Lema de Zorn

Proposición matemática equivalente al axioma de elección

El lema de Zorn se puede utilizar para demostrar que todo gráfico conectado tiene un árbol de expansión . El conjunto de todos los subgrafos que son árboles se ordena por inclusión y la unión de una cadena es un límite superior. El lema de Zorn dice que debe existir un árbol máximo, que es un árbol generador ya que el gráfico es conexo. ^[1] El lema de Zorn no es necesario para gráficos finitos, como el que se muestra aquí.

El lema de Zorn , también conocido como lema de Kuratowski-Zorn , es una proposición de la teoría de conjuntos . Afirma que un conjunto parcialmente ordenado que contiene límites superiores para cada cadena (es decir, cada subconjunto totalmente ordenado ) contiene necesariamente al menos un elemento máximo .

El lema fue demostrado (asumiendo el axioma de elección ) por Kazimierz Kuratowski en 1922 e independientemente por Max Zorn en 1935. ^[2] Ocurre en las demostraciones de varios teoremas de importancia crucial, por ejemplo, el teorema de Hahn-Banach en el análisis funcional . el teorema de que todo espacio vectorial tiene una base , ^[3] el teorema de Tychonoff en topología que establece que todo producto de espacios compactos es compacto, y los teoremas en álgebra abstracta de que en un anillo con identidad todo ideal propio está contenido en un ideal máximo y que cada campo tiene una clausura algebraica . ^[4]

El lema de Zorn es equivalente al teorema del bien ordenamiento y también al axioma de elección , en el sentido de que dentro de ZF ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección) cualquiera de los tres es suficiente para demostrar los otros dos. ^[5] Una formulación anterior del lema de Zorn es el principio máximo de Hausdorff, que establece que cada subconjunto totalmente ordenado de un conjunto parcialmente ordenado determinado está contenido en un subconjunto máximo totalmente ordenado de ese conjunto parcialmente ordenado. ^[6]

Motivación

Para probar la existencia de un objeto matemático que puede verse como un elemento máximo en algún conjunto parcialmente ordenado de alguna manera, se puede intentar probar la existencia de dicho objeto suponiendo que no existe un elemento máximo y usando la inducción transfinita y los supuestos de la situación para obtener una contradicción. El lema de Zorn ordena las condiciones que una situación debe satisfacer para que tal argumento funcione y permite a los matemáticos no tener que repetir el argumento de la inducción transfinita a mano cada vez, sino simplemente verificar las condiciones del lema de Zorn.

Si estás construyendo un objeto matemático en etapas y descubres que (i) no has terminado incluso después de infinitas etapas, y (ii) parece que no hay nada que te impida continuar construyendo, entonces el lema de Zorn puede ayudarte. tú.

—  William Timothy Gowers , "Cómo utilizar el lema de Zorn" ^[7]

Declaración del lema

Nociones preliminares:

• Un conjunto P equipado con una relación binaria ≤ que es reflexiva ( x ≤ x para cada x ), antisimétrica (si tanto x ≤ y como y ≤ x se mantienen, entonces x = y ) y transitiva (si x ≤ y y y ≤ z entonces x ≤ z ) se dice que está (parcialmente) ordenado por ≤. Dados dos elementos x e y de P con x ≤ y , se dice que y es mayor o igual que x . La palabra "parcial" pretende indicar que no todos los pares de elementos de un conjunto parcialmente ordenado deben ser comparables según la relación de orden, es decir, en un conjunto parcialmente ordenado P con relación de orden ≤ puede haber elementos x e y. sin x ≤ y ni y ≤ x . Un conjunto ordenado en el que cada par de elementos es comparable se llama totalmente ordenado .
• Cada subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P puede verse como parcialmente ordenado restringiendo la relación de orden heredada de P a S. Un subconjunto S de un conjunto P parcialmente ordenado se llama cadena (en P ) si está totalmente ordenado en el orden heredado.
• Un elemento m de un conjunto P parcialmente ordenado con relación de orden ≤ es máximo (con respecto a ≤) si no hay ningún otro elemento de P mayor que m , es decir, si no hay s en P con s ≠ m y m ≤ s . Dependiendo de la relación de orden, un conjunto parcialmente ordenado puede tener cualquier número de elementos máximos. Sin embargo, un conjunto totalmente ordenado puede tener como máximo un elemento máximo.
• Dado un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P , un elemento u de P es un límite superior de S si es mayor o igual a cada elemento de S. Aquí, no se requiere que S sea una cadena, y se requiere que u sea comparable a cada elemento de S , pero no es necesario que sea un elemento de S.

