número triangular

número figurado

Los primeros seis números triangulares (que no comienzan con T ₀ )

Trama de números triangulares

Un número triangular o número triangular cuenta objetos dispuestos en un triángulo equilátero . Los números triangulares son un tipo de número figurado , otros ejemplos son los números cuadrados y los números cúbicos . El n.ésimo número triangular es el número de puntos en la disposición triangular con n puntos en cada lado y es igual a la suma de los n números naturales del 1 al n . La secuencia de números triangulares, comenzando con el número triangular 0 , es

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

(secuencia A000217 en la OEIS )

Fórmula

Derivación de números triangulares a partir de un triángulo de Pascal justificado a la izquierda .

  Números naturales

  Números triangulares

  Números tetraédricos

  Números de pentatopo

  números 5 simples

  números 6 simples

  7 números simples

Los números triangulares vienen dados por las siguientes fórmulas explícitas:

$${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n}{2}}={n+1 \choose 2},}$$

coeficiente binomialn + 1n ${\displaystyle \textstyle {n+1 \choose 2}}$

La primera ecuación se puede ilustrar mediante una prueba visual . ^[1] Para cada número triangular , imagine una disposición de objetos en forma de "medio rectángulo" correspondiente al número triangular, como se muestra en la siguiente figura. Copiar esta disposición y rotarla para crear una figura rectangular duplica la cantidad de objetos, produciendo un rectángulo con dimensiones , que también es la cantidad de objetos en el rectángulo. Claramente, el número triangular en sí es siempre exactamente la mitad del número de objetos en dicha figura, o: . El ejemplo siguiente: ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle n\times (n+1)}$ ${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle T_{4}}$

${\displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20}$(verde más amarillo) implica que (verde).    ${\displaystyle T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10}$

Esta fórmula se puede probar formalmente mediante inducción matemática . ^[2] Es claramente cierto para : ${\displaystyle 1}$

$${\displaystyle T_{1}=\sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.}$$

Ahora supongamos que, para algún número natural , . Sumando a esto se obtiene ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T_{m}=\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}}$ ${\displaystyle m+1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m(m+1)+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+m+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}},\end{aligned}}}$$

entonces, si la fórmula es verdadera para , también lo es para . Dado que es claramente cierto para , también lo es para , y, en última instancia, para todos los números naturales por inducción. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n}$

Se dice que el matemático y científico alemán Carl Friedrich Gauss encontró esta relación en su temprana juventud, multiplicandonorte/2pares de números en la suma por los valores de cada par n + 1 . ^[3] Sin embargo, independientemente de la veracidad de esta historia, Gauss no fue el primero en descubrir esta fórmula, y algunos consideran probable que su origen se remonta a los pitagóricos en el siglo V a.C. ^[4] Las dos fórmulas fueron descritas por el monje irlandés Dicuil alrededor del año 816 en su Computus . ^[5] Está disponible una traducción al inglés del relato de Dicuil. ^[6]

El número triangular T _n resuelve el problema del apretón de manos de contar el número de apretones de manos si cada persona en una habitación con n + 1 personas le da la mano una vez a cada persona. En otras palabras, la solución al problema del apretón de manos de n personas es T _{n −1} . ^[7] La ​​función T es el análogo aditivo de la función factorial , que son los productos de números enteros del 1 al  n .

Esta misma función fue acuñada como " función termial " ^[8] por The Art of Computer Programming de Donald Knuth y denotada por n? (análogo de la notación factorial n! )

Por ejemplo, 10 termial equivale a:

$${\displaystyle 10?=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55}$$

que por supuesto, corresponde al décimo número triangular .

El número de segmentos de línea entre los pares de puntos más cercanos en el triángulo se puede representar en términos del número de puntos o con una relación de recurrencia :

$${\displaystyle L_{n}=3T_{n-1}=3{n \choose 2};~~~L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.}$$

En el límite , la relación entre los dos números, puntos y segmentos de línea es

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{L_{n}}}={\frac {1}{3}}.}$$

Relaciones con otros números figurados

Los números triangulares tienen una amplia variedad de relaciones con otros números figurados.

