismo vector de intervalo ⟨111111⟩ pero uno no puede transponer y/o invertir un conjunto sobre el otro.
En el caso de los hexacordios, cada uno puede denominarse hexacordio Z. Cualquier hexacordio que no sea del tipo "Z" es su propio complemento , mientras que el complemento de un hexacordio Z es su correspondiente Z, por ejemplo, 6-Z3 y 6-Z36. [4] : 79 Véase: 6-Z44 , 6-Z17 , 6-Z11 y Número de Forte .
El símbolo "Z", que significa " cigótico " (del griego, que significa emparejado o unido , como la fusión de dos células reproductivas), [1] : 98 se originó con Allen Forte en 1964, pero la noción parece haber sido considerada por primera vez por Howard Hanson. Hanson llamó a esto la relación isomérica y definió dos conjuntos de este tipo como isoméricos . [2] : 22 Véase: isómero .
Según Michiel Schuijer (2008), el teorema del hexacordo , que establece que dos hexacordos complementarios de clase tonal tienen el mismo vector de intervalo, incluso si no son equivalentes bajo transposición e inversión, fue propuesto por primera vez por Milton Babbitt , y, "el descubrimiento de la relación", fue "reportado" por David Lewin en 1960 como un ejemplo del teorema del complemento : que la diferencia entre intervalos de clase tonal en dos conjuntos de clase tonal complementarios es igual a la diferencia entre el número cardinal de los conjuntos (dados dos hexacordos, esta diferencia es 0). [1] : 96–7 [6] Las pruebas matemáticas del teorema del hexacordo fueron publicadas por Kassler (1961), Regener (1974) y Wilcox (1983). [1] : 96–7
Aunque se observa comúnmente que los conjuntos relacionados con Z siempre ocurren en pares, David Lewin notó que esto es resultado del temperamento igual de doce tonos (12-ET). [ cita requerida ] En 16-ET, los conjuntos relacionados con Z se encuentran como tripletes. El estudiante de Lewin, Jonathan Wild, continuó este trabajo para otros sistemas de afinación, encontrando tresillos relacionados con Z con hasta 16 miembros en sistemas ET más altos. [ cita requerida ]
La relación de equivalencia de «tener el mismo contenido de intervalo», que permite el caso isométrico trivial, se estudió inicialmente en cristalografía y se conoce como homometría . Por ejemplo, el teorema del complemento es conocido por los físicos como el principio de Babinet . Para una encuesta reciente, consulte. [7]
Straus sostiene que "[los conjuntos] en la relación Z sonarán similares porque tienen el mismo contenido de intervalos", [8] [1] : 125, lo que ha llevado a ciertos compositores a explotar la relación Z en su trabajo. Por ejemplo, el juego entre {0,1,4,6} y {0,1,3,7} es claro en el Segundo Cuarteto de Cuerdas de Elliott Carter . [ cita requerida ]
Algunos acordes relacionados con Z están conectados por M o IM ( multiplicación por 5 o multiplicación por 7), debido a entradas idénticas para 1 y 5 en el vector de intervalo. [1] : 83, 110