El lema de Zorn puede entonces expresarse como:

Lema de Zorn  :  supongamos que un conjunto parcialmente ordenado P tiene la propiedad de que cada cadena en P tiene un límite superior en P. Entonces el conjunto P contiene al menos un elemento máximo .

A veces se utilizan variantes de esta formulación, como exigir que el conjunto P y las cadenas no estén vacíos. ^[8]

Lema de Zorn  (para conjuntos no vacíos)  :  supongamos que un conjunto P no vacío parcialmente ordenado tiene la propiedad de que cada cadena no vacía tiene un límite superior en P . Entonces el conjunto P contiene al menos un elemento máximo.

Aunque esta formulación parece ser formalmente más débil (ya que impone a P la condición adicional de no estar vacío, pero obtiene la misma conclusión acerca de P ), de hecho las dos formulaciones son equivalentes. Para verificar esto, supongamos primero que P satisface la condición de que cada cadena en P tenga un límite superior en P. Entonces el subconjunto vacío de P es una cadena, ya que satisface la definición de manera vacía ; entonces la hipótesis implica que este subconjunto debe tener un límite superior en P , y este límite superior muestra que P , de hecho, no está vacío. Por el contrario, si se supone que P no está vacío y satisface la hipótesis de que cada cadena no vacía tiene un límite superior en P , entonces P también satisface la condición de que cada cadena tenga un límite superior, ya que un elemento arbitrario de P sirve como un límite superior para la cadena vacía (es decir, el subconjunto vacío visto como una cadena).

La diferencia puede parecer sutil, pero en muchas pruebas que invocan el lema de Zorn se toman uniones de algún tipo para producir un límite superior, por lo que el caso de la cadena vacía puede pasarse por alto; es decir, la verificación de que todas las cadenas tienen límites superiores puede tener que tratar con cadenas vacías y no vacías por separado. Muchos autores prefieren verificar el carácter no vacío del conjunto P en lugar de abordar la cadena vacía en el argumento general. ^[9]

Aplicaciones de ejemplo

Todo espacio vectorial tiene una base.

El lema de Zorn se puede utilizar para demostrar que todo espacio vectorial V tiene una base . ^[10]

Si V = { 0 }, entonces el conjunto vacío es una base para V. Ahora supongamos que V ≠ { 0 }. Sea P el conjunto formado por todos los subconjuntos linealmente independientes de V. Dado que V no es el espacio vectorial cero , existe un elemento v distinto de cero de V , por lo que P contiene el subconjunto linealmente independiente { v }. Además, P está parcialmente ordenado por inclusión de conjuntos (ver orden de inclusión ). Encontrar un subconjunto linealmente independiente máximo de V es lo mismo que encontrar un elemento máximo en P.

Para aplicar el lema de Zorn, tome una cadena T en P (es decir, T es un subconjunto de P que está totalmente ordenado). Si T es el conjunto vacío, entonces { v } es un límite superior para T en P. Supongamos entonces que T no está vacío. Necesitamos demostrar que T tiene un límite superior, es decir, existe un subconjunto B linealmente independiente de V que contiene todos los miembros de T.

Considere B como la unión de todos los conjuntos en T. Deseamos demostrar que B es un límite superior para T en P. Para ello, basta demostrar que B es un subconjunto linealmente independiente de V .

