Espacio de Eilenberg-MacLane

Espacio topológico con un solo grupo de homotopía no trivial

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , un espacio de Eilenberg-MacLane ^{[nota 1]} es un espacio topológico con un único grupo de homotopía no trivial .

Sea G un grupo y n un entero positivo . Un espacio topológico conexo X se denomina espacio de Eilenberg–MacLane de tipo , si tiene un n - ésimo grupo de homotopía isomorfo a G y todos los demás grupos de homotopía triviales . Suponiendo que G es abeliano en el caso de que , siempre existen espacios de Eilenberg–MacLane de tipo , y todos son homotopía débilmente equivalentes. Por lo tanto, se puede considerar que se hace referencia a una clase de espacios de equivalencia de homotopía débil. Es común referirse a cualquier representante como "un " o como "un modelo de ". Además, es común suponer que este espacio es un complejo CW (lo que siempre es posible mediante la aproximación CW ). ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$

El nombre deriva de Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane , quienes introdujeron dichos espacios a finales de la década de 1940.

Como tal, un espacio de Eilenberg–MacLane es un tipo especial de espacio topológico que en la teoría de homotopía puede considerarse como un bloque de construcción para complejos CW a través de fibraciones en un sistema de Postnikov . Estos espacios son importantes en muchos contextos en topología algebraica , incluidos los cálculos de grupos de homotopía de esferas, la definición de operaciones de cohomología y por tener una fuerte conexión con la cohomología singular .

Un espacio de Eilenberg-Maclane generalizado es un espacio que tiene el tipo de homotopía de un producto de espacios de Eilenberg-Maclane . ${\displaystyle \prod _{m}K(G_{m},m)}$

Ejemplos

• El círculo unitario es un . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$
• El espacio proyectivo complejo de dimensión infinita es un modelo de . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$
• El espacio proyectivo real de dimensión infinita es un . ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)}$
• La suma de cuña de k círculos unitarios es a , donde es el grupo libre en k generadores. ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{k}S^{1}}$ ${\displaystyle K(F_{k},1)}$ ${\displaystyle F_{k}}$
• El complemento de cualquier nudo o gráfico conexo en una esfera tridimensional es de tipo ; esto se llama " asfericidad de nudos" y es un teorema de 1957 de Christos Papakyriakopoulos . ^[1] ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle K(G,1)}$
• Cualquier variedad compacta , conexa y no positivamente curvada M es una , donde es el grupo fundamental de M . Esto es una consecuencia del teorema de Cartan-Hadamard . ${\displaystyle K(\Gamma ,1)}$ ${\displaystyle \Gamma =\pi _{1}(M)}$
• Un espacio de lentes infinito dado por el cociente de por la acción libre para es a . Esto se puede demostrar utilizando la teoría del espacio de recubrimiento y el hecho de que la esfera de dimensión infinita es contráctil . ^[2] Nótese que esto incluye como a . ${\displaystyle L(\infty ,q)}$ ${\displaystyle S^{\infty }}$ ${\displaystyle (z\mapsto e^{2\pi im/q}z)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} /q}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /q,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)}$
• El espacio de configuración de puntos en el plano es a , donde es el grupo trenzado puro en hebras. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K(P_{n},1)}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$
• En consecuencia, el n -ésimo espacio de configuración desordenada de es a , donde denota el grupo trenzado de n hebras . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle K(B_{n},1)}$ ${\displaystyle B_{n}}$
• El producto simétrico infinito de una n -esfera es a . De manera más general es a para todos los espacios de Moore . ${\displaystyle SP(S^{n})}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$ ${\displaystyle SP(M(G,n))}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle M(G,n)}$

Se pueden construir otros ejemplos elementales a partir de estos utilizando el hecho de que el producto es . Por ejemplo, el toro n -dimensional es un . ${\displaystyle K(G,n)\times K(H,n)}$ ${\displaystyle K(G\times H,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ^{n},1)}$

Construcción de espacios de Eilenberg-MacLane

Para y un grupo arbitrario la construcción de es idéntica a la del espacio de clasificación del grupo . Nótese que si G tiene un elemento de torsión, entonces todo complejo CW de tipo K(G,1) tiene que ser de dimensión infinita. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle G}$

