En matemáticas , un caso degenerado es un caso límite de una clase de objetos que parece ser cualitativamente diferente (y usualmente más simple) que el resto de la clase; [1] " degeneración " es la condición de ser un caso degenerado. [2]
Las definiciones de muchas clases de objetos compuestos o estructurados suelen incluir implícitamente desigualdades. Por ejemplo, se supone que los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo son positivos. Los casos límite, en los que una o varias de estas desigualdades se convierten en igualdades, son degeneraciones. En el caso de los triángulos, se tiene un triángulo degenerado si al menos la longitud de un lado o un ángulo es cero. Equivalentemente, se convierte en un "segmento de línea". [3]
A menudo, los casos degenerados son los casos excepcionales en los que se producen cambios en la dimensión habitual o en la cardinalidad del objeto (o de alguna parte de él). Por ejemplo, un triángulo es un objeto de dimensión dos, y un triángulo degenerado está contenido en una línea , [3] lo que hace que su dimensión sea uno. Esto es similar al caso de un círculo, cuya dimensión se reduce de dos a cero a medida que degenera en un punto. [1] Como otro ejemplo, el conjunto solución de un sistema de ecuaciones que depende de parámetros generalmente tiene una cardinalidad y dimensión fijas, pero la cardinalidad y/o la dimensión pueden ser diferentes para algunos valores excepcionales, llamados casos degenerados. En un caso degenerado de este tipo, se dice que el conjunto solución es degenerado.
Para algunas clases de objetos compuestos, los casos degenerados dependen de las propiedades que se estudian específicamente. En particular, la clase de objetos a menudo puede definirse o caracterizarse mediante sistemas de ecuaciones. En la mayoría de los casos, una clase dada de objetos puede definirse mediante varios sistemas de ecuaciones diferentes, y estos diferentes sistemas de ecuaciones pueden conducir a diferentes casos degenerados, al tiempo que caracterizan los mismos casos no degenerados. Esta puede ser la razón por la que no existe una definición general de degeneración, a pesar de que el concepto se usa ampliamente y se define (si es necesario) en cada situación específica.
Un caso degenerado tiene características especiales que lo hacen no genérico o un caso especial . Sin embargo, no todos los casos no genéricos o especiales son degenerados. Por ejemplo, los triángulos rectángulos , los triángulos isósceles y los triángulos equiláteros no son genéricos ni degenerados. De hecho, los casos degenerados a menudo corresponden a singularidades , ya sea en el objeto o en algún espacio de configuración . Por ejemplo, una sección cónica es degenerada si y solo si tiene puntos singulares (por ejemplo, punto, línea, líneas que se cruzan). [4]
Una cónica degenerada es una sección cónica (una curva plana de segundo grado , definida por una ecuación polinómica de grado dos) que no es una curva irreducible .
Un triángulo degenerado es un triángulo "plano" en el sentido de que está contenido en un segmento de línea . Por lo tanto, tiene vértices colineales [3] y área cero. Si los tres vértices son distintos por pares, tiene dos ángulos de 0° y un ángulo de 180°. Si dos vértices son iguales, tiene un ángulo de 0° y dos ángulos indefinidos. Si los tres vértices son iguales, los tres ángulos son indefinidos.
Un rectángulo con un par de lados opuestos de longitud cero degenera en un segmento de línea, con área cero. Si ambos pares de lados opuestos del rectángulo tienen longitud cero, el rectángulo degenera en un punto.
Un hiperrectángulo es el análogo n -dimensional de un rectángulo. Si sus lados a lo largo de cualquiera de los n ejes tienen longitud cero, se degenera en un hiperrectángulo de menor dimensión, hasta llegar a un punto en el que los lados alineados con cada eje tienen longitud cero.
Un polígono convexo es degenerado si al menos dos lados consecutivos coinciden al menos parcialmente, o al menos un lado tiene longitud cero, o al menos un ángulo mide 180°. Por lo tanto, un polígono convexo degenerado de n lados se parece a un polígono con menos lados. En el caso de los triángulos, esta definición coincide con la que se ha dado anteriormente.
Un poliedro convexo es degenerado si dos facetas adyacentes son coplanares o dos aristas están alineadas. En el caso de un tetraedro , esto equivale a decir que todos sus vértices se encuentran en el mismo plano , lo que le da un volumen de cero.
Cuando el radio de una esfera tiende a cero, la esfera degenerada resultante de volumen cero es un punto .
Ver posición general para otros ejemplos.