Supongamos lo contrario, que B no es linealmente independiente. Entonces existen vectores v ₁ , v ₂ , ..., v _k ∈ B y escalares a ₁ , a ₂ , ..., a _k , no todos cero, tales que

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} .}$

Como B es la unión de todos los conjuntos en T , existen algunos conjuntos S ₁ , S ₂ , ..., S _k ∈ T tales que v _i ∈ S _i para todo i = 1, 2, ..., k . Como T está totalmente ordenado, uno de los conjuntos S ₁ , S ₂ , ..., Sk _debe contener a los demás, por lo que hay algún conjunto Si _que contiene todos v ₁ , v ₂ , ..., v _k . Esto nos dice que hay un conjunto de vectores linealmente dependiente en Si _{, lo} que contradice que Si es linealmente independiente (porque es miembro de P ).

La hipótesis del lema de Zorn ha sido comprobada y, por tanto, hay un elemento máximo en P , en otras palabras , un subconjunto B linealmente independiente máximo de V.

Finalmente, demostramos que B es efectivamente una base de V. Basta demostrar que B es un conjunto generador de V . Supongamos, en aras de la contradicción, que B no se extiende. Entonces existe algo de v ∈ V no cubierto por el lapso de B . Esto dice que B ∪ { v } es un subconjunto linealmente independiente de V que es mayor que B , contradiciendo la maximalidad de B. Por lo tanto, B es un conjunto generador de V y, por tanto, una base de V.

Todo anillo no trivial con unidad contiene un ideal máximo

El lema de Zorn se puede utilizar para demostrar que todo anillo R no trivial con unidad contiene un ideal máximo .

Sea P el conjunto formado por todos los ideales propios de R (es decir, todos los ideales de R excepto el propio R ). Dado que R no es trivial, el conjunto P contiene el ideal trivial {0}. Además, P está parcialmente ordenado por inclusión de conjuntos. Encontrar un ideal máximo en R es lo mismo que encontrar un elemento máximo en P.

Para aplicar el lema de Zorn, tome una cadena T en P. Si T está vacío, entonces el ideal trivial {0} es un límite superior para T en P. Supongamos entonces que T no está vacío. Es necesario demostrar que T tiene un límite superior, es decir, existe un ideal I ⊆ R que contiene todos los miembros de T pero aún más pequeño que R (de lo contrario no sería un ideal adecuado, por lo que no está en P ) .

Considere I como la unión de todos los ideales en T. Deseamos demostrar que I es un límite superior para T en P. Primero demostraremos que I es un ideal de R. Para que I sea un ideal, debe cumplir tres condiciones:

1. I es un subconjunto no vacío de R ,
2. Para cada x , y ∈ I , la suma x + y está en I ,
3. Para cada r ∈ R y cada x ∈ I , el producto rx está en I .

#1 - I es un subconjunto no vacío de R.

Como T contiene al menos un elemento y ese elemento contiene al menos 0, la unión I contiene al menos 0 y no está vacía. Cada elemento de T es un subconjunto de R , por lo que la unión I solo consta de elementos en R .

# 2 - Para cada x , y ∈ I , la suma x + y está en I.

Supongamos que x e y son elementos de I. Entonces existen dos ideales J , K ∈ T tales que x es un elemento de J e y es un elemento de K . Como T está totalmente ordenado, sabemos que J ⊆ K o K ⊆ J . Sin pérdida de generalidad , supongamos el primer caso. Tanto x como y son miembros del ideal K , por lo tanto su suma x + y es miembro de K , lo que muestra que x + y es miembro de I.

#3 - Para cada r ∈ R y cada x ∈ I , el producto rx está en I.

Supongamos que x es un elemento de I. Entonces existe un ideal J ∈ T tal que x está en J . Si r ∈ R , entonces rx es un elemento de J y por tanto un elemento de I . Por tanto, I es un ideal en R .

Ahora demostramos que I es un ideal adecuado . Un ideal es igual a R si y sólo si contiene 1. (Está claro que si es R entonces contiene 1; en cambio, si contiene 1 y r es un elemento arbitrario de R , entonces r 1 = r es un elemento del ideal, por lo que el ideal es igual a R ). Entonces, si I fuera igual a R , entonces contendría 1, y eso significa que uno de los miembros de T contendría 1 y, por lo tanto, sería igual a R – pero R está explícitamente excluido de P .