En pocas palabras, la suma de dos números triangulares consecutivos es un número cuadrado, siendo la suma el cuadrado de la diferencia entre los dos (y, por tanto, la diferencia de los dos es la raíz cuadrada de la suma). Algebraicamente,

$${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}$$

Este hecho se puede demostrar gráficamente colocando los triángulos en direcciones opuestas para crear un cuadrado:

6 + 10 = 16         10 + 15 = 25    

El doble de un número triangular, como en la prueba visual de la sección anterior § Fórmula, se llama número pronico .

Hay infinitos números triangulares que también son números cuadrados; por ejemplo, 1, 36, 1225. Algunos de ellos pueden generarse mediante una fórmula recursiva simple:

$${\displaystyle S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)}$$

${\displaystyle S_{1}=1.}$

Todos los números triangulares cuadrados se encuentran a partir de la recursividad.

$${\displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}$$

${\displaystyle S_{0}=0}$ ${\displaystyle S_{1}=1.}$

Un cuadrado cuya longitud de lado es un número triangular se puede dividir en cuadrados y semicuadrados cuyas áreas se suman a cubos. Esto muestra que el cuadrado del n -ésimo número triangular es igual a la suma de los primeros n números cúbicos.

Además, el cuadrado del n- ésimo número triangular es igual a la suma de los cubos de los números enteros del 1 al n . Esto también se puede expresar como

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$$

La suma de los primeros n números triangulares es el enésimo número tetraédrico :

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}$$

De manera más general, la diferencia entre el n º m -número gonal y el n º ( m + 1) -número gonal es el ( n − 1) ésimo número triangular. Por ejemplo, el sexto número heptagonal (81) menos el sexto número hexagonal (66) es igual al quinto número triangular, 15. Cualquier otro número triangular es un número hexagonal. Conociendo los números triangulares, se puede calcular cualquier número poligonal centrado ; el n -ésimo número k -gonal centrado se obtiene mediante la fórmula

$${\displaystyle Ck_{n}=kT_{n-1}+1}$$

donde T es un número triangular.

La diferencia positiva de dos números triangulares es un número trapezoidal .

El patrón encontrado para números triangulares y para números tetraédricos que utilizan coeficientes binomiales se puede generalizar. Esto lleva a la fórmula: ^[9] ${\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}$ ${\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}},}$

$${\displaystyle \sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\dots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}}$$

El cuarto número triangular es igual al tercer número tetraédrico ya que el n ésimo k -símplex es igual al k n -símplex debido a la simetría del triángulo de Pascal , y sus diagonales son números símplex; de manera similar, el quinto número triangular (15) es igual al tercer número pentatopo , y así sucesivamente

Otras propiedades

Los números triangulares corresponden al caso de primer grado de la fórmula de Faulhaber .

Los números triangulares alternos (1, 6, 15, 28,...) también son números hexagonales.

Todo número par perfecto es triangular (además de hexagonal), dado por la fórmula

$${\displaystyle M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=T_{M_{p}}}$$

Mpprimo de _Mersenne

Por ejemplo, el tercer número triangular es (3 × 2 =) 6, el séptimo es (7 × 4 =) 28, el 31 es (31 × 16 =) 496 y el 127 es (127 × 64 =) 8128.

El último dígito de un número triangular es 0, 1, 3, 5, 6 u 8 y, por lo tanto, dichos números nunca terminan en 2, 4, 7 o 9. Un 3 final debe ir precedido de un 0 o 5; un 8 final debe ir precedido de un 2 o un 7.

En base 10 , la raíz digital de un número triangular distinto de cero es siempre 1, 3, 6 o 9. Por lo tanto, cada número triangular es divisible por tres o tiene un resto de 1 cuando se divide por 9:

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

...

El patrón de raíz digital de los números triangulares, que se repite cada nueve términos, como se muestra arriba, es "1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9".

Sin embargo, lo contrario de la afirmación anterior no siempre es cierto. Por ejemplo, la raíz digital de 12, que no es un número triangular, es 3 y divisible por tres.