Existen múltiples técnicas para construir espacios de Eilenberg-Maclane superiores. Una de ellas es construir un espacio de Moore para un grupo abeliano : tome la cuña de n - esferas , una para cada generador del grupo A y realice las relaciones entre estos generadores adjuntando (n+1) -celdas mediante las aplicaciones correspondientes en de dicha suma de cuña. Nótese que los grupos de homotopía inferiores ya son triviales por construcción. Ahora elimine iterativamente todos los grupos de homotopía superiores adjuntando sucesivamente celdas de dimensión mayor que , y defina como límite directo bajo la inclusión de esta iteración. ${\displaystyle M(A,n)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi _{n}(\bigvee S^{n})}$ ${\displaystyle \pi _{i<n}(M(A,n))}$ ${\displaystyle \pi _{i>n}(M(A,n))}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle K(A,n)}$

Otra técnica útil es utilizar la realización geométrica de grupos abelianos simpliciales . ^[4] Esto proporciona una presentación explícita de grupos abelianos simpliciales que representan espacios de Eilenberg-Maclane.

Otra construcción simplicial, en términos de clasificar espacios y fibrados universales , se da en el libro de J. Peter May . ^[5]

Dado que al tomar el espacio de bucle se reducen los grupos de homotopía en una ranura, tenemos una equivalencia de homotopía canónica , por lo tanto, hay una secuencia de fibración. ${\displaystyle K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)}$

${\displaystyle K(G,n)\to *\to K(G,n+1)}$.

Tenga en cuenta que esta no es una secuencia de cofibración: el espacio no es la cofibra de homotopía de . ${\displaystyle K(G,n+1)}$ ${\displaystyle K(G,n)\to *}$

Esta secuencia de fibración se puede utilizar para estudiar la cohomología de las esferas mediante la secuencia espectral de Leray . Jean-Pierre Serre aprovechó esta secuencia al estudiar los grupos de homotopía de las esferas mediante el sistema de Postnikov y las secuencias espectrales. ${\displaystyle K(G,n+1)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$

Propiedades de los espacios de Eilenberg-MacLane

Biyección entre clases de homotopía de mapas y cohomología

Una propiedad importante de es que para cualquier grupo abeliano G , y cualquier complejo CW basado X , el conjunto de clases de homotopía basadas de aplicaciones basadas de X a está en biyección natural con el n -ésimo grupo de cohomología singular del espacio X . Por lo tanto, se dice que son espacios representativos de cohomología singular con coeficientes en G . Dado que ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle [X,K(G,n)]}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle H^{n}(X,G)}$ ${\displaystyle K(G,n)'s}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}H^{n}(K(G,n),G)&=&\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)\\&=&\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)\\&=&\operatorname {Hom} (G,G),\end{array}}}$

Hay un elemento distinguido que corresponde a la identidad. La biyección anterior está dada por el pullback de ese elemento . Esto es similar al lema de Yoneda de la teoría de categorías . ${\displaystyle u\in H^{n}(K(G,n),G)}$ ${\displaystyle f\mapsto f^{*}u}$

Una prueba constructiva de este teorema se puede encontrar aquí, ^[6] otra que hace uso de la relación entre los espectros omega y las teorías de cohomología reducida generalizada se puede encontrar aquí, ^[7] y la idea principal también se esboza más adelante.

Espacios de bucles y espectros Omega

El espacio de bucles de un espacio de Eilenberg–MacLane es nuevamente un espacio de Eilenberg–MacLane: . Además, existe una relación adjunta entre el espacio de bucles y la suspensión reducida: , que da la estructura de un grupo abeliano, donde la operación es la concatenación de bucles. Esto hace que la biyección mencionada anteriormente sea un isomorfismo de grupo. ${\displaystyle \Omega K(G,n)\cong K(G,n-1)}$ ${\displaystyle [\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y]}$ ${\displaystyle [X,K(G,n)]\cong [X,\Omega ^{2}K(G,n+2)]}$ ${\displaystyle [X,K(G,n)]\to H^{n}(X,G)}$

Además, esta propiedad implica que los espacios de Eilenberg–MacLane con varios n forman un espectro omega , llamado "espectro de Eilenberg–MacLane". Este espectro se define mediante una teoría de cohomología reducida basada en complejos CW y para cualquier teoría de cohomología reducida basada en complejos CW con para existe un isomorfismo natural , donde denota cohomología singular reducida. Por lo tanto, estas dos teorías de cohomología coinciden. ${\displaystyle X\mapsto h^{n}(X):=[X,K(G,n)]}$ ${\displaystyle h^{*}}$ ${\displaystyle h^{n}(S^{0})=0}$ ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle h^{n}(X)\cong {\tilde {H}}^{n}(X,h^{0}(S^{0}))}$ ${\displaystyle {\tilde {H^{*}}}}$

En un contexto más general, la representabilidad de Brown dice que toda teoría de cohomología reducida basada en complejos CW proviene de un espectro omega .