La hipótesis del lema de Zorn ha sido comprobada y, por tanto, hay un elemento máximo en P , es decir, un ideal máximo en R.

Bosquejo de prueba

A continuación se presenta un esbozo de la prueba del lema de Zorn, suponiendo el axioma de elección . Supongamos que el lema es falso. Entonces existe un conjunto parcialmente ordenado, o poset, P tal que cada subconjunto totalmente ordenado tiene un límite superior, y que para cada elemento en P hay otro elemento mayor que él. Para cada subconjunto T totalmente ordenado podemos definir un elemento b ( T ) más grande, porque T tiene un límite superior, y ese límite superior tiene un elemento más grande. Para definir realmente la función b , necesitamos emplear el axioma de elección (explícitamente: sea , es decir, el conjunto de límites superiores para T. El axioma de elección proporciona ). ${\displaystyle B(T)=\{b\in P:\forall t\in T,b\geq t\}}$ ${\displaystyle b:b(T)\in B(T)}$

Usando la función b , vamos a definir elementos a ₀ < a ₁ < a ₂ < a ₃ < ... < a _ω < a _ω+1 <…, en P . Esta secuencia incontable es realmente larga : los índices no son sólo los números naturales , sino todos los ordinales . De hecho, la secuencia es demasiado larga para el conjunto P ; hay demasiados ordinales (una clase adecuada ), más que elementos en cualquier conjunto (en otras palabras, dado cualquier conjunto de ordinales, existe un ordinal mayor), y el conjunto P se agotará en poco tiempo y entonces toparse con la contradicción deseada.

Los a _i se definen mediante recursividad transfinita : elegimos un ₀ en P arbitrariamente (esto es posible, ya que P contiene un límite superior para el conjunto vacío y, por lo tanto, no está vacío) y para cualquier otro ordinal w establecemos a _w = b ( { a _v  : v < w }). Debido a _que las av están totalmente ordenadas, ésta es una definición bien fundada.

La prueba anterior se puede formular sin hacer referencia explícita a los ordinales considerando los segmentos iniciales { a _v  : v < w } como subconjuntos de P . Dichos conjuntos se pueden caracterizar fácilmente como cadenas bien ordenadas S ⊆ P donde cada x ∈ S satisface x = b ({ y ∈ S  : y < x }). Se llega a la contradicción al observar que siempre podemos encontrar un "siguiente" segmento inicial, ya sea tomando la unión de todos esos S (correspondientes al caso ordinal límite) o agregando b ( S ) al "último" S (correspondiente al caso ordinal sucesor). ^[11]

Esta prueba muestra que en realidad una versión ligeramente más fuerte del lema de Zorn es verdadera:

Lema  :  si P es un poset en el que cada subconjunto bien ordenado tiene un límite superior, y si x es cualquier elemento de P , entonces P tiene un elemento máximo mayor o igual a x . Es decir, existe un elemento máximo que es comparable a x .

Historia

El principio maximal de Hausdorff es una declaración temprana similar al lema de Zorn.

Kazimierz Kuratowski demostró en 1922 ^[12] una versión del lema cercana a su formulación moderna (se aplica a conjuntos ordenados por inclusión y cerrados bajo uniones de cadenas bien ordenadas). Esencialmente, la misma formulación (debilitada mediante el uso de cadenas arbitrarias, no sólo bien ordenadas) fue dada independientemente por Max Zorn en 1935, ^[13] quien la propuso como un nuevo axioma de la teoría de conjuntos que reemplazaba al teorema del bien ordenamiento y exhibió algunas de sus aplicaciones en álgebra, y prometió mostrar su equivalencia con el axioma de elección en otro artículo, que nunca apareció.