Si x es un número triangular, entonces ax + b también es un número triangular, dado que a es un cuadrado impar y b =un - 1/8. Tenga en cuenta que b siempre será un número triangular, porque 8 T _n + 1 = (2 n + 1) ² , que produce todos los cuadrados impares, se revela multiplicando un número triangular por 8 y sumando 1, y el proceso para b dado a es un cuadrado impar es la inversa de esta operación. Los primeros pares de esta forma (sin contar 1 x + 0 ) son: 9 x + 1 , 25 x + 3 , 49 x + 6 , 81 x + 10 , 121 x + 15 , 169 x + 21 , ... etc. Dado que x es igual a T _n , estas fórmulas producen T _{3 n + 1} , T _{5 n + 2} , T _{7 n + 3} , T _{9 n + 4} , y así sucesivamente.

La suma de los recíprocos de todos los números triangulares distintos de cero es

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}+n}}=2.}$$

Esto se puede demostrar utilizando la suma básica de una serie telescópica :

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n(n+1)}}=1.}$$

Otras dos fórmulas relativas a números triangulares son

$${\displaystyle T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab}$$

$${\displaystyle T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},}$$

En 1796, Gauss descubrió que todo número entero positivo es representable como una suma de tres números triangulares (posiblemente incluyendo T ₀ = 0), escribiendo en su diario sus famosas palabras, " ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ". Este teorema no implica que los números triangulares sean diferentes (como en el caso de 20 = 10 + 10 + 0), ni que deba existir una solución con exactamente tres números triangulares distintos de cero. Este es un caso especial del teorema de los números poligonales de Fermat .

El número triangular más grande de la forma 2 ^k − 1 es 4095 (ver ecuación de Ramanujan-Nagell ).

Wacław Franciszek Sierpiński planteó la cuestión de la existencia de cuatro números triangulares distintos en progresión geométrica . El matemático polaco Kazimierz Szymiczek conjeturó que era imposible y luego Fang y Chen lo demostraron en 2007. ^{[10] [11]}

Las fórmulas que implican expresar un número entero como la suma de números triangulares están relacionadas con funciones theta , en particular la función theta de Ramanujan . ^{[12] [13]}

Aplicaciones

El número máximo de piezas, p, que se pueden obtener con n cortes rectos es el n -ésimo número triangular más uno, formando la secuencia del catering perezoso (OEIS A000124)

Una red completamente conectada de n dispositivos informáticos requiere la presencia de T _{n − 1} cables u otras conexiones; esto es equivalente al problema del apretón de manos mencionado anteriormente.

En un formato de torneo que utiliza una fase de grupos de todos contra todos , el número de partidos que deben jugarse entre n equipos es igual al número triangular T _{n − 1} . Por ejemplo, una fase de grupos con 4 equipos requiere 6 partidos y una fase de grupos con 8 equipos requiere 28 partidos. Esto también es equivalente al problema del protocolo de enlace y al problema de la red completamente conectada.

Una forma de calcular la depreciación de un activo es el método de la suma de dígitos de años , que implica encontrar T _n , donde n es la duración en años de la vida útil del activo. Cada año, el artículo pierde ( b − s ) ×norte - y/tn_​, donde b es el valor inicial del artículo (en unidades monetarias), s es su valor de rescate final, n es el número total de años que el artículo es utilizable e y el año actual en el programa de depreciación. Según este método, un artículo con una vida útil de n = 4 años perdería4/10de su valor "perdible" en el primer año,3/10en el segundo,2/10en el tercero, y1/10en el cuarto, acumulando una depreciación total de10/10(la totalidad) del valor perdible.

Los diseñadores de juegos de mesa Geoffrey Engelstein e Isaac Shalev describen que los números triangulares han alcanzado "casi el estatus de un mantra o koan entre los diseñadores de juegos ", describiéndolos como "profundamente intuitivos" y "presentados en una enorme cantidad de juegos, [demostrando] increíblemente versátiles". a proporcionar recompensas crecientes para conjuntos más grandes sin incentivar demasiado la especialización excluyendo todas las demás estrategias". ^[14]

Raíces triangulares y pruebas para números triangulares.