Relación con homología

Para un grupo abeliano fijo existen mapas en los grupos de homotopía estables ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))}$

inducida por el mapa . Tomando el límite directo sobre estos mapas, se puede verificar que esto define una teoría de homología reducida ${\displaystyle \Sigma K(G,n)\to K(G,n+1)}$

${\displaystyle h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))}$

en complejos CW. Dado que se anula para , concuerda con homología singular reducida con coeficientes en G en complejos CW. ${\displaystyle h_{q}(S^{0})=\varinjlim \pi _{q+n}^{s}(K(G,n))}$ ${\displaystyle q\neq 0}$ ${\displaystyle h_{*}}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)}$

Funcionalidad

Del teorema del coeficiente universal para cohomología se deduce que el espacio de Eilenberg MacLane es un cuasifunctor del grupo; es decir, para cada entero positivo si es cualquier homomorfismo de grupos abelianos, entonces existe un conjunto no vacío. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a\colon G\to G'}$

${\displaystyle K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},}$

satisfaciendo donde denota la clase de homotopía de un mapa continuo y ${\displaystyle K(a\circ b,n)\supset K(a,n)\circ K(b,n){\text{ and }}1\in K(1,n),}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S\circ T:=\{s\circ t:s\in S,t\in T\}.}$

Relación con las torres Postnikov/Whitehead

Todo complejo CW conexo posee una torre de Postnikov , que es un sistema inverso de espacios: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)}$

tal que para cada : ${\displaystyle n}$

1. Existen mapas de desplazamientos que inducen isomorfismo en para , ${\displaystyle X\to X_{n}}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle i\leq n}$
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$para , ${\displaystyle i>n}$
3. Los mapas son fibraciones con fibra . ${\displaystyle X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

Dualmente existe una torre Whitehead , que es una secuencia de complejos CW:

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$

tal que para cada : ${\displaystyle n}$

1. Los mapas inducen isomorfismo en para , ${\displaystyle X_{n}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle i>n}$
2. ${\displaystyle X_{n}}$está n-conectado ,
3. Los mapas son fibraciones con fibra . ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$

Con la ayuda de las secuencias espectrales de Serre se pueden realizar cálculos de grupos de homotopía superiores de esferas. Por ejemplo, los cálculos de y utilizando una torre de Whitehead se pueden encontrar aquí ^[8] , y de manera más general, los cálculos de utilizando un sistema de Postnikov se pueden encontrar aquí ^{[9] .} ${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})}$ ${\displaystyle \pi _{5}(S^{3})}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{n+i}(S^{n})\ i\leq 3}$

Operaciones de cohomología

Para números naturales fijos m,n y grupos abelianos G,H existe una biyección entre el conjunto de todas las operaciones de cohomología y definida por , donde es una clase fundamental . ${\displaystyle \Theta :H^{m}(\cdot ,G)\to H^{n}(\cdot ,H)}$ ${\displaystyle H^{n}(K(G,m),H)}$ ${\displaystyle \Theta \mapsto \Theta (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \in H^{m}(K(G,m),G)}$

Como resultado, las operaciones de cohomología no pueden disminuir el grado de los grupos de cohomología y las operaciones de cohomología que preservan el grado corresponden al homomorfismo de coeficientes . Esto se desprende del teorema del coeficiente universal para cohomología y la (m-1)-conectividad de . ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,H)}$ ${\displaystyle K(G,m)}$

Algunos ejemplos interesantes de operaciones de cohomología son los cuadrados y potencias de Steenrod , cuando son grupos cíclicos finitos . Al estudiarlos, la importancia de la cohomología de con coeficientes en se hace evidente rápidamente; ^[10] aquí se pueden encontrar algunas tablas extensas de esos grupos. ^[11] ${\displaystyle G=H}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /p,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

(Co)homología de grupo

Se puede definir la (co)homología de grupo de G con coeficientes en el grupo A como la (co)homología singular del espacio de Eilenberg-MacLane con coeficientes en A. ${\displaystyle K(G,1)}$

Otras aplicaciones

La construcción del espacio de bucles descrita anteriormente se utiliza en la teoría de cuerdas para obtener, por ejemplo, el grupo de cuerdas , el grupo de cinco branas , etc., como la torre Whitehead que surge de la secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,2)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to 0}$

con el grupo de cuerdas y el grupo de espín . La relevancia de radica en el hecho de que existen las equivalencias de homotopía ${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z} }$

para el espacio de clasificación y el hecho . Nótese que debido a que el grupo de espín complejo es una extensión de grupo ${\displaystyle B\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)}$