El nombre "lema de Zorn" parece deberse a John Tukey , quien lo usó en su libro Convergencia y uniformidad en topología en 1940. La Théorie des Ensembles de Bourbaki de 1939 se refiere a un principio maximal similar como "le théorème de Zorn". ^[14] El nombre "lema de Kuratowski-Zorn" prevalece en Polonia y Rusia.

• Portal de matemáticas

Formas equivalentes del lema de Zorn

El lema de Zorn equivale (en ZF ) a tres resultados principales:

1. Principio máximo de Hausdorff
2. Axioma de elección
3. Teorema del buen orden .

Se atribuye a Jerry Bona un chiste muy conocido que alude a esta equivalencia (que puede desafiar la intuición humana) : "El axioma de elección es obviamente cierto, el principio de buen orden obviamente falso, y ¿quién puede decir algo sobre el lema de Zorn?" ^[15]

El lema de Zorn también es equivalente al teorema de completitud fuerte de la lógica de primer orden. ^[dieciséis]

Además, el lema de Zorn (o una de sus formas equivalentes) implica algunos resultados importantes en otras áreas matemáticas. Por ejemplo,

1. El teorema de extensión de Banach, que se utiliza para demostrar uno de los resultados más fundamentales del análisis funcional, el teorema de Hahn-Banach.
2. Todo espacio vectorial tiene una base , resultado del álgebra lineal (a la que es equivalente ^[17] ). En particular, los números reales, como espacio vectorial sobre los números racionales, poseen una base de Hamel.
3. Cada anillo unital conmutativo tiene un ideal máximo , resultado de la teoría de anillos conocida como teorema de Krull , al que el lema de Zorn es equivalente ^[18]
4. Teorema de Tychonoff en topología (al que también es equivalente ^[19] )
5. Todo filtro adecuado está contenido en un ultrafiltro , un resultado que produce el teorema de completitud de la lógica de primer orden ^[20]

En este sentido, vemos cómo el lema de Zorn puede verse como una poderosa herramienta, aplicable a muchas áreas de las matemáticas.

Análogos bajo debilitamientos del axioma de elección.

Se puede demostrar una forma debilitada del lema de Zorn a partir de ZF + DC (teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección reemplazado por el axioma de elección dependiente ). El lema de Zorn se puede expresar directamente observando que el conjunto que no tiene elemento máximo sería equivalente a afirmar que la relación de ordenamiento del conjunto sería completa, lo que nos permitiría aplicar el axioma de elección dependiente para construir una cadena contable. Como resultado, cualquier conjunto parcialmente ordenado con cadenas exclusivamente finitas debe tener un elemento máximo. ^[21]

De manera más general, fortalecer el axioma de elección dependiente a ordinales superiores nos permite generalizar la afirmación del párrafo anterior a cardinalidades superiores. ^[21] En el límite donde permitimos ordinales arbitrariamente grandes, recuperamos la prueba del lema de Zorn completo usando el axioma de elección en la sección anterior.

En la cultura popular

La película de 1970 Zorns Lemma lleva el nombre del lema.

Se hizo referencia al lema en Los Simpson en el episodio " El nuevo amigo de Bart ". ^[22]

Ver también

• Antichain  – Subconjunto de elementos incomparables
• Teorema de Bourbaki-Witt
• Orden parcial de cadena completa : un conjunto parcialmente ordenado en el que cada cadena tiene un límite superior mínimo
• Teorema de extensión de Szpilrajn  : resultado matemático de relaciones de orden
• Finitud de Tarski  : conjunto matemático que contiene un número finito de elementosPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Lema de Teichmüller-Tukey (a veces llamado lema de Tukey)