Por analogía con la raíz cuadrada de x , se puede definir la raíz triangular (positiva) de x como el número n tal que T _n = x : ^[15]

$${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}}$$

que se sigue inmediatamente de la fórmula cuadrática . Entonces un entero x es triangular si y sólo si 8 x + 1 es un cuadrado. De manera equivalente, si la raíz triangular positiva n de x es un número entero, entonces x es el enésimo número triangular. ^[15]

nombre alternativo

Como se dijo, un nombre alternativo propuesto por Donald Knuth , por analogía con los factoriales , es "termial", con la notación n ? para el n- ésimo número triangular. ^[16] Sin embargo, aunque algunas otras fuentes utilizan este nombre y notación, ^[17] no son de uso generalizado.

Ver también

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• Número doblemente triangular , número triangular cuya posición en la secuencia de números triangulares es también un número triangular
• Tetractys , disposición de diez puntos de un triángulo, importante en el pitagorismo

Referencias

1. "Secuencia numérica triangular". La matematica es divertida .
2. Spivak, Michael (2008). Cálculo (4ª ed.). Houston, Texas: Publicar o perecer. págs. 21-22. ISBN 978-0-914098-91-1.
3. Hayes, Brian. "El día del juicio final de Gauss". Científico americano . La ciencia de Computación. Archivado desde el original el 2 de abril de 2015 . Consultado el 16 de abril de 2014 .
4. Evas, Howard. "Página web cita UNA INTRODUCCIÓN A LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS". Central de matemáticas . Consultado el 28 de marzo de 2015 .
5. Esposito, M. Un tratado astronómico inédito del monje irlandés Dicuil. Actas de la Real Academia Irlandesa, XXXVI C. Dublín, 1907, 378-446.
6. Ross, HE & Knott, BI "Dicuil (siglo IX) sobre números triangulares y cuadrados". Revista Británica de Historia de las Matemáticas, 2019, 34 (2), 79-94. https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687.
7. "El problema del apretón de manos | Asociación Nacional de Círculos Matemáticos". MathCircles.org . Archivado desde el original el 10 de marzo de 2016 . Consultado el 12 de enero de 2022 .
8. Knuth, Donald. El arte de la programación informática . vol. 1 (3ª ed.). pag. 48.
9. Baumann, Michael Heinrich (12 de diciembre de 2018). "La pirámide de champán k-dimensional" (PDF) . Mathematische Semesterberichte (en alemán). 66 : 89-100. doi :10.1007/s00591-018-00236-x. ISSN  1432-1815. S2CID  125426184.
10. Chen, Fang: números triangulares en progresión geométrica
11. Fang: Inexistencia de una progresión geométrica que contenga cuatro números triangulares
12. Liu, Zhi-Guo (1 de diciembre de 2003). "Una identidad de Ramanujan y la representación de números enteros como sumas de números triangulares". El diario Ramanujan . 7 (4): 407–434. doi :10.1023/B:RAMA.0000012425.42327.ae. ISSN  1382-4090. S2CID  122221070.
13. Sol, Zhi-Hong (24 de enero de 2016). "Funciones theta de Ramanujan y sumas de números triangulares". arXiv : 1601.06378 [matemáticas.NT].
14. Engelstein, Geoffrey; Shalev, Isaac (25 de junio de 2019). Bloques de construcción del diseño de juegos de mesa. doi :10.1201/9780429430701. ISBN 978-0-429-43070-1. S2CID  198342061.
15. Euler, Leonhard ; Lagrange, Joseph Louis (1810), Elementos de álgebra , vol. 1 (2ª ed.), J. Johnson and Co., págs. 332–335
16. Donald E. Knuth (1997). El arte de la programación informática: Volumen 1: Algoritmos fundamentales . 3ª edición. Addison Wesley Longman, Estados Unidos pág. 48.
17. Stone, John David (2018), Algoritmos de programación funcional , Springer, p. 282, doi :10.1007/978-3-662-57970-1, ISBN 978-3-662-57968-8, S2CID  53079729

enlaces externos

• "Series aritméticas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Números triangulares al cortar el nudo
• Existen números triangulares que también son cuadrados al cortar el nudo.
• Weisstein, Eric W. "Número triangular". MundoMatemático .
• Raíces politópicas hipertetraédricas de Rob Hubbard, incluida la generalización a raíces cúbicas triangulares , algunas dimensiones superiores y algunas fórmulas aproximadas