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)\to \operatorname {Spin} (n)\to 0}$,

El grupo de cuerdas puede considerarse como una extensión del grupo de espín complejo "superior", en el sentido de la teoría de grupos superiores , ya que el espacio es un ejemplo de un grupo superior. Puede considerarse como la realización topológica del grupoide cuyo objeto es un único punto y cuyos morfismos son el grupo . Debido a estas propiedades homotópicas, la construcción se generaliza: cualquier espacio dado puede usarse para iniciar una secuencia exacta corta que mate al grupo de homotopía en un grupo topológico . ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$ ${\displaystyle \pi _{n+1}}$

Véase también

• Clasificando el espacio , para el caso ${\displaystyle n=1}$
• Teorema de representabilidad de Brown , relativo a los espacios de representación
• Espacio de Moore , el análogo de homología.

Notas

1. Saunders Mac Lane originalmente escribía su nombre "MacLane" (sin espacios) y copublicó los artículos que establecieron la noción de espacios de Eilenberg-MacLane bajo este nombre. (Véase, por ejemplo, MR 13312) En este contexto, por lo tanto, es convencional escribir el nombre sin espacios.

1. Papakyriakopoulos, CD (15 de enero de 1957). "Sobre el lema de Dehn y la asfericidad de los nudos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 43 (1): 169–172. Bibcode :1957PNAS...43..169P. doi : 10.1073/pnas.43.1.169 . PMC 528404 . PMID  16589993. 
2. "topología general - ¿La esfera unitaria en $\mathbb{R}^\infty$ es contráctil?". Mathematics Stack Exchange . Consultado el 1 de septiembre de 2020 .
3. Lucas Williams "Espacios de configuración para el estudiante universitario que trabaja", arXiv , 5 de noviembre de 2019. Consultado el 14 de junio de 2021.
4. "gt.geometric topology - ¿Construcciones explícitas de K(G,2)?". MathOverflow . Consultado el 28 de octubre de 2020 .
5. May, J. Peter . Un curso conciso de topología algebraica (PDF) . Capítulo 16, sección 5: University of Chicago Press .{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
6. Xi Yin "Sobre los espacios de Eilenberg-MacLanes" Archivado el 29 de septiembre de 2021 en Wayback Machine , consultado el 14 de junio de 2021
7. Allen Hatcher "Topología algebraica", Cambridge University Press , 2001. Consultado el 14 de junio de 2021.
8. Xi Yin "Sobre los espacios de Eilenberg-MacLanes" Archivado el 29 de septiembre de 2021 en Wayback Machine , consultado el 14 de junio de 2021
9. Secuencias espectrales de Allen Hatcher, consultado el 25 de abril de 2021
10. Cary Malkiewich "El álgebra de Steenrod", consultado el 14 de junio de 2021
11. Cohomología integral de torres de Postnikov finitas

Referencias

Artículos fundacionales

• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1945), "Relaciones entre grupos de homología y homotopía de espacios", Annals of Mathematics , (Segunda serie), 46 (3): 480–509, doi :10.2307/1969165, JSTOR  1969165, MR  0013312
• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1950). "Relaciones entre grupos de homología y homotopía de espacios. II". Anales de Matemáticas . (Segunda Serie). 51 (3): 514–533. doi :10.2307/1969365. JSTOR  1969365. MR  0035435.
• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1954). "Sobre los grupos H ( Π , n ) {\displaystyle H(\Pi ,n)} . III. Operaciones y obstrucciones". Anales de Matemáticas . 60 (3): 513–557. doi :10.2307/1969849. JSTOR  1969849. MR  0065163.

Seminario y aplicaciones de Cartan

El seminario de Cartan contiene muchos resultados fundamentales sobre los espacios de Eilenberg-Maclane, incluida su homología y cohomología, y aplicaciones para calcular los grupos de homotopía de esferas.

• http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/ Archivado el 25 de abril de 2022 en Wayback Machine.

Cálculo de anillos de cohomología integral

• Functores derivados de los functores de potencia divididos
• Cohomología integral de torres de Postnikov finitas
• (Co)homología de los espacios de Eilenberg-MacLane K(G,n)

Otras referencias enciclopédicas

• Enciclopedia de Matemáticas
• Espacio Eilenberg-Mac Lane en el n Lab