Notas

1. Serre, Jean-Pierre (2003), Árboles , Monografías de Springer en Matemáticas, Springer, p. 23
2. Moore 2013, pag. 168
3. Wilansky, Albert (1964). Análisis funcional . Nueva York: Blaisdell. págs. 16-17.
4. Jech 2008, cap. 2, §2 Algunas aplicaciones del axioma de elección en matemáticas
5. Jech 2008, pag. 9
6. Moore 2013, pag. 168
7. William Timothy Gowers (12 de agosto de 2008). "Cómo utilizar el lema de Zorn".
8. Por ejemplo, Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 211 (3ª ed. revisada). Springer-Verlag. pag. 880.ISBN​ 978-0-387-95385-4., Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1998). Álgebra abstracta (2ª ed.). Prentice Hall. pag. 875.ISBN​ 978-0-13-569302-5.y Bergman, George M (2015). Una invitación al álgebra general y las construcciones universales. Universitext (2ª ed.). Springer-Verlag. pag. 162.ISBN​ 978-3-319-11477-4..
9. Bergman, George M (2015). Una invitación al álgebra general y las construcciones universales. Universitext (Segunda ed.). Springer-Verlag. pag. 164.ISBN​ 978-3-319-11477-4.
10. Smith, Tim. "Una prueba de que todo espacio vectorial tiene una base" (PDF) . Consultado el 14 de agosto de 2022 .
11. Lewin, Jonathan W. (1991). "Una prueba sencilla del lema de Zorn". El Mensual Matemático Estadounidense . 98 (4): 353–354. doi :10.1080/00029890.1991.12000768.
12. Kuratowski, Casimiro (1922). "Une méthode d'élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques" [Un método para eliminar números transfinitos de razonamiento matemático] (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en francés). 3 : 76-108. doi : 10.4064/fm-3-1-76-108 . Consultado el 24 de abril de 2013 .
13. Zorn, Max (1935). "Un comentario sobre el método en álgebra transfinita". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 41 (10): 667–670. doi : 10.1090/S0002-9904-1935-06166-X .
14. Campbell 1978, pag. 82.
15. Krantz, Steven G. (2002), "El axioma de la elección", Manual de lógica y técnicas de prueba para la informática , Springer, págs. 121-126, doi :10.1007/978-1-4612-0115-1_9, ISBN 978-1-4612-6619-8.
16. JL Bell y AB Slomson (1969). Modelos y Ultraproductos . Compañía Editorial de Holanda Septentrional. Capítulo 5, Teorema 4.3, página 103.
17. Blas, Andreas (1984). "La existencia de bases implica el axioma de elección". Teoría de conjuntos axiomática . Matemáticas Contemporáneas. vol. 31. págs. 31–33. doi :10.1090/conm/031/763890. ISBN 9780821850268.
18. Hodges, W. (1979). "Krull implica Zorn". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . T2-19 (2): 285–287. doi :10.1112/jlms/s2-19.2.285.
19. Kelley, John L. (1950). "El teorema del producto de Tychonoff implica el axioma de elección". Fundamentos Mathematicae . 37 : 75–76. doi : 10.4064/fm-37-1-75-76 .
20. JL Bell y AB Slomson (1969). Modelos y Ultraproductos . Compañía Editorial de Holanda Septentrional.
21. Wolk, Elliot S. (1983), "Sobre el principio de elecciones dependientes y algunas formas del lema de Zorn", Canadian Mathematical Bulletin , 26 (3): 365–367, doi : 10.4153/CMB-1983-062-5
22. "Lema de Zorn | Los Simpson y sus secretos matemáticos".

Referencias

• Campbell, Paul J. (febrero de 1978). "El origen del lema de Zorn'". Historia Matemática . 5 (1): 77–89. doi : 10.1016/0315-0860(78)90136-2 .
• Ciesielski, Krzysztof (1997). Teoría de conjuntos para el matemático que trabaja . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-59465-3.
• Jech, Thomas (2008) [1973]. El axioma de elección . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-46624-8.
• Moore, Gregory H. (2013) [1982]. El axioma de elección de Zermelo: sus orígenes, desarrollo e influencia . Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-48841-7.

enlaces externos

• "Lema de Zorn", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• El Lema de Zorn en ProvenMath contiene una prueba formal hasta el más mínimo detalle de la equivalencia del axioma de elección y el Lema de Zorn.
• El Lema de Zorn en Metamath es otra prueba formal. (Versión Unicode para navegadores